上海交通大学：《现代控制理论（B类）》教学资源（PPT课件）第六章 状态反馈和状态观测器

010 00 A=S-AS = -442 B=S-B= 1 0 444441441444444444441 44 001 L01 a12=4,a11=-4,a21=-1,f3=2,B21=B2=0,Y=0 △，(s)=s2+2s+2 △2(S)=5+5 a12=2,a1=2,a21=5 「a2-ap 阝21 {68 w 26

26                    0 1 1 0 0 0 0 0 1 4 4 2 0 1 0 1 1 A S AS B S B 4 4, 1, 2, 0, 0  12  ， 11    21    13   21   22    ( ) 2 2 2 ( ) 5 2 1 s  s  s   s  s  12  2, α11  2,  21  5                  0 0 6 2 6 2 21 22 21 21 12 12 11 11 13          K                            0 0 5 2 2 0 0 1 0 0 0 6 2 6 2 0 0 0 0 0 1 4 4 2 0 1 0 A BK                       0 6 0 6 2 16 0 1 0 1 0 3 0 0 1 0 0 6 2 6 2 1 K KS

系统加入状态反馈后的模拟仿真方块图如图6一6所示。 3 u 图6-6 27

27 系统加入状态反馈后的模拟仿真方块图如图6－6所示。    1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 y 2 y 1 6 6 16    u1 u2 3 图6－6

(3)算法Ⅱ：基于求解西尔维斯特Sylvester)方程的算法 。西尔维斯特方程及其解 西尔维斯特方程是具有如下形式的矩阵方程： AV-VF=U (6-41) 式中，A和F可以不是方阵，此时，V和U就不是方阵。若A 和F是n×n方阵，则v和U也是n×n方阵。在状态反馈的计算中 ,就属于后者。 西尔维斯特方程求解的问题是：已知A和F,给定U,求解”。 一般形式的西尔维斯特方程求解是比较困难的，但在A和F是 nxn方阵，且F是对角线型时，西尔维斯特方程就便于求解 了。这里提供一种适合于系统综合的西尔维斯特方程(6一41)的 简捷解法。 28

28 ⑶ 算法Ⅱ：基于求解西尔维斯特(Sylvester)方程的算法 西尔维斯特方程是具有如下形式的矩阵方程： AV VF  U （6－41） 式中， 和 可以不是方阵，此时， 和 就不是方阵。若 和 是 方阵，则 和 也是 方阵。在状态反馈的计算中 ，就属于后者。 A F V U A F n n V U n n 西尔维斯特方程求解的问题是：已知 A 和F ，给定 U ，求解V 。 一般形式的西尔维斯特方程求解是比较困难的，但在 和 是 方阵，且 是对角线型时，西尔维斯特方程就便于求解 了。这里提供一种适合于系统综合的西尔维斯特方程 (6—41) 的 简捷解法。 A F n n F  西尔维斯特方程及其解

①现令V=y…y]及U=[44,…,】,并设 0 0 0 2 (6—42) F- 0 0 0 则式(6一41)可写成 0… 0 0 几2 Av1v2…vn]-[vy2…vnl =[4142…4n] (6—43) 0 0 … 0 有 Ay,-V,=4 i=1,2,…,n (6-44) (,I-A)y,=-4 说明当元，()（元，(A)表示A的特征值）时，(，1-A)是非奇异的， (,1-A)存在，西尔维斯特方程有唯一解： y,=-(元，I-A)4 (6一45) V=[y1v2…vnJ (g46)

29 ① 现令V  [ v1 v 2  v n ] 及 U  [ u1 u2  un ] ，并设        n   0 0 0 0 0 0 2 1      F 则式(6—41)可写成 [ ] 0 0 0 0 0 0 [ ] [ ] 1 2 1 n n A v 1 v 2 v n v 1 v 2 v n u u2  u                   (6—43) i n i i i i Av  v   u  1 , 2 ,, i i ui ( I  A)v   (6—42) 有 (6—44) (6—46) ( I  A) i 1 ( )  iI  A 说明当 ( 表示 的特征值)时， 是非奇异的， 存在，西尔维斯特方程有唯一解：  (A) i  (A) i A i i A ui v I 1 ( )      [ ] n V v v v  1 2  (6—45)

②若有复极点，例如A=a±B，为避免复数计算，取 0 0 F= 0 0 (6-47) 0 a 0 … 0 - 对于复极，点有 Avi-av-Bvi=u (6-48) Avi+Bv-a=u 写成矩阵形式 "- (6-49) ]-[] (6-50) 30

30 ② 若有复极点，例如i,i1    j ，为避免复数计算，取               0 0 0 0 0 0 0 0          j 1 F 对于复极点有 i i i i i i i i Av v v u Av v v u        1 1 1    － － 写成矩阵形式                       1 i1 i i i u u v v I I A I A I                               1 1 1 i i i i u u I I A I A I v v     （6－47） （6－48） （6－49） （6－50）