基于模糊遗传算法的混沌同步控制算法

D第8卷第2射ssn1001053x.201.225京科技大学学报 Vol.23 No.2 2001年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2001 基于模糊遗传算法的混沌同步控制算法 李擎”郑德玲)杨林浩) 1)北京科技大学信息工程学院，北京，1000832)邯郸钢铁集团公司，邯郸056000 摘要连续变量反馈同步法(CV℉S)是一种比较简单的同步控制算法，但该算法在实际应用 中存在一个关键的问题，即反馈系数的整定比较困难.为了解决这个问题，在把模糊遗传算法 (FG)和连续变量反馈同步法(CVFS)相结合，提出了一种基于模糊遗传算法的连续变量反馈同 步法(FGACVFS).仿真结果表明：FGACVFS算法能方便有效地进行整定工作. 关键词混沌同步；模糊控制；遗传算法 分类号TP273;TN918 在保密通讯应用中，使用混沌的同步技术 混沌信号，而小反馈微扰信号E()在这里则起 把复杂的混沌信号和有用信号混合后发射出 到了自控的作用，通过适当调整反馈系数矩阵 去，会给非法破泽者造成极度的困难；将混沌 K中对角线上的元素值来实现2个混沌系统的 的同步技术用于激光装置时，不仅能在很宽的 同步控制 功率范围维持激光的稳定运行，而且能惊人地 输人 响应系统 输出 把激光器的输出功率提高数10倍.由于混沌的 nt) 同步技术具有非常广阔的应用前景，所以有必 KY(t) 要对其进行更加深人的研究.混沌系统对初始 KI(X(t)-Yt)] 条件的极度“敏感性”使得人们普遍认为：重构 KXt) 2个完全同步的混沌系统简直是不可能的事情. 输人 驱动系统 输出 但近10年来的研究表明：如果2个混沌系统 X(t) 图1连续变量反馈同步法的原理示意图 的初始条件满足一定的要求，就可以采用同步 Fig.1 Schematic diagram of continuous variable feed- 控制来实现这2个混沌系统的同步过程.本文 back synchronization algorithm 在文献[3]的基础上提出一种基于模糊遗传算法 1.2CVFS算法的理论依据 的连续变量反馈同步法(FGACVFS), 为了更好地说明CVFS算法的理论依据， 我们首先给出一个引理 1连续变量反馈同步法(CVFS) 引理设线性定常系统的状态方程为： 1.1CVFS算法的基本原理 X=AX (1) 连续变量反馈同步法CVFS(Continuous 其中，X∈R为状态向量；A为1个n×n的常系 Variable Feedback Synchronization)算法是由 数矩阵.如果矩阵中的A元素a(=1,2,…,; Pyragas于1992年提出的其原理图如图1. =1,2,“,n)满足以下条件： 该算法在实际应用过程中利用小反馈微扰 (注：下面用到，的范围均与上式相同) 信号E()=X)-)](其中K为对角阵)作为 ()主对角线上的元素a<0; 控制信号，反馈到响应系统中去，从而驱使响应 ()主对角线上元素的绝对值大于该列其他 系统的输出信号)与驱动系统的输出信号 元素之和，即： X)最终达到完全同步，即当t一o时，Y)=X). la-Elad (2) 由此可以看出：CVFS算法并不改变原来的 则该系统是渐进稳定的.（证明略） 收稿日期2000-06-18李華男，29岁，博士 有了以上的引理，可以给出CVFS算法的 *国家自然科学基金资助项目No.69772014) 理论依据

