第二章 逻辑代数基础 2.1本章习题类型与解题方法 这一章的习题从内容上可以分为四种类型:逻辑等式的证明逻辑函数不同 表示方法之间的转换、逻辑函数形式的变换和逻辑函数的化简。下面分别总结、 归纳一下这几种类型习题的解题方法并给出相应的例解。 一、逻辑等式的证明 解题方法和步骤: 方法一,分别列出等式两边逻辑式的真值表,若真值表完全相同,则等式成立 方法二,若能利用逻辑代数的公式和定理将等式两边化为完全相同的形式, 则等式成立 方法三,分别画出等式两边逻辑式的卡诺图,若卡诺图相同,则等式成立 方法四,用 Multisim的逻辑转换器将等式两边的逻辑式分别化简,若化简结 果相同,则等式成立。 【例2-1】试用列真值表的方法证明下面的等式 a'=aB 解:分别列出A⊕B和A⊕B的真值表,如表-1可见,a'与AB 的真值表完全相同,故等式成立。 表2-1例2-1的真值表 A B A B A A'⊕B 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1
2.1本章习题类型与解题方法25 【例2-2】试用公式变换的方法证明下面的等式 (AOB)+A=(AOB)+B 解:左式(4eB)+A=AB'+A'B+A =AB+4 (根据A+AB=A) =4+B (根据A+A'B=A+B) 右式(AB)+B=AB'+A"B+B 4B′+B (根据A+AB=A) =A+B (根据A+A'B=A+B) 故等式成立 【例2-3】试用卡诺图证明下询的等式 AB′+A’C+BC'=AC′+B'C+A'B 解:画出等式两边对应的卡诺图,均得到图2-1的结果,故等式成立 从以上的三个例子还可以看出,列真值表的、BC 方法般适合于证明变量数较少(例如不多于四4_0001 个)、逻辑式也比较简单的等式。变量数较多、函 0 数式又比较复杂的情况卜,一般适于使用公式变 换的方法去证明。画卡诺图证明的方法通常用在 0 变量数较少(不多于四个),而且逻辑式是与或形 式的情况 图2-1例2-3的卡诺图 、逻辑函数不同表示方法之间的转换 用于表示逻辑函数的方法有逻辑真值表(简称真值表)、逻辑函数式(简称 逻辑式)逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语吉(简称HDL)等几种。由于每 种描述方法各有其特点和应用场合,所以经常要求将用某一种表示方法给定 的逻辑函数改用另外的表示方法来描述。尽管目前已经有计算机软件能自动完 成这些转换,但为了理解和掌握这些转换方法的基本原理,通过手工的方法去解 这一类题H仍然是必不可少的 1.真值表→逻辑式 解题方法和步骤 (1)首先从真值表中找出所有使函数值等于1的那些输入变量取值组合。 2)每一组使输出为1的输入变量取值下,必然有一个最小项的值等于1。 取值为1的交量在这个最小项中写为原变量,取值为0的变量在这个最小项中 写为反变量。 (3)将所有的这些最小项相加,就得到∫所求的逻辑函数式。 【例2-4】给出逻辑函数的真值表如表2-2,试写出这个逻辑函数的逻 辑式
26第_章逻辑代数基础 表2-2例2-4的逻辑真值表 B D 00000000 01010r0 1→A'B'CD′=1 1→A'B'CD=1 1-,A'BC'D=1 1→A'BCD'=1 11t111 1→AB'CD'=1 1-→AB'CD=1 10101 解:由真值表可见,当输入变量ABCD的取值为0010、0011、0100、0110 1010和1011之中的任何一种时,Y都等于1。这六种输人变量取值的每一种都 使一个对应的最小项等于1所以输出Y就等于这些最小项之和。例如,当AB CD取值为0010时,最小项A'B'CD=1,所以Y的函数式中应包含这一项。而 当ABCD取值为0011时,最小项ABCD=1,所以Y的函数式中也应包含这 项。