2.1本章习题类型与解题方法29 七个不同的状态组合与的对应状态列表,即得表2-3的真值表。由于波形佟 中始终没有出现ABC=000的状态,所以最小项A'B'C"始终等于0,是一个约束 项,在真值表中以“x”表示。Y的函数式中可以包含A'B'C'这个鼓小项,也可 以不包含这…项。 表2-3例2-8的逻辑真值表 C101010 0110 00111 5.逻辑式→真值表 解题方法秈步骤 将所有的输入变量取值组合逐一代入逻钭式,算出输出的函数值,然后将输 入与输出的取值对应列成長格,得到的就是貞值表。 【例2-9】已知逻辑函数式为 y=ABC +ABD+acl+BcD 试列出此函数的真值表。 解:将ABCD四变量全部16种取值的组合(00~1111)逐个代入Y的丽 数式中,求出对应的y值,然后列表,就得到∫山表2-4所示的真值表。由真值 表可以看出,这是个代码判断数,当输入代码屮含有个和个以上的1 时,Y=1;否则y=0 表2-4例2-9的真值表 A000000 0 100 0
第二章逻辑代数基础 续表 B D 0 6.逻辑图→逻辑式 解题方法和步骤: 通常采用的方法是从电路的输入端到输出端逐级写出逻辑图形符号所表示 的逻辑代数运算式,从而得到所求的逻辑式。 【例2-10】写出图2-6所示电路输出Y的逻辑函数式 A B 4(B+C B+Cr B(B+C) C))+B(B- 图2-6例2-10的逻辑图 解:从输入端开始,逐级写出图形符号代表的代数运算式,如图2-6中所 示,最后得到 Y=AB+(A'(B+C))+B(B+C) 7.其他的互相转换 利用上面几种基本的转换方法,可以实现任何两种表示方法之间的转换 例如我们要找出给定逻辑图的真值表,就可以先写出等效的逻辑式再从逻辑式 列出真值表。又比如我们需写出给定波形图所代表的逻辑式,这时可以先列出 与波形图对应的真值表,然后从真值表写出逻辑式
2.1本章习題类型与解题方法31 、逻辑函数式的变换 在设计逻辑电路的过程屮,往往首先得到的是逻辑函数的与或形式(也称 为积之和形式)。如果规定全部使用与非门组成这个逻辑电路,这时就必须把 与或形式的逻辑函数式变换成全部由与非运算组合成的形式(也称为与非-与 非形式)。又如,在使用ROM实现一个组合逻辑函数时,则要求将逻辑函数式 化为最小项之和的形式,等等。 1.与或形式→与非-与非形式 解题方法和步骤: 利用摩根定理将整个与或式两次求反,即可将与或形式化为与非-与非形 式 【例2-11将下面的逻辑函数化为与非-与非形式 Y=AB+A'BD+CD' 解:应用摩根定理将上式两次求反,得到 Y=(Y)’=((AB'+A'BD+CD')) ((AB)'(A'BD)'(CD)) 这样就把函数式化成了全部山与非运算组成的形式。 2.与或形式→与或非形式 解题方法和步骤 根据逻辑代数的基本公式和代入定理可知,任何一个逻辑函数都遵守公式 Y+Y=1。又知所有最小项之和恒等于1,所以若将不包含在y式中的所有最 小项相加,得到的就是Y。将这些最小项之和再求反,也得到Y。因此,将不包 含在函数式中的那些最小项相加然后求反,得到的就是函数式的与或非形式。 如果画出函数的卡诺图,则只需将图中填入0的那些最小项相加,再求反, 就可得到与或非形式的逻辑函数式了 【例2-12】将下面的逻辑函数式化为与或非形式 Y=A'C'D+A'BD+AB+BCD 解:首先画出Y的卡诺图,如图2-7所示。 将卡诺图中的0合并,然后求反,得到 Y=(A'B'D+AB+ BCD') 3.与或式→或与式 解题方法和步骤: 方法一,首先用上面所讲的方法将与或形式的逻辑函数转换成与或非形式。 然后,利用摩根定理就可以将与或非形式的逻辑式转换成或与形式的逻辑式了 方法二,反复运用公式A+BC=(A+B)(A+C)进行运算,也可以将与或形 式的逻辑函数式变换为或与形式的逻辑函数式
32第二章逻辑代数基础 CD ABD |06CD 1B 图2-7例2-12的卡诺图 【例2-13」将下面给出的逻辑函数转换为或与形式的逻辑式 =AC+A'B′+A'C 解:采用第··种方法时,需首先画出Y的卡诺图,如图2-8所小 将图中的0合并,然后求反,得到 ABC Y=(A'RC+AC')′ 0001111 再利用摩根定理将上式展开 Y =(A'BC).(AC) =(A+B'+C')(A+C) 也可以采用第二种方法,直接进行公式运算 Y=AC+A'B+A'c 图2-8例2-!3的卡诺图 (A+A'B'+A'C)(C+A'B'+A'C') =(A+B+C")(C+AB'+A) (A+B'+C)(A'+C) 也得到同样的变换结果。 这里需要提醒一点,用第二种公式推演方法得到的或与式有时不是最简的 还能进一步化简;而用第一种方法,在合并卡诺图上的0时已经进行了合并化 简,所以得到的或与表达式应当是最简的了。 4.与或式→或非-或非式 解题方法利步骤: (1)先按前述方法将与或式转换为与或非形式。 (2)用摩根定理将与或非式中的每个乘积项化为或非的形式,即可得到或 非-或非形式的函数式了 【例2-14】将下面的逻函数式化为或非一或非形式 Y=AD+A'B'C+AC'D+CD
2.1章习题类型与解题方法33 解:画出Y的卡诺图,如图2-9所示。 将图中的0合并后得到 CD Y =(ACD+ACD+ACD+ BCD) =((A′+C+D)+(A4+C+D')′ (A'+C+D)'+(B'+C′+D')) 5.将逻辑函数式化为最小项之和的形式 解题方法利步骤 1)首先利用逻辑代数的公式和定理将函 数式化成与或形式 (2)利用公式A+A′=1将每个乘积项中 缺少的因子补齐。例如某个乘积项中缺少因子图2-9例2-14的卡诺图 B,则应在该项上乘以(B+B'),然后拆成两项,每项中便分别增加了B或B'因 子 【例2-15】试将下向的逻辑函数式化为最小项之和的形式 Y=((AB)'+C)+AD 解:首先将上式化为与或形式 Y=(AB')C′+AD=AB'C′+AD 然后在第一项乘以(D+D'),在第二项上乘以(B+B'),得到 Y=ABC(D+D)+AD(B+B' AB'C'D+AB'C'D+AB'D+ABd 冉将上式的最后两项上各乘以(C+C),最后得到 Y=ABCD+AB'CD+ABD(C+C")+ABd(C +C) AB'C'D+AB'C D+AB'CD+ABCD+ABcD +m。+ 十丑, 6.将逻辑函数式化为最大项之积的形式 解题方法和步骤: 1)若给出的函数式已经是或与形式,则可以利用公式AA’=0将每个括号 内缺少的因子补齐。例如(A+C)中缺少B或B',这时就可以在括号里加上 BB’,然后再利用公式A+BC=(A+B)(A+C)将它拆廾,就得到∫两个最大项 的乘积 (A+C"+BB')=(A+B'+C")(A+B+C') (2)若给出的函数式是与或形式,则应当先利用上面介绍的方法将它变换 为或与形式,然后再按(1)中所说的方法去做。 【例2-16】将下面的逻辑函数式化为最大项之积的形式 Y=(B+C')(A+B'+C)