微波技术基础（1）色散关系式纵向场分量可以表示成横向坐标！和纵向坐标的函数，即B(u,,z)=E(t,z)(u, P, z) = H.(t, z)代入方程（1.4~15)和式（1.4-16)，得到2)/B(, 2/+2)2[B.(t,z) )V+(1. 4 - 17)z/H（t2)(H.(t,z)以B(t，2)求解为例，应用分离变量法，令M(t, z) = Ea(0)2(z)，代入式（1、1-17），得到t212a2(2)V"Ba(t)K2Ho(t)Z(之)此式要成立，左边两项应分别等于某常数。令其分离变量常数分别为机β，则得到方程et-2(2) +(2) 0(1. 1- 18)VBa(t)+Bo(t)=0(1. 4 - 19)和色散关系式或者磁十院=K张一2一3(1.1 - 20)式(1.4-18)的解为(2) = Ane- + Azom:(1.4- 21)式中称为导波的传播常数或相移常数：β=V-=i(k/k)）(1. 1 - 22)（2）本征值方程式（1.4-19）是导波场的本征值方程（若k≠0）。k是此方程在特定边界条件下的本征值，称为导波的横向截止波数（cu-offwavenumber），它与导行系统的截面形状、尺寸及模式有关。一般米说，由两个或两个以上导体构成的导行系统（称之为传输线），其性质是非本征值问题：由单一导体（单导线、各种形状的金属波导管等）构成的导行系统，其性质是本征值问题。H，满足同样的本征值问题。此本征值方程在广义柱坐标系中的表示式为502[1(是轻是+是会是)+码(1.4- 23)0[国]lla(u,r)式中如、是正交曲线坐标的拉梅（Lame）系数这样，规则导行系统中沿正2方向传播的导波纵向场分量可以表示为M(u, n, z) = Bo-(u, n)en:(1. 4 - 24)ll,(u，r，2)=Ha(n，2)e-s(1.4 - 25)（3）横－纵向场关系式由于3/32=—3、/02=-限，代式(1.4-10)和式(1.4-11)，得到）
第一童引论V8+ZVHX司E=(1.4-26)1.2PrVH +Y2× V..JH二(1. 4 - 27)式中HEZ3(1.4- 28)Be天Y.(1.4 - 29)书u横-纵向场关系式(1.4-26)和式(1.4-27)在广义柱坐标系中的分量形式为Be=+居后班E=n(1.4 -30 a)ae3H.=uhzman3BueH,aau2h2写成矩阵形式为aaHR00h230h1E.卫aB,ue00H.hnhz(1.4 - 30 6)aH卫-ueH.00hnh2[B,]aE.卫二00hh2（4）导波的种类与特点由式(1.4~26)和式(1.4~27)可见，规则导行系统中导波的横向场E和H,一般可分解成由B或/和H.决定的部分和与。、H，无关的部分，即可表示成E=+++(1. 4 - 31)H,=H+H+H+H?式(1.4-31)中的(E，H)对应于式(1.4-26)和式(1.4~27)中H,=0的场：VEE-(1.4~32)yax VB.Hi=这种无I，分量的(E，Hi，B,）导波称为横磁（TM)波或电(E)波，其磁场完全分布在与导波传播方向垂直的横截面内，电场则有传播方向分量
微波技术基础10式（1.4-31)中的(，H）对应于式(1.4-26)和式(1.1-27)中E=0的场E=VH.×2R(1.4-33)=v.Hh.这种无B分量的（E，H，H)导波称为横电（TE)波或磁（H)波，其电场完全分布在与导波传播方向垂直的横截面内，磁场则有传播方向分量。式(1.4-31)中的(E，H)对应于式(1.4=26)和式(1.4-27)中B=0和H,=0的场。因为（E，H）于0，所以必须有=0，于是βk，则由式1.4-8)和式（1.4-9）、得到V,XE=0,EX2=-H!(1.4-34)V.XH=0,H!X2E式中n=V/e。这种无B，和H.分量的（E、H）导波称为横电磁（TEM)波。其电场和磁场均分布在与导波传播方向垂直的横截面内。式（1.4-31）中的（E，H）对应于式（1.4~26）和式（1.4-27）中E：于0和H≠0的场。这种导波称为混合波（hybridwave）。根据色散关系式（1.4-20)中本征值的不同，可以分析得到上述导波的不同特性：对于TEM导波，=0，由式（1.4-13)和式（1.4-14)可知E、H满足如下拉普拉斯（Laplace）方程：VE&(u,)=0(1.4-35)H&(,)=0可见TEM导波场与静态场相同，可存在于导体之间，因此TEM导波存在于由双导体或多导体构成的导行系统（传输线）中，故又称为传输线模。由于其=0，β=k，因此TEM导波的相速度、群速度均等于无耗媒质中平面波的速度，与频率无关，无色散现象；其波阻抗为，也与无耗媒质中平面波的阻抗相同。TEM导波与自由空间平面波的不同处在于其横向场是坐标（“，"）的函数。对于TE和TM导波，>0，对应于导行系统横向为调和（振动）解形，空心的封闭金属波导管属于这种情况，故TE和TM导波又称为波导模式。