依此类推,于是得到 Y=ABCD+A'B'CD+A'RC'D+A'BCD+AB'CD'+AB'CD 2.逻辑式→逻辑图 解题方法和步骤: (1)如果没有附加限制条件,则只要用逻辑图形符号取代逻辑函数式中的 代数运算符号,将这些图形符号按输入到输出的顺序连起来,就得到所求的逻辑 图了 (2)如果对使用的逻辑图形符号有限制,则往往还需要将函数式变换为适 于使用限定图形符号的形式,然后再用图形符号代替代数运算符号。例如,规定 全部使用与非图形符号画出逻辑图,那么就必须先将函数式化为全部由与非运 算组成的形式。这个问题我们在后面还会讲到
2,1本章习题型与解题方法27 例2-5】给定逻辑函数式为 Y=A'BD+A'CD′+B'C 试画出对应的逻辑图。 解:由于本题对逻辑图中可以使用的图形符号种类没有限制,所以直接用 与、或、非逻辑图形符号取代式中的代数运算符号就行了,于是得到如图2-2所 示的逻辑图。 3.逻辑式→卡诺图 解题方法和步骤: (1)将逻辑函数式展开为最小项之 和的形式。 (2)画出最小项的卡诺图,在函数D- 式中包含的最小项对应的位置上填人 其余位置上填人0,就得到了表示该 图2-2例2-5的逻辑图 逻辑函数的卡诺图。如果函数式中包含无关项,则在相应位置上填人“ⅹ”,表 示填入0或1均可。 【例2-6】给定逻辑函数式为 Y=A'BC'D+B'C'D′+A'C 试画出表示该逻辑函数的卡诺图。 解:首先将y化为最小项之和形式。式中第一项是最小项,第二、三项不是 最小项。第二项缺少A或A'因子,第三项缺少B或B'和D或D因子。利用公 式A+A=1,将所缺的因子补齐,于是得到 Y=A'BC'D+BCD(A+4)+A'C(B+B(D+D' =A'BC D+A'B'C'D+AB'C'D+A'B'CD'+A'B'CD+A'BCD+ABCD =mo t m2+ m3 +ms +m6+m, m& AB 画出四变量的卡诺图,在其中mo、m2 01 11 10 m3ym、m,m和m的位置填人1,其余位置1013-2 填入0,即得到如图2-3所示的卡诺图。 在解这类题目的过程中,完全可以跳过 将函数展开为最小项之和的这一步,根据给 出的逻辑式直接填写卡诺图中的1和0。例1l 如B'C'D'一项包含了所有含B'、C'、D因子的 最小项,而A'C则包含了所有含有A和C两 101 个因子的最小项,这样就可以直接填写出函 图2-3例2-6的卡诺图 数的卡诺图了。 【例2-7】已知逻辑函数式为
28第二章逻辑代数基础 =AB+A'D′+AB'C 试画出表小Y的卡诺图。 解:因为AB这一项包含了所有含AB的最小项,所以可以直接在四变量卡 诺图上标为A=1、B=1的最小项(m1、m1、、CD m1、m3)位置上填入1。同理,AD一项包含4 00非111 所有含有AD'的最小项,所以在对应A=0 D=0的最小项(mn、m2、m4、m5)位置上填入 1。AB'C包含了所有含AB'C'的最小项,所以 0 应在对应A=1、B=0、C=0的最小项(m )位置卜:填入1。这样就直接得到了如图11 2-4所示的卡诺图,而不必事先将Y化成最 小项之和的表达式 4.波形图→真值表 解题方法和步骤: 图2-4例2-7的卡诺图 (1)在周期性重复的波形图屮,将每个 时问段内输入变量和输出的取值对应列表,即可得到函数的真值表 (2)若波形图中有些输入变量状态组合始终没有出现,则这些输入变量组 合下等于1的最小项为函数的约束项。 【例2-8】由逻辑分析仪给出了某逻辑电路输人与输出的波形图如图 2-5所示,试列出描述该电路逻辑功能的真值表。 A1000 输 011 10|1 c…,冋l,! 输出F0 图2-5例2-8的函数波形图 解:由波形图」可以看出,从ABC的01状态至111状态为一个循环周期 也可以从低何个其他状态算起,七个输入状态为一个循环周期),将ABC的