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 几 招 运 劝 一 基于模糊遗传算法的混沌 同步控制算法 李 擎 ‘， 郑德玲 ” 杨林浩 ” 月匕京科技大学信息工程学院 ， 北京 ， 邯郸钢铁集团公司 ，邯郸 摘 要 连续变量反馈同步法 是一种 比较简单的同步控制算法 ， 但该算法在实际应用 中存在一个关键的间题 ， 即反馈系数的整定 比较困难 为 了解决这个问题 ， 在把模糊遗传算法 任 和连续变量反馈 同步法 相结合 ， 提出了一种基于模糊遗传算法的连续变量反馈同 步法 仿真结果表明 算法能方便有效地进行整定工作 关键词 混沌同步 模糊控制 遗传算法 分类号 门 在保密通讯应用 中 ， 使用 混沌 的同步技术 把 复杂 的混沌 信号 和 有用 信号混合后 发射 出 去 ， 会给非法破译者造成极度 的困难叭 将混沌 的同步技术用 于激光装置时 ， 不仅能在很宽的 功率范 围维持激光 的稳定运行 ， 而且能惊人地 把激光器的输 出功率提高数 倍 由于混沌 的 同步技术具有 非常广 阔的应用前景 ， 所 以有必 要对其进行更加深人 的研究 混沌系统对初始 条件 的极度 “ 敏感性 ” 使得人们普遍认为 重构 个完全同步的混沌系统简直是不可 能的事情 但近 年来 的研究表明 ‘ ， 如果 个混沌 系统 的初始条件满足 一定 的要求 ， 就可 以采用 同步 控制来实现这 个混沌 系统的 同步过程 本文 在文献 的基础上提出一种基于模糊遗传算法 的连续变量 反馈 同步法 混沌信号 ， 而小反馈微扰信号 在这里则起 到了 自控的作用 ， 通 过适 当调整反馈系数矩 阵 中对角线上 的元素值来实现 个混沌系统的 同步控制 响应系统 驱动系统 连续变里反馈同步法 算法的基本原理 连 续 变 量 反 馈 同步 法 址 算 法 是 由 巧 于 年提 出的， 其原理 图如 图 ， 该算法在实际应用过程 中利用小反馈微扰 信号 盆口以 一 联 其 中 为对角阵 作为 控制信号 ， 反馈到响应系统 中去 ， 从而驱使响应 系统 的输 出信号 班 与驱动 系统 的输 出信号 最终达到完全同步 ， 即当 一 时 ， 联 钊峨 由此可 以看 出 算法并不改变原来的 圈 连续变，反缺同步法 的原 理示意圈 妞 口 纽 · 川 七 算法的理论依据 为 了更好地说 明 算法 的理论依据 ， 我们首先给出一个引理 引理 设线性定 常系统 的状态方程为 叉气吮丫 其 中 ，尤住 为状态 向量 汉为 个 、 的常系 数 矩 阵 如 果 矩 阵 中 的 刁 元 素 口试卜 ，， 二 ， ’ ， ，… ， 满足 以下条件 注 下 面用 到，的范 围均 与上式相 同 主对角线上 的元素 马 主对角线上元素的绝对值大于该列其他 元素之和 ， 即 酬 收稿 日期 压刁 李攀 男 ， 岁 ， 博士 国家 自然科学基金资助项 目困 则该系统是渐进稳定 的 证 明略 有 了 以上 的 引理 ， 可 以 给出 算法 的 理论依据 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2001．02．025

Vol.23 No.2 李整等：基于模糊遗传算法的混沌同步控制算法 ·185· 定理1考虑由如下方程描述的复合系统： 对应的同步范围不止一个，如用z变量控制时 [X()-FX()] 就具有2个分开的同步范围. (3) ()FY(A]+K[X()-(A] (3)当采用单变量进行控制时，每个变量的 其中，X,Y∈R";K=diag[k,k2a,,k]T为一对角阵. 同步范围(，)内，都存在着1个值，该值 如果： Y+-0)-X(0) (4) 对应于最优的同步控制效果.