上海交通大学：《现代控制理论（B类）》教学资源（PPT课件）第六章 状态反馈和状态观测器

(4)用MATLAB计算状态反馈向量 用place命令可以计算状态反馈向量k。 以倒摆系统为例，输入以下命令 a=0,1,0,00,0,-1,0,0,0,0,1;0,0,11,0l;b=0;1;051];p=1,-2,-1+j,-1-ijl;k=place(a,bp) 可得到结果 k=-0.4000-1.0000-21.4000-6.0000 6-43多输入系统 如果系统(A,B)是能控的，则通过状态反馈u=r一x,K是pxn常 数阵，可以任意配置(A-BK)的特征值。共轭特征值必须成对配 置。 多输入系统极，点配置问题是：已知能控的(4，B)和一组期望特 征值（元万2，n),求p×n实矩阵K,使(A-BK)的特征值为 (元2…，元n）o 21

21 ⑷ 用MATLAB计算状态反馈向量 用 place 命令可以计算状态反馈向量k 。 以倒摆系统为例，输入以下命令 a=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]; b=[0;1;0;-1]; p=[-1,-2,-1+j,-1-j]; k=place(a,b,p) 可得到结果 k = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000 6-4-3 多输入系统 如果系统 是能控的，则通过状态反馈 ， 是 常 数阵，可以任意配置 的特征值。共轭特征值必须成对配 置。 (A,B) u  r－Kx K p n (A BK) 多输入系统极点配置问题是：已知能控的 和一组期望特 征值 ，求 实矩阵 ，使 的特征值为 。 ( , ) 1,  2,   n (A,B) p n ( , ) 1,  2,   n K (A BK)

计算步骤如下：不失一般性，假设n=6,p=3 ()如果系统(4，B是能控的，则存在非奇异阵P,以及等价变换 x=P,将系统变换成龙伯格能控标准型(A,B)。(假设它的能控 性指数为4=3,42=2,4=1)： 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A=S-AS= -013 -012 -01 B Bis B16 0 0 0 0 0 B21 B22 B23 d22 -21 B26 31 P34 f35 31 00 0 0 0 0 B=S-B= 1Y11Y12 00 0 0 1 Y21 0 0 1 22

22 计算步骤如下： 不失一般性，假设 n  6, p  3 (ⅰ) 如果系统 是能控的，则存在非奇异阵 , 以及等价变换 ，将系统变换成龙伯格能控标准型 。(假设它的能控 性指数为 )： (A,B) 1  3,  2  2,  3  1 P x  Px (A,B)              31 32 33 34 35 31 21 22 23 22 21 26 1 13 12 11 14 15 16 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0                   A S AS        0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 21 1 11 12    B S B

(i)将n个期望特征值按4,42,4分成3组，复极点必须成对分 配在同一组内，假设它们是（瓦，2，），（瓦，元），（亿）。然后计算 原系统期望的特征多项式 )=ia,() ,()=(-)=6s3+aw2+ans+a(62+as+aas+ai) ()取状态反馈阵为 1Y11Y12 a13-13 a2-a12a1-a1 =GK。=0 B1s P16 Y21 B2 B2 β23 0 1 1 a2-a2a21-421 P26 0 Bn2 B3s B B3s a31-1 式中 (6-39) [1 Yu Yn G=0 1 Y21 00 0 取K=GK。,其目的是使B=BG,或 23

23 (ⅱ) 将 个期望特征值按 分成3组，复极点必须成对分 配在同一组内，假设它们是 , , 。然后计算 原系统期望的特征多项式 n 1 2 3  ,  ,  ( , , ) 11 12 13 ( , )  21  22 ( ) 31 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 21 22 31 2 12 13 2 11 3 1 3 1                          s s s s s s s s s s i j i ij i i (ⅲ) 取状态反馈阵 K为                 31 32 33 21 22 23 13 12 12 11 11 1 21 11 12 1 0 0 1 0 1 1                13 K G K G       34 35 31 31 22 22 21 21 26 14 15 16             式中 （6－39）        0 0 0 0 1 1 21 11 12    G 取 K  G 1K G ，其目的是使 B  BG G ，或

取K=GK。,其目的是使B=BG,或(A-B)=(A-BK。) 00 0 000 0 0 0 0 0 0 1 00 B。=BG1= 1 Y11Y12 0 G1= 0 0 0 0 0 0 1 Y21 0 1 0 0 0 于是，按式(6-39)设计。，可得到如下形式的(A-B): 0 1 0 0 0 0 0 0 A-BK= -a2-a1 0 0 0 (6-40) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -a2 -a21 0 0 0 0 0 0 031 这种形式的(A-B)，其子系统具有解耦的形式，系统的特征值 则由对角线上矩阵块的特征值组成，便于按照期望特征值的要 求来配置。 24

24 取 K  G 1K G ，其目的是使 B  BG G ，或              0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 21 1 11 12 BG BG G    ( ) ( ) A  BK  A  BG K G 于是，按式(6－39)设计 K G ，可得到如下形式的 (A  BK)：             31 22 21 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0       A BK （6－40） 这种形式的 ，其子系统具有解耦的形式，系统的特征值 则由对角线上矩阵块的特征值组成，便于按照期望特征值的要 求来配置。 (A  BK)

(a-)也可以设计成上三角阵或下三角阵，只要具有与式6-40) 相同的对角线矩阵块，它们也具有与式(6一40)相同的特征值。且 期望特征值可配置在不同的块内，但所得到的K是不同的。 所以多输入系统状态反馈阵的选择不是唯一的。 (V)求能控标准型等价变换阵S及S； (v)计算状态反馈阵K=S。 例6-3求如下系统的状态反馈阵K,期望极，点是：万=-1+，=1-j ,元3=-50 「12-1 「1 0 A= 0 1 0 B= 01 ■ 10 3 0 0 1 「110 b 100 Ab,=0 b2- 010 P= 00 1 010 001 [-3 10 1 0 S= 0 01 0 1 0 1 00 25

25 也可以设计成上三角阵或下三角阵，只要具有与式(6－40) 相同的对角线矩阵块，它们也具有与式(6－40)相同的特征值。且 期望特征值可配置在不同的块内，但所得到的 是不同的。 (A  BK) 所以多输入系统状态反馈阵的选择不是唯一的。 K (ⅴ) 求能控标准型等价变换阵S －1及 S ； (ⅵ) 计算状态反馈阵 K  KS 1 。 例 6-3 求如下系统的状态反馈阵 ，期望极点是： 。 K  1 j,  1 j 1 2  5 3 ,                0 0 0 1 1 0 1 0 3 0 1 0 1 2 1 A B                             0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 b1 Ab1 b2 P                1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 1 S S