引入状态反馈后系统的传递函数为 8k(S)=- 2s (s-1) 它存在s=0对消的零、极，点，所以系统变成不能观的。这说明 状态反馈可能改变系统的能观性。 6.4状态反馈极点配置 这一节研究的是用状态反馈来配置系统极，点的条件和极，点配置 的计算方法，即状态反馈阵K的计算方法。 状态反馈只与状态方程有关，而与系统的输出无关，所以只要 研究状态方程即可。 11
11 引入状态反馈后系统的传递函数为 ( 1) 2 ( ) s s s g s k 它存在 对消的零、极点，所以系统变成不能观的。这说明 状态反馈可能改变系统的能观性。 s 0 6.4 状态反馈极点配置 这一节研究的是用状态反馈来配置系统极点的条件和极点配置 的计算方法，即状态反馈阵 K 的计算方法。 状态反馈只与状态方程有关，而与系统的输出无关，所以只要 研究状态方程即可
6.4.1状态反馈极，点配置定理 定理6一2线性定常系统Σ能通过状态反馈任意配置全部特征值 的充分必要条件是系统完全能控。 证明必要性：用反证法。 若(4，)不完全能控，则可通过结构分解得出 B-PB- 对于任一状态反馈K,可按A和A的维数写成：=K,K,] A-BK=P-AP-P-BK=P-(A-BKP-)P (6-17) =P-(A-BK)P 式中 K△KP-I (6-18) 或 K=[区，K]K,PK,P] (6-19) 欧-4 (6-20) 12
12 6.4.1 状态反馈极点配置定理 定理6－2 线性定常系统 能通过状态反馈任意配置全部特征值 的充分必要条件是系统完全能控。 Σ 证明 必要性：用反证法。 若 (A,b)不完全能控，则可通过结构分解得出 0 B B PB 0 A A A A PAP c c 1 c 12 对于任一状态反馈 ，可按 和 的维数写成： K K1 K2 P A BK P A BK P AP P BK P A BKP P ( ) ( ) 1 1 1 1 1 式中 1 K KP 1 2 1 1 2 1 K K K K P K P 或 c c c c 0 A A B K A B K A BK 1 12 2 则 K Ac Ac （6－20） （6－19） （6－18） （6－17）
可见，状态反馈只能配置系统能控部分五的特征值，而不能改 变系统不能控部分A的特征值。证明了要配置系统的所有特征 值，系统必须是完全能控的。 充分性可以从下面的算法中证明。 证毕 6.4.2单输入系统 (1)单输入系统的极，点配置算法 单输入系统(4，b)是能控的，必能通过u=r一c(k是1×n行向量) 任意配置全部特征值。共轭特征值必须成对配置。 设：单输入系统的状态方程为 1: x=Ax+bu (6-21) y=cx+du k△[k1k2…kn] (6-22) A的特征多项式是 △(s)=det(sl-A)=s”+a1sn-1++0an-1S+an (6-23) 式中，a,eR(实域)，i=1,2,,n,的特征值中如有复根必定是成 对的共轭复根 13
13 可见，状态反馈只能配置系统能控部分 的特征值，而不能改 变系统不能控部分 的特征值。证明了要配置系统的所有特征 值，系统必须是完全能控的。 Ac Ac 充分性可以从下面的算法中证明。 证毕 6.4.2 单输入系统 ⑴ 单输入系统的极点配置算法 单输入系统 是能控的，必能通过 （ 是 行向量） 任意配置全部特征值。共轭特征值必须成对配置。 (A,b) u r－kx k 1 n 设：单输入系统的状态方程为 y du u cx Σ : x Ax b 1 （6－21） [ ] 1 2 n k k k k （6－22） A 的特征多项式是 n n n n s s s s s 1 1 1 ( ) det( I A) （6－23） 式中， (实域)， ，的特征值中如有复根必定是成 对的共轭复根 R i i 1, 2 , , n
(A,b)能控，通过等价变换=Px可以将，变换成能控标准型 1: 元=Ax+bu y=cx (6-24) A=PAP->b=Pb 0 0 0 07 0 A= 0 c=[B。B……B] 0 0 -an 一0n-1 -1 (6-25) 引入状态反馈u=r-心后的状态方程 u: =(A-bk)x+br (6-26) 期望的特征多项式为 △(s)=det(sl-(A-bk)=s”+as"+…+dn-1s+an (6-27) 对B,作等价变换x=Px,得 Ev: 元=P(A-bk)P+Pbr =(A-bk)x+br (6-28) 式中 k△kP-I (6-29) k也是1xn行向量 k△[k1飞2…kn] (6160)
14 (A,b) 能控，通过等价变换 x Px 可以将 Σ1变换成能控标准型 Σ1 cx Σ : x Ax b y u 1 （6－24） 1 A PAP ，b P b 1 A b c 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 n n n n （6－25） 引入状态反馈 u r kx后的状态方程 Σ : x A bk x b 1 r f ( － ) （6－26） 期望的特征多项式为 n n n n s s s s s 1 1 1 ( ) det( ( )) I A－bk （6－27） 对 Σ1 f作等价变换 x Px ，得 r r f A bk x b Σ1 : x P A bk P x Pb ( ) ( ) 1 － － （6－28） 1 式中 k kP k也是 1 n 行向量 [ ] 1 2 n k k k k （6－29） （6－30）
等价变换不改变特征值 det(sI-(A-bk))=det(sI-(A-bk))=s"+ajs"+...+as+a, (6-31) 0 0 0 A-bk= 0 0 0 0 K … 0 0 0 (6-32) 0 0 所以 k=[k1k3…kn]=[区n-anan1-a-…a-] (6-33) 或 ky=aniami- (6-34) 对于，状态反馈向量k等于 k=kP (6-35) 只要状态反馈向量满足式6一34)，便可将极，点配置在所要求的5 数值上
15 等价变换不改变特征值 n n n n s s s s s 1 1 1 det( I (A－bk )) det( I (A－bk)) 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 n n n n n k k k A－bk － （6－31） 所以 [ ] [ ] 1 2 1 1 1 1 k k k kn n n n n 或 i ni1 ni1 k 对于 Σ1 ，状态反馈向量k 等于 k kP （6－32） （6－33） （6－34） （6－35） 只要状态反馈向量满足式(6—34)，便可将极点配置在所要求的 数值上