因为该值能使1 非常小，则存在1个有限值k,使得对于k>k,且 达到最小值，从而导致响应系统以最快的速度 t一o时，有)一Xt),即)与X)最终达到同 和驱动系统达到同步.其值的存在，给出以下解 步.（证明略) 释：为了能快速弥补响应系统和驱动系统二者 事实上，当反馈矩阵K0时，复合系统(3)的 输出之间的差值，k的值应取得充分大，但充分 李雅普诺夫指数为正值，故2个混沌系统不可 大的k值仅作用于一个变量，这使得该变量的 能达到同步.而反馈矩阵K的引人，使系统(3) 变化非常快，而其他变量却来不及跟上这些变 的李雅普诺夫指数由正值变成了负值，从而实 化，从而导致了控制畸变现象的发生.所以，采 现了2个混沌系统稳定的同步控制.这正是 用单变量进行控制时，λ与K之间的关系曲线 CVFS算法能进行同步控制的本质 不是单调变化的，这正是存在的原因 1.3CVFS算法中反馈系数矩阵的整定方法 (4)当采用多变量进行控制时，其控制效果 一般情况下，用以下方法对反馈矩阵进行 要好于单变量.可以用以下2点说明：首先，多 整定，即通过研究某个变量最大李雅普诺夫指 变量控制时所对应的“值小于单变量控制时 数2与反馈矩阵K中对角线元素k之间的数值 所对应的值，这说明多变量控制时的同步范 对应关系.根据<0的边界来确定k的取值范 围大于单变量控制时的情况；其次，1与K之间 围.其最大、最小阈值可分别通过计算： 的关系曲线是单调变化的，如图2所示.这意味 (6=品）=0 (5) 着，只要k的取值满足k>,则同步控制的速 得到，则(，)之间的数值均满足同步控制 度将随着值k的增加而加快 要求.通过数值计算得到的(，)为同步范 1.4CVFS算法在实际应用过程中存在的问题 围.1与【之间的关系如图2所示： 在实际应用过程中，CVFS算法存在着一个 关键的问题，那就是反馈矩阵【的整定是非常 困难的.以上确定同步范围的方法虽然可行，但 Xyz 也存在着下述问题： (1)为了确定系统1与【微扰反馈矩阵之间 的关系，需要进行大量的数值计算.特别地，当 混沌系统的模型未知时，所需要的计算时间是 相当可观的。 10- 10 (2)当应用系统中的某些变量单独进行控制 10 102 10 时，可能得到几个分开的同步范围（如Lorenz系 图2L0renz系统的2与置之间的关系.1,2,3分别由x,, 统应用z变量进行控制时，就存在着2个分开的 z单独控制：4由z同时控制 同步范围).此时，采用上述方法确定同步范围 Fig.2 The relationship between 4 and K in lorenz system 的过程将变得更加复杂. 图2中曲线1,2,3分别对应于x,y,z变量单 (3)通过上述方法计算出的同步范围虽然能 独控制时的结果；曲线4为x,y,z3个变量同时 保证同步控制的实现，但该同步范围的确定是 控制时的结果，取k=k=k,=k.图中带有控制 基于控制时间非常长、控制精度非常高这一基 变量标记的箭头指出了它们各自的同步范围. 本条件的.而一个真正的实时控制系统，它对同 由图2可以总结出以下几点结论： 步控制时间、同步控制精度是有一定要求的，一 (1)当采用单变量进行控制时，对于不同的 般的工程意义下，系统要求所施加的控制量应 变量，其控制效果也不尽相同 满足：复合系统在该控制量的作用下，在给定的 (②)当采用单变量进行控制时，有些变量所 同步控制时间（从控制开始到达到同步所需的

