证：设实对称阵A的互不相等的特征值为人，入2，.，入， 它们的重数依次为，"2，.，广 则+乃2+.+r=n 由定理，特征值入，（重数为'：）对应的线性无关的 特征向量为个。 把它们正交化，再单位化，即得个单位正交的特征向量。 .'+3+.+r=n 所以，可得这样的单位正交向量n个
证：设实对称阵 A 的互不相等的特征值为 1 2 , , , s 它们的重数依次为 1 2 , , , s r r r 则 1 2 s r r r n + + + = 由定理，特征值 （重数为 ）对应的线性无关的 特征向量为 个。 i i r i r 把它们正交化，再单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量。 1 2 s r r r n + + + = 所以，可得这样的单位正交向量 n 个
又，‘A是实对称阵， '.不同特征值对应的特征向量正交， .上面得到的n个单位特征向量两两正交。 以它们为列向量构成正交矩阵T,有 T-1.AT=T-1.TΛ=Λ 其中△的对角元素含有个2 3个元2 .r,个人、恰是A的n个特征值
又 A 是实对称阵， 上面得到的 n 个单位特征向量两两正交。 以它们为列向量构成正交矩阵 T ，有 1 1 T AT T T − − = = 不同特征值对应的特征向量正交， 其中 的对角元素含有 r1 个 1 2 r 个 2 s r 个 s 恰是 A 的 n 个特征值