上海交通大学：《现代控制理论（B类）》教学资源（PPT课件）第六章 状态反馈和状态观测器

(2)状态反馈系统的传递函数 对式(6一25)的能控标准型的传递函数是 g0)=Bs+4s-2+…+Bs+月 s”+a1s”++4m-1S+Cn 状态反馈系统的传递函数，由式(6一32)有 8)=Bs+A,2++Bs+E2 s”+a1sn-1+…+区n-1S+可n 例6-2倒摆系统 01 0 0 0 -1 0 0 0 0 010 00 11 本 y=000] X4 系统是能控的，但系统是不稳定的。 16

16 ⑵ 状态反馈系统的传递函数 对式(6—25)的能控标准型的传递函数是 n n n n n n n n s s s s s s g s                      1 1 1 1 2 2 1 1 ( )  n n n n n n n n s s s s s s g s                      1 1 1 1 2 2 1 1 ( )  状态反馈系统的传递函数，由式(6—32)有 例 6-2 倒摆系统 u xxxx xxxx         1010 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4321 4321       4321 1 0 0 0 xxxx y 系统是能控的，但系统是不稳定的

现用状态反馈使系统稳定：要求将系统极，点配置在-1，-2,1+1 和-1+j,求状态反馈向量k。 按极，点配置要求，可求得期望的特征多项式 △(s)=(s+1)(s+2)(s+1-j)+1+) a1=5,a2=10,a3=10,a4=4 =s4+5s3+10s2+105+4 原系统的特征多项式为 △(S)=s4-11s2 a1=0,a2=-11,a43=0,a4=0 于是 k=[a4-a43-3a2-2a1-a41]=[410215] 不难求得使系统变成能控标准型的等价变换阵为 1 10 10 1 P= 0 0 10 10 0 0 -1 0 0 0 0 所以 k=kP=[-0.4-1-21.4-6] 17

17 现用状态反馈使系统稳定：要求将系统极点配置在 , , 和 ，求状态反馈向量 。 1 , 2 , 1 j 1 j k 按极点配置要求，可求得期望的特征多项式 5 10 10 4 ( ) ( 1)( 2)( 1 )( 1 ) 4 3 2              s s s s s s s s j s j 5, 10, 10, 4 1   2   3   4  原系统的特征多项式为 4 2 (s)  s 11s 1  0,  2  11,  3  0,  4  0 于是 [ ] [ 4 10 21 5 ] 4 4 3 3 2 2 1 1 k           不难求得使系统变成能控标准型的等价变换阵为              0 0 0 1 0 0 1 0 10 1 0 10 1 0 0 10 1 0 10 1 P 所以 k  kP  [－0.4 －1 －21.4 －6 ]

对于单输入系统，还可用比较系数法求取状态反馈向量k: 先按极，点配置的要求，计算期望的特征多项式，建立等式 det(sl-(A-bk)=s”+as"-+…+an-1S+an (6-38) 比较式(6一38)等式两边对应项系数，便可求得组成k的n个未 知数。 在上例中 0 1 0 0 一k1 一k2 -k-1-k4 A-bk= 0 0 0 1 k1k2 11+k3k4 det(sl-(A-bk)=s4+(k2-k4)s3+(k-k3-11)s2-10k2s-10k =s4+5s3+10s2+10s+4 比较上式两边对应项的系数，便得 k1=-0.4 k2=-1 k3=-21.4 k4=-6 状态反馈向量 k=[-0.4-1-21.4-6] 单输入系统，期望极，点一旦确定，状态反馈向量k是唯一的。8

18 对于单输入系统，还可用比较系数法求取状态反馈向量 k ： 先按极点配置的要求，计算期望的特征多项式，建立等式 n n n n s   s  s    s   1 1 1 det( I (A－bk))  （6－38） 比较式(6—38)等式两边对应项系数，便可求得组成 的 个未 知数。 k n 在上例中           1 2 3 4 1 2 4 11 0 0 0 1 1 0 1 0 0 k k k k －k －k －k k A－bk 5 10 10 4 det( ( )) ( ) ( 11) 10 10 4 3 2 2 1 2 1 3 3 2 4 4               s s s s sI A bk s k k s k k s k s k 比较上式两边对应项的系数，便得 k1  0.4 k 2  1 k3  21.4 k 4  6 状态反馈向量 k  [  0.4 1  21.4  6 ] 单输入系统，期望极点一旦确定，状态反馈向量 k 是唯一的

于是，状态反馈系统的状态空间描述： =(A-bk)x+br y=cx 0100Tx1 0 0 0 0 2 0 0 -1 0 X2 0.41 21.4 6 X2 1 0 0 0 1 X3 0 0 0 0 X3 0 0 11 0x4 -0.4-1-21.4-6x4 -1 y=00( 0 其模拟计算机仿真方块图如图6一5 图6-5 19

19 于是，状态反馈系统的状态空间描述： cx x A bk x b    y  ( － ) r                                                     4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0.4 1 21.4 6 0 0 0 0 0.4 1 21.4 6 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 x x x x y u x x x x x x x x x x x x         u y 1 2 x 1 x x 2 3 x x 3 x 4 x 4 x 1 0.4 6 1 11 21.4 21.4 ＋  6 0.4 1 图6－5 其模拟计算机仿真方块图如图6－5

(3)单输入系统极，点配置的算法归纳 ●状态反馈与输出无关，所以上述算法也适用于单输入多输出系 统；单输入系统，期望特征值一旦确定，反馈向量k是唯一的。 ●单输入系统极点配置是已知能控的(4，)，和一组期望特征值 (元元，元)，求1xn实向量k,使4+k)的特征值为（元元，元） ●计算步骤： (i）计算△()=dets-A)=s”+as-1++ans+an (ii）计算期望的Ay=s-元s-元)…(s-,)=s”+as1+…+ans+a (i)计算k=[k石…]=[a-a。an-aa…a-] (v)求能控标准型等价变换阵Q及P=Q (V)计算k=[kk2…k]=P 20

20 ⑶ 单输入系统极点配置的算法归纳 单输入系统极点配置是已知能控的 , 和一组期望特征值 ，求 实向量 ，使 的特征值为 （A, b） ( , ) 1,  2,   n 1 n (A bk) ( , ) 1,  2,   n 计算步骤： (ⅰ) 计算 n n n n  s  s   s  s    s   1 1 1 ( ) det( I A)  (ⅱ) 计算期望的 n n n n n  s  s   s   s    s  s    s   1 1 1 2 1 ( ) ( )( )( )  (ⅲ) 计算 [ ] [ ] k  1 2  n  n n n1 n1  1 1 k k k (ⅳ) 求能控标准型等价变换阵 Q及 1 P  Q (ⅴ) 计算 k  [ k1 k 2  k n ]  kP 状态反馈与输出无关，所以上述算法也适用于单输入多输出系 统；单输入系统，期望特征值一旦确定，反馈向量 k 是唯一的。 k   