匕 一 李擎等 基 于模糊遗传算法 的混沌 同步控制算法 定理 ，考虑 由如下方程描述的复合系统 ’ 、 、 ， 十孟【尤 一 玖 」 其 中犬 尸 浑七 ， ，，杨 ，… ，硫 为一对角阵 如果 班同 一 非常小 ， 则存在 个有限值 儿 ， 使得对于 瓜， 且 一 时 ， 有 联 一双 ， 即 联 与城 最终达到同 步 证明 略 事实上 ， 当反馈矩阵孟七 时 ， 复合系统 的 李雅普诺夫指数为正值 ， 故 个混沌 系统不可 能达到同步 而反馈矩阵 的引人 ， 使系统 的李雅普诺夫指数 由正值变成 了负值 ， 从而实 现 了 个混沌 系统稳定 的同步控制 这正是 算法能进行 同步控制的本质 算法 中反馈系数矩阵的整定方法 一般情况下 ， 用 以下方法对反馈矩 阵进行 整定 ， 即通过研究某个变量最 大李雅普诺夫指 数 又 ，与反馈矩阵 中对角线元素 瓜 之间的数值 对应关系 根据 凡切 的边界来确定 概 的取值范 围 其最大 、 最小 阑值可分别通过计算 双溉盯 城 ， 硫 得到 ， 则 伏益 书 ， 硫 之间的数值均满足 同步控制 要求 通过数值计算得到的 螺以 ， 瑞 为 同步范 围 又与 之 间的关系如图 所示，， 资采 二 人 厂 叫 一 …份… ， ， ， ，二、 … ， …介 内‘，﹃﹄ 一 叹 八 一 一 ， ， 护 圈 系统的又与 之 间的关系 ， ， 分别 由，， 单独控制 由 习召 同时控 制 啥 肠伽 功 幻汗 又幼 图 中曲线 ，， 分别对应于， ， 变量单 独控制时的结果 曲线 为 ，， 个变量 同时 控制时的结果 ， 取 丸 ，二棍执 图 中带有控制 变量标记 的箭头指 出了它们各 自的同步范 围 由图 可 以 总结 出以下几点结论 当采用 单变量进行控制时 ， 对于不 同的 变量 ， 其控制效果也不尽相 同 当采用 单变量进行控制时 ， 有些变量所 对应 的 同步范 围不止一个 ， 如用 变量控制时 就具有 个分开 的同步范 围 当采用 单变量进行控制时 ， 每个变量 的 同步范 围 火益 ， 嵘砂 内 ， 都存在着 个 磷 值 ， 该值 对应 于最优 的同步控制效果 因为该值能使 又 达到最小值 ， 从而导致响应 系统 以 最快的速度 和驱动 系统达到 同步 其值的存在 ， 给出以下解 释 为 了能快速弥补 响应 系统和 驱动 系统二者 输 出之间的差值 ， 禹 的值应取得充分大 ， 但充分 大的 瓜 值仅作用 于一个变量 ， 这使得该变量 的 变化非常快 ， 而其他变量却来不及跟上这些变 化 ， 从而导致 了控制畸变现象 的发生 所 以 ， 采 用 单变量进行控制 时 ， 又与 之 间的关系 曲线 不 是单调变化 的 ， 这正是 栋 存在的原 因 当采用 多变量进行控制时 ， 其控制效果 要好于单变量 可 以用 以下 点说 明 首先 ， 多 变量控制时所对应 的 硫 值小 于单变量控制时 所对应的 瑞 值 ， 这说明多变量控制时的同步范 围大于单变量控制时的情况 其次 ， 又与 之 间 的关系曲线是单调 变化 的 ， 如图 所示 这意味 着 ， 只要 毛 的取值满足 瓜 撼 加 ， 则 同步控制的速 度将随着值 瓜 的增加而加快 ， 算法在实际应用过程 中存在的问题 在实际应用 过程 中 ， 算法存在着一个 关键 的问题 ， 那就是反馈矩 阵 的整定是非 常 困难的 以上确定同步范围的方法虽然可行 ， 但 也存在着下 述 问题 为 了确定系统 又与 微扰反馈矩 阵之间 的关系 ， 需要进行大量 的数值计算 特别地 ， 当 混沌 系统 的模型未知时 ， 所需要 的计算时间是 相 当可观的 ‘ 当应用系统 中的某些变量单独进行控制 时 ， 可 能得到几个分开 的同步范 围 如 系 统应用 变量进行控制时 ， 就存在着 个分开 的 同步范围 此时 ， 采用 上述方法确定同步范 围 的过程将变得更加复杂 通过上述方法计算出的同步范 围虽然能 保证同步控制 的实现 ， 但该 同步范 围的确定是 基于控制时 间非常长 、 控制精度非 常高这一基 本条件的 而一个真正的实时控制系统 ， 它对 同 步控制时间 、 同步控制精度是有一定要求的一 般的工程意义下 ， 系统要求所施加 的控制量应 满足 复合系统在该控制量 的作用下 ， 在给定 的 同步控制时间 从控制开始到达到同步所需 的

