证明: Newton法实际上是一种特殊的迭代法 f(x) g(X=x g(x*)= f"(x*)f(x* =0<1→在x的附近收敛 f∫"(x*) 由 Taylor展开 0=f(x*)=f(xk)+f(xk)(x*-x)+了(<) →→x* f(rk f(sk) k x“一x f'(xyy 2f'(*k) x * xn k+1 f"() 令k→,由∫(x*)≠0 (x*-x)2f(x)即可得结论
( ) ( ) ( ) f x g x x f x = − 2 ( *) ( *) ( *) 0 1 ( *) f x f x g x f x = = 在x*的附近收敛 由Taylor 展开： 2 ( ) 0 ( *) ( ) ( )( * ) ( * ) 2! k k k k k f f x f x f x x x x x = = + − + − 2 ( ) ( ) * ( * ) ( ) 2 ( ) k k k k k k f x f x x x x f x f x = − − − 1 2 * ( ) ( * ) 2 ( ) k k k k x x f x x f x + − = − − 令k→ ，由 f (x*) 0， 即可得结论。 证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法
思考题1若f(x*)=0New0法是否仍收敛? 设x是∫的m重根,则令:f(x)=(x-x)"q(x) 且q(x*)≠0 g (x) f(x)f(x) f() qlxlm(m-1q(x)+ 2m(x-x )q(x)+(x-x)q(x) m(x)+(x-x)(x)2 g(x*)=1-<1 Answer1:有局部收敛性
思考题1 若 f x ( *) 0 = ，Newton法是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 m 重根，则令： 且 * ( ) ( ) ( ) m f x x x q x = − q x( *) 0 * * 2 * 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( 1) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] f x f x g x f x q x m m q x m x x q x x x q x mq x x x q x = − + − + − = + − 1 | ( *) | 1 1 g x m = − Answer1: 有局部收敛性
思考题2当x*是/(=的m重根是否平方收敛? f(x)=m(x-x)q(x)+(x-x)q(x) f(xx Xklx- x f(x m1-1)9(x)+(xkx)g(x r-x mq(x )+(xxx)q(xy lim Pa=limkxkxI-m-1 →0 k→∞ Xk x Answer2:线性收敛
Answer2: 线性收敛 思考题2 当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？ 1 * * '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) m m f x q x q x m x x x x − = + − − * * 1 * * * ( ) '( ) ( 1) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) k k k k k k k k k k k f f m q q mq q x x x x x x x x x x x x x x x x + − = − − − + − = − + − * 1 1 * 1 lim lim k k k k k k m m x x x x + + → → − − = = −