6.2.1状态反馈系统的状态空间描述 。闭环系统的状态空间描述 设原系统的状态空间描述为 Z: =Ax+Bu (6—1) y=Cx+Du 引入状态反馈x,闭环系统的控制规律（输入）为 u=r-Kx (62) 式中，r是系统的参考输入，K是pxn状态反馈阵。 闭环系统状态空间描述：将(6一2)代入式(6一1)得 =Ax+B(r-Kx)=(A-BK)x+Br y=Cx+D(r-Kx)=(C-DK)x+Dr (6—3) 若D=0,则 21: =(A-BK)x+Br (6—4 y=Cx ●带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-(A-BK)B -5 G)是q×p阵。 6
6 闭环系统的状态空间描述 设原系统的状态空间描述为 y Cx Du Σ : x Ax Bu 引入状态反馈 Kx ，闭环系统的控制规律(输入)为 u r－Kx 式中，r 是系统的参考输入，K是 p n 状态反馈阵。 ( 6—1) ( 6—2) y Cx D r Kx C DK x Dr x Ax B r Kx A BK x Br ( ) ( ) ( ) ( ) － － － － 若 D 0 ，则 y Cx Σ : x A BK x Br f ( － ) 带状态反馈的闭环系统的传递函数阵为 G C I A BK B 1 ( ) ( ( )) f s s － ( 6—5) ( 6—4) ( 6—3) (s) G f 是 q p 阵。 闭环系统状态空间描述：将( 6—2)代入式( 6—1)得 6.2.1 状态反馈系统的状态空间描述
反馈系统的极，点是A-BK的特征值，有可能通过的选择K来任意 配置系统的极点。 6.2.2输出反馈系统的状态空间描述 -Fx 图6-4输出反馈系统的结构图 输出反馈系统的控制规律是 u=r-Fy (6-6) 式中，F是p×g输出反馈阵。代入式(6一1)得 7
7 反馈系统的极点是 的特征值，有可能通过的选择 来任意 配置系统的极点。 A－BK K 6.2.2 输出反馈系统的状态空间描述 图6-4输出反馈系统的结构图 输出反馈系统的控制规律是 u r－Fy 式中， F 是 p q输出反馈阵。代入式( 6—1)得 （6－6） A B C F Fx r u y x
=(A-BFC)x+Br y=(C-DFC)x+Dr (6-7) 若D=0,则有 Ed: =(A-BFC)x+Br (6-8) y=Cx 带输出反馈的闭环系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-(A-BFC)B G(s)是q×p阵。 (6-9) 原系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-A)B 则 (6-10) Gof(s)=G(s)(I+FG(s)) (6-11) 或 Gor(s)=(I+FG(s))G(s) (6-12) 输出反馈也可以通过F来改变系统的极，点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极，点。因为通常方程FC=K的解不 存在。 8
8 y C DFC x Dr x A BFC x Br ( ) ( ) － － 若D 0 ，则有 y Cx Σ : x A BFC x Br cf ( － ) 带输出反馈的闭环系统的传递函数阵为 G C I A BFC B 1 ( ) ( ( )) cf s s － Gcf (s)是 q p 阵。 G C I A B 1 ( ) ( ) s s 1 ( ) ( )( ( )) s s s Gcf G I FG 则 ( ) ( ( )) ( ) 1 s s s Gcf I FG G 或 输出反馈也可以通过 来改变系统的极点，但它不能像状态 反馈那样任意配置系统的极点。因为通常方程 的解不 存在。 F FC K 原系统的传递函数阵为 （6－7） （6－8） （6－9） （6－10） （6－11） （6－12）
6.3状态反馈系统的能控性和能观性 定理6一1状态反馈不改变系统的能控性，即2能控的充分必 要条件是：Σ是能控的。但可能改变系统的能观性。 证明：是能控的，由PBH判据 rank[sI-A B]=n s∈C(复域) (6-13) 若Σ是能控的，必须满足 rank[sI-A+BK BI=n VsEC (6-14) [sI-A+BK B]=[sI-A 所以 rank[sl-AB]=n←→rank[sI-A+BK B]=n VseC (6-15) 定理的第二个结论由下面的例子得论。 证毕 状态反馈可能改变系统的能观性。因为状态反馈改变了系统的 极，点，就可能出现改变后的极，点与原系统的零，点对消的情形。 9
9 6.3 状态反馈系统的能控性和能观性 定理6－1 状态反馈不改变系统的能控性，即 能控的充分必 要条件是： 是能控的。但可能改变系统的能观性。 Σ f Σ 证明：Σ是能控的，由PBH判据 rank[ sI A B] n s C (复域) （6－13） 若Σ f是能控的，必须满足 rank[ sI A＋BK B] n s C （6－14） K I I 0 [ sI A BK B] [ sI A B] rank[ sI A B] n rank[ sI A＋BK B] n 所以 s C （6－15） 状态反馈可能改变系统的能观性。因为状态反馈改变了系统的 极点，就可能出现改变后的极点与原系统的零点对消的情形。 定理的第二个结论由下面的例子得论。 证毕
例6-1考虑系统 y=2]x 原系统的传递函数为 2s g)=g2-28-5 原系统是既能控又能观的。 引入状态反馈 u=r-[-3 -1]x 引入状态反馈后系统变成 y=[1 2]x 其能控性矩阵与能观性矩阵分别是 ,[ 2 v= 22 rank Ut=2 rank Vr =1 系统是能控，但不能观的。 10
10 例6-1 考虑系统 x x x 1 2 10 3 1 1 2 y u 原系统的传递函数为 2 5 2 ( ) 2 s ss g s 原系统是既能控又能观的。 x x x 1 2 10 0 0 1 2 y r 其能控性矩阵与能观性矩阵分别是 1 0 0 2 U f 1 2 2 2 V f rank U f 2 rankVf 1 系统是能控，但不能观的。 引入状态反馈 u r－3 1 x 引入状态反馈后系统变成