●186- 北京科技大学学报 2001年第2期 时间)内达到给定的同步控制精度，此时，我们 其中，Tmx为一给定的正数，是为了保证Fk), 无法根据复合系统1与K之间的关系来确定符 e,T的取值时刻为正；Le(k,T)-]为超越约束 合控制要求的k值，这种情况下，k的整定将 条件时的惩罚函数，B称为惩罚系数，ek,T)为 变得异常困难.尤其对于单变量控制时的情形， 当前k值下，控制时间为T时的跟踪误差。 只能通过试凑的方法对k值加以整定.针对这 在实际的应用过程中，T(k,)和ek,T)的 种情况，作出每个k值和每个具体控制时间及 取值分别如(7)和(8)式所示： 控制精度的关系图表，通过直接查图表的方法 (T(k,e)T(ka,e)<T T(km,e)= (7) 来完成对k值的整定工作. r T(k,E)>T 针对以上问题，将文献[3]中介绍的模糊遗 Tk,e)≤T e亿u,T)={ le(ku,T)T(ku,e)>T (⑧) 传算法FGA引入到CVFS算法中，充分利用FGA 由（⑦）和(8)式可以看出：如果当前k值对应 所具有的强大的并行搜索能力，快速有效地完 成k值的整定过程，最大限度地提高CVFS算 的T(k,)小于或等于给定的同步控制时间T, e(k,T)将等于e,惩罚函数项也将等于零，此时 法的实用性 的适应度函数变为： 2基于模糊遗传算法的连续变量反 F(ka,e,T)-=Ta-T(kn,e) (9) 馈法(FGACVFS) 由(9)式可以看出：T(k,e)越小，所求得的 适应度函数值越大，在满足控制精度的前提下， 2.1·对混沌同步优化控制问题的数学描述 控制时间越短，其控制效果越好 采用CVFS算法对2个混沌系统进行同步 由(T)和(8)式还可以看出：如果当前k值所 控制，其实就是确定符合控制要求的k值的过 对应的T(k,)大于给定的同步控制时间，则 程，其值能保证复合系统在给定的控制时间T Tk,)等于T.此时的适应度函数变为： 内达到给定的控制精度ε.在实际的工程应用 F(ki,E,T)=T-T-BLe(ka,T)-E](10) 中，不仅希望达到以上的控制要求，更多的则是 由(10)式可以看出：ε(k,T)越小，所求得的 希望得到最优的控制效果.一般采用2种方式 适应度函数值越大，在满足控制时间的前提下， 对控制效果进行评估：一种是在系统满足给定 控制精度越高，其控制效果越好. 控制时间的前提下，选择控制精度最高者为最 合理选择了适应度函数后，我们就可以采 优；另一种是在系统满足给定控制精度的前提 用FGACVFS算法进行混沌同步控制，以确定 下，选择控制时间最小者为最优.本文选择后者 符合最优控制要求的. 为控制的最优化指标，其数学描述为： (2)FGACVFS在混沌同步控制中的应用. 设T(k,e)为当前k,值下达到控制精度e所 根据反馈控制形式的不同以及工程上的实 需的控制时间，优化的目的是为了寻找值， 用性，分2种情况对FGACVFS算法进行讨论： 使得复合系统在：值的作用下，下列公式成立： 一种是单变量反馈控制形式；另一种则是所有 (1)Tk,e≤T; 系统变量反馈控制形式（它实际上是多变量反 (2)T(ki,e)=min T(ka,e); 馈控制形式的一个特例) (3)当t≤T,e)时，Xto,Xo)-Xt,Xo)川≤e ①算法用于单变量控制时的情形 成立. 