此种情况下，>β，则导波的相速度>c/V。，为自由空间光速，故称TE和TM导波为快波。其传播常数β·VT一（k/k），可见这类导波具有色散现象，且须满足条件<k才能传输。对于混合波，码<0，对应于导行系统横向为衰减解形，其场被束缚在导行系统表面附近，称之为表面波（surfacewave）。这种导波可存在于电抗壁导行系统中，例如介质波导、光纤等。此时2<，则导波的相速度"以，故称为慢波，也须满足条件<才能传输。需要指出的是，上述按有无，和/或H。分量分类的方法不是唯一的，在介质波导中，有时采用相对于r或坐标，即电场或磁场只在某纵截面（xoz或oz）内，分为纵电波（LSE）和纵磁波（LSM)；但可以证明，LSE波和LSM波仍然是TE和TM波的叠加。（5）导波场的求解方法由.上述分析结果可知，根据值的不同，导波场的求解可分两种情况：
11第一章引论①0的情况：此种情况下导波场的求解问题属本征值问题。TE或/和TM导波场属此类问题。其解可用纵向场法(longitudinal-fieldmethod）求得。此法分两步：第一步结合边界条件由本征值方程（1.4-23）求出纵向场分量Ho(u，")或Bo(u"）；第二步由横-纵向场关系式（1.4-30)求各横向场分量。②k=0的情况：由式(1.4-30)可知，此种情况对应为B，=H,=0的TEM导波场。由于k=0，所以TEM导波场求解问题属非本征值问题，不能用上述纵向场法求。此时=，而/az=一=一k，于是由式(1.4-13)可知，TEM导波场满足二维Laplace方程E(u)=0(1.4-36)又由式(1.1-9a)，V,XE(nu，)=0，因此E(u，)可以看做二维静电场问题的解，且可用二维静电位函数的梯度表示为(1.4-37)Ea(u v) =- Vo(u,v)于是由式(1.4-4)，得到方程(1.4 - 38)V,E(u, )=Vd(u, v) = 0据上分析，TEM导波场的一般求解方法如下：（i）结合边界条件求解方程（1.4-38)，决定(a、u）；()由式(1.4-37)求E(u，2,z，1)，即E(n, v, 2,t) - V,0(n, ")eu干ies(1.4 - 39)(ii)由如下关系求H(un，z,t)：H=±xE(1.4 - 40)ZmEN(iv）在上述各式中(1. 4 - 41)，=376.7(2)βk=R Ko, ZnEM=g3.导行波的一般传输待性（1）导模的截止波长与传输条件定义：导行系统中某导模无衰减所能传播的最大波长为该导模的截止波长（cur~offwavelength），用α表示；导行系统中某导模无衰减所能传播的最低频率为该导模的截止频率（cut-offfrequency），用表示。在截止波长以下，导行系统可以传播某种导模而无衰减；在截止波长以上传播就有衰减。通过对衰减机理的分析，可以求得相应导行系统中导模的截止条件和截止波长。由式（1.422)可知，当频率很低时，起<赔，β为虚数，则相应的导模不能传播；当频率很高时，>磁，β为实数，则相应的导模可以传播；在某y。时，=%=，β=0，相应的导模被截止。由此得到截止频率为ke(1. 4 - 42)fo:2元8截止波长则为
12微波技术基础220(1.4- 43)k由上述分析可知，导模无衰减传输条件是其截止波长大于工作波长（22），或其截止频率小于工作频率（F。f)。（2）相速度和群速度相速度定义为导模等相位面移动的速度：1tUw(1.4- 44) =（K/（/G式中，=/V，=o/，和分别为自由空间的光速和波长；-（/）称为波导因子或散因子群速度定义为波包移动速度或窄带信号的传播速度：da1/1-(2)二, =-n(1. 4 - 45)dB-dB/do由式（1.4－14)和式（1.1－45)可见，导模的传播速度随频率变化，表明相应导行系统具有严重的色散现象。由于频率增加相速度减小，故属正常色散，且有关系=以(1.4-46)（3）波导波长导行系统中导模相邻同相位面之间的距离，或相位差2元的相位面之间的距离称为该导模的波导波长（waveguidewavelength），以入表示：4二2元1(1.4 - 47)（/）2此式是导行系统的2、2和入三者的重要关系式。（4）波阻抗导行系统中导模的横向电场与横向磁场之比称为该导模的波阻抗（waveimpedance）。由式(1.1-30)可得TE导波和TM导波的波阻抗为kB元力ZE 二(1.4-48)HHBVe(/)二起=卫B.拉压是=nh-(会)ZM =(1.4 - 49)H.H.yetcoe式中n=/m/为媒质的固有阻抗，对于空气，n=m=√/=376.7(2。（5）功率流导波沿无耗规则导行系统十方向传输的时间平均功率为2-ReEXHds[(E + En.)eu-] ×[(Ha + Ha)e-a-'s]. 2dsReEo(n, ) X Ho(u, ") - zdsRe(1. 4 - 50)式中积分限S为导波通过的导行系统横截面。式（1.4-50）适用于传播的（为虚数）TEM