(4)用MATLAB计算状态反馈向量 用place命令可以计算状态反馈向量k。 以倒摆系统为例,输入以下命令 a=0,1,0,00,0,-1,0,0,0,0,1;0,0,11,0l;b=0;1;051];p=1,-2,-1+j,-1-ijl;k=place(a,bp) 可得到结果 k=-0.4000-1.0000-21.4000-6.0000 6-43多输入系统 如果系统(A,B)是能控的,则通过状态反馈u=r一x,K是pxn常 数阵,可以任意配置(A-BK)的特征值。共轭特征值必须成对配 置。 多输入系统极,点配置问题是:已知能控的(4,B)和一组期望特 征值(元万2,n),求p×n实矩阵K,使(A-BK)的特征值为 (元2…,元n)o 21
21 ⑷ 用MATLAB计算状态反馈向量 用 place 命令可以计算状态反馈向量k 。 以倒摆系统为例,输入以下命令 a=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]; b=[0;1;0;-1]; p=[-1,-2,-1+j,-1-j]; k=place(a,b,p) 可得到结果 k = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000 6-4-3 多输入系统 如果系统 是能控的,则通过状态反馈 , 是 常 数阵,可以任意配置 的特征值。共轭特征值必须成对配 置。 (A,B) u r-Kx K p n (A BK) 多输入系统极点配置问题是:已知能控的 和一组期望特 征值 ,求 实矩阵 ,使 的特征值为 。 ( , ) 1, 2, n (A,B) p n ( , ) 1, 2, n K (A BK)
计算步骤如下:不失一般性,假设n=6,p=3 ()如果系统(4,B是能控的,则存在非奇异阵P,以及等价变换 x=P,将系统变换成龙伯格能控标准型(A,B)。(假设它的能控 性指数为4=3,42=2,4=1): 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A=S-AS= -013 -012 -01 B Bis B16 0 0 0 0 0 B21 B22 B23 d22 -21 B26 31 P34 f35 31 00 0 0 0 0 B=S-B= 1Y11Y12 00 0 0 1 Y21 0 0 1 22
22 计算步骤如下: 不失一般性,假设 n 6, p 3 (ⅰ) 如果系统 是能控的,则存在非奇异阵 , 以及等价变换 ,将系统变换成龙伯格能控标准型 。(假设它的能控 性指数为 ): (A,B) 1 3, 2 2, 3 1 P x Px (A,B) 31 32 33 34 35 31 21 22 23 22 21 26 1 13 12 11 14 15 16 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A S AS 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 21 1 11 12 B S B
(i)将n个期望特征值按4,42,4分成3组,复极点必须成对分 配在同一组内,假设它们是(瓦,2,),(瓦,元),(亿)。然后计算 原系统期望的特征多项式 )=ia,() ,()=(-)=6s3+aw2+ans+a(62+as+aas+ai) ()取状态反馈阵为 1Y11Y12 a13-13 a2-a12a1-a1 =GK。=0 B1s P16 Y21 B2 B2 β23 0 1 1 a2-a2a21-421 P26 0 Bn2 B3s B B3s a31-1 式中 (6-39) [1 Yu Yn G=0 1 Y21 00 0 取K=GK。,其目的是使B=BG,或 23
23 (ⅱ) 将 个期望特征值按 分成3组,复极点必须成对分 配在同一组内,假设它们是 , , 。然后计算 原系统期望的特征多项式 n 1 2 3 , , ( , , ) 11 12 13 ( , ) 21 22 ( ) 31 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 21 22 31 2 12 13 2 11 3 1 3 1 s s s s s s s s s s i j i ij i i (ⅲ) 取状态反馈阵 K为 31 32 33 21 22 23 13 12 12 11 11 1 21 11 12 1 0 0 1 0 1 1 13 K G K G 34 35 31 31 22 22 21 21 26 14 15 16 式中 (6-39) 0 0 0 0 1 1 21 11 12 G 取 K G 1K G ,其目的是使 B BG G ,或
取K=GK。,其目的是使B=BG,或(A-B)=(A-BK。) 00 0 000 0 0 0 0 0 0 1 00 B。=BG1= 1 Y11Y12 0 G1= 0 0 0 0 0 0 1 Y21 0 1 0 0 0 于是,按式(6-39)设计。,可得到如下形式的(A-B): 0 1 0 0 0 0 0 0 A-BK= -a2-a1 0 0 0 (6-40) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -a2 -a21 0 0 0 0 0 0 031 这种形式的(A-B),其子系统具有解耦的形式,系统的特征值 则由对角线上矩阵块的特征值组成,便于按照期望特征值的要 求来配置。 24
24 取 K G 1K G ,其目的是使 B BG G ,或 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 21 1 11 12 BG BG G ( ) ( ) A BK A BG K G 于是,按式(6-39)设计 K G ,可得到如下形式的 (A BK): 31 22 21 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A BK (6-40) 这种形式的 ,其子系统具有解耦的形式,系统的特征值 则由对角线上矩阵块的特征值组成,便于按照期望特征值的要 求来配置。 (A BK)
(a-)也可以设计成上三角阵或下三角阵,只要具有与式6-40) 相同的对角线矩阵块,它们也具有与式(6一40)相同的特征值。且 期望特征值可配置在不同的块内,但所得到的K是不同的。 所以多输入系统状态反馈阵的选择不是唯一的。 (V)求能控标准型等价变换阵S及S; (v)计算状态反馈阵K=S。 例6-3求如下系统的状态反馈阵K,期望极,点是:万=-1+,=1-j ,元3=-50 「12-1 「1 0 A= 0 1 0 B= 01 ■ 10 3 0 0 1 「110 b 100 Ab,=0 b2- 010 P= 00 1 010 001 [-3 10 1 0 S= 0 01 0 1 0 1 00 25
25 也可以设计成上三角阵或下三角阵,只要具有与式(6-40) 相同的对角线矩阵块,它们也具有与式(6-40)相同的特征值。且 期望特征值可配置在不同的块内,但所得到的 是不同的。 (A BK) 所以多输入系统状态反馈阵的选择不是唯一的。 K (ⅴ) 求能控标准型等价变换阵S -1及 S ; (ⅵ) 计算状态反馈阵 K KS 1 。 例 6-3 求如下系统的状态反馈阵 ,期望极点是: 。 K 1 j, 1 j 1 2 5 3 , 0 0 0 1 1 0 1 0 3 0 1 0 1 2 1 A B 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 b1 Ab1 b2 P 1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 1 S S