(2)状态反馈系统的传递函数 对式(6一25)的能控标准型的传递函数是 g0)=Bs+4s-2+…+Bs+月 s”+a1s”++4m-1S+Cn 状态反馈系统的传递函数,由式(6一32)有 8)=Bs+A,2++Bs+E2 s”+a1sn-1+…+区n-1S+可n 例6-2倒摆系统 01 0 0 0 -1 0 0 0 0 010 00 11 本 y=000] X4 系统是能控的,但系统是不稳定的。 16
16 ⑵ 状态反馈系统的传递函数 对式(6—25)的能控标准型的传递函数是 n n n n n n n n s s s s s s g s 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) n n n n n n n n s s s s s s g s 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) 状态反馈系统的传递函数,由式(6—32)有 例 6-2 倒摆系统 u xxxx xxxx 1010 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4321 4321 4321 1 0 0 0 xxxx y 系统是能控的,但系统是不稳定的
现用状态反馈使系统稳定:要求将系统极,点配置在-1,-2,1+1 和-1+j,求状态反馈向量k。 按极,点配置要求,可求得期望的特征多项式 △(s)=(s+1)(s+2)(s+1-j)+1+) a1=5,a2=10,a3=10,a4=4 =s4+5s3+10s2+105+4 原系统的特征多项式为 △(S)=s4-11s2 a1=0,a2=-11,a43=0,a4=0 于是 k=[a4-a43-3a2-2a1-a41]=[410215] 不难求得使系统变成能控标准型的等价变换阵为 1 10 10 1 P= 0 0 10 10 0 0 -1 0 0 0 0 所以 k=kP=[-0.4-1-21.4-6] 17
17 现用状态反馈使系统稳定:要求将系统极点配置在 , , 和 ,求状态反馈向量 。 1 , 2 , 1 j 1 j k 按极点配置要求,可求得期望的特征多项式 5 10 10 4 ( ) ( 1)( 2)( 1 )( 1 ) 4 3 2 s s s s s s s s j s j 5, 10, 10, 4 1 2 3 4 原系统的特征多项式为 4 2 (s) s 11s 1 0, 2 11, 3 0, 4 0 于是 [ ] [ 4 10 21 5 ] 4 4 3 3 2 2 1 1 k 不难求得使系统变成能控标准型的等价变换阵为 0 0 0 1 0 0 1 0 10 1 0 10 1 0 0 10 1 0 10 1 P 所以 k kP [-0.4 -1 -21.4 -6 ]
对于单输入系统,还可用比较系数法求取状态反馈向量k: 先按极,点配置的要求,计算期望的特征多项式,建立等式 det(sl-(A-bk)=s”+as"-+…+an-1S+an (6-38) 比较式(6一38)等式两边对应项系数,便可求得组成k的n个未 知数。 在上例中 0 1 0 0 一k1 一k2 -k-1-k4 A-bk= 0 0 0 1 k1k2 11+k3k4 det(sl-(A-bk)=s4+(k2-k4)s3+(k-k3-11)s2-10k2s-10k =s4+5s3+10s2+10s+4 比较上式两边对应项的系数,便得 k1=-0.4 k2=-1 k3=-21.4 k4=-6 状态反馈向量 k=[-0.4-1-21.4-6] 单输入系统,期望极,点一旦确定,状态反馈向量k是唯一的。8
18 对于单输入系统,还可用比较系数法求取状态反馈向量 k : 先按极点配置的要求,计算期望的特征多项式,建立等式 n n n n s s s s 1 1 1 det( I (A-bk)) (6-38) 比较式(6—38)等式两边对应项系数,便可求得组成 的 个未 知数。 k n 在上例中 1 2 3 4 1 2 4 11 0 0 0 1 1 0 1 0 0 k k k k -k -k -k k A-bk 5 10 10 4 det( ( )) ( ) ( 11) 10 10 4 3 2 2 1 2 1 3 3 2 4 4 s s s s sI A bk s k k s k k s k s k 比较上式两边对应项的系数,便得 k1 0.4 k 2 1 k3 21.4 k 4 6 状态反馈向量 k [ 0.4 1 21.4 6 ] 单输入系统,期望极点一旦确定,状态反馈向量 k 是唯一的
于是,状态反馈系统的状态空间描述: =(A-bk)x+br y=cx 0100Tx1 0 0 0 0 2 0 0 -1 0 X2 0.41 21.4 6 X2 1 0 0 0 1 X3 0 0 0 0 X3 0 0 11 0x4 -0.4-1-21.4-6x4 -1 y=00( 0 其模拟计算机仿真方块图如图6一5 图6-5 19
19 于是,状态反馈系统的状态空间描述: cx x A bk x b y ( - ) r 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0.4 1 21.4 6 0 0 0 0 0.4 1 21.4 6 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 x x x x y u x x x x x x x x x x x x u y 1 2 x 1 x x 2 3 x x 3 x 4 x 4 x 1 0.4 6 1 11 21.4 21.4 + 6 0.4 1 图6-5 其模拟计算机仿真方块图如图6-5
(3)单输入系统极,点配置的算法归纳 ●状态反馈与输出无关,所以上述算法也适用于单输入多输出系 统;单输入系统,期望特征值一旦确定,反馈向量k是唯一的。 ●单输入系统极点配置是已知能控的(4,),和一组期望特征值 (元元,元),求1xn实向量k,使4+k)的特征值为(元元,元) ●计算步骤: (i)计算△()=dets-A)=s”+as-1++ans+an (ii)计算期望的Ay=s-元s-元)…(s-,)=s”+as1+…+ans+a (i)计算k=[k石…]=[a-a。an-aa…a-] (v)求能控标准型等价变换阵Q及P=Q (V)计算k=[kk2…k]=P 20
20 ⑶ 单输入系统极点配置的算法归纳 单输入系统极点配置是已知能控的 , 和一组期望特征值 ,求 实向量 ,使 的特征值为 (A, b) ( , ) 1, 2, n 1 n (A bk) ( , ) 1, 2, n 计算步骤: (ⅰ) 计算 n n n n s s s s s 1 1 1 ( ) det( I A) (ⅱ) 计算期望的 n n n n n s s s s s s s 1 1 1 2 1 ( ) ( )( )( ) (ⅲ) 计算 [ ] [ ] k 1 2 n n n n1 n1 1 1 k k k (ⅳ) 求能控标准型等价变换阵 Q及 1 P Q (ⅴ) 计算 k [ k1 k 2 k n ] kP 状态反馈与输出无关,所以上述算法也适用于单输入多输出系 统;单输入系统,期望特征值一旦确定,反馈向量 k 是唯一的。 k