以Lorenz系统为例加以说明.Lorenz系统 2.2 FGACVFS算法在混沌同步控制中应用 的方程如(11)式所示，参数=10，=28.0，b=8/3, (I)FGACVFS算法中适应度函数的选择. 方程代表一个混沌系统. 应用遗传算法对问题进行优化时，适应度 dxld=-o+⑦y 函数的选择是至关重要的，因为遗传算法在搜 dy/dt=-rx-y-xz .(11) 索进化过程中，仅用适应度函数值来评价个体 dz/dt=-xy-bz 或解的优劣，并作为以后遗传操作的依据.根据 采用四阶Runge--Kutta法产生混沌时间序 数学描述，将FGACVFS算法中的适应度函数 列进行仿真实验，其迭代步长h0.01,驱动系统 确定为如下形式： 初始值取为(1.0,5.0,1.0)，响应系统初始值取为 F(ku,E,T)=Tm-T(ka,)-BLe(ka,T)-] (6) (1.0,-5.0,1.0),2系统各自迭代到1000步时开始

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 时间 内达到给定 的 同步控制精度 此时 ， 我们 无法根据复合系统 又与 之间 的关系来确定符 合控制要求的 瓜 值 ， 这种情况下 ， 瓜 的整定将 变得异常困难 尤其对于单变量控制时的情形 ， 只能通 过试凑 的方法对 瓜 值加 以整定 针对这 种情况 ， 作 出每个 肠 值和每个具体控制时间及 控制精度 的关系图表 ， 通过直接查 图表 的方法 来完成对 瓜 值 的整定工作 针对 以上 问题 ， 将文献 』中介绍 的模糊遗 传算法 引人到 算法 中 ， 充分利用 所具有 的强 大的并行搜索能力 ， 快速有效地完 成 瓜 值的整定 过程 ， 最大限度地提高 算 法 的实用 性 其 中 ， 几以 为一 给定 的正数 ， 是 为 了保证 联瓜， ， 的取值时刻 为正 斑 。 ， ， 乃一 司为超越约束 条件时的惩罚 函数 ， 刀称为惩罚系数 ， 。 义瓜 ， 乃 为 当前 瓜 值下 ， 控制时间为 时的跟踪误差 在实际 的应用 过程 中 ， 义瓜 ， 和 ， ， 乃 的 取值分别如 和 式所示 了、了月洲一︸了、产 ‘吸了‘ 戈瓜 ， 日一 ￡飞无 才， 乃 丁义凡 才， ￡义瓜 ， 乃 义瓜 ， 三 饥 ， 日 饥 ， 日‘ ’ 瓜 ， 习 基于模糊遗传算法的连续变量反 馈法 ‘ 对混沌同步优化控制 问题的数学描述 采用 算法对 个混沌 系统进行同步 控制 ， 其实就是确定符合控制要求的 丸 值的过 程 ， 其值能保证复合系统在 给定 的控制时间 内达到给定 的控制精度 。 在实际 的工程应用 中 ， 不仅希望达到以上 的控制要求 ， 更多的则是 希望得到最优 的控制效果 一般采用 种 方式 对控制效果进行评估 一种是在 系统满足 给定 控制时间的前提下 ， 选择控制精度最高者为最 优 另一种是在系统满足 给定控制精度 的前提 下 ， 选择控制时间最小者为最优 本文选择后者 为控制 的最优化指标 ， 其数学描述为 设 义瓜 ， 为当前 瓜 值下达到控制精度 所 需 的控制时间 ， 优化 的 目的是为 了寻找 鱿 值 ， 使得复合系统在 腻 值的作用下 ， 下列公式成立 义瓜 ， 。 ‘ 厂义鱿 ， ，肠 ， 当 ‘ 了飞鱿 ， 。 时 ， 风 ‘ 尤 一双 武、 ‘ 成立 算法在混沌同步控制中应用 算法 中适应度 函数的选择 应用遗传算法对 问题进行优化时 ， 适应度 函数 的选择是至关重要 的 ， 因为遗传算法在搜 索进化过程 中 ， 仅用适应度 函数值来评价个体 或解的优劣 ， 并作为以后遗传操作的依据 根据 数学描述 ， 将 算法 中的适应度 函数 确定为如下形式 月肠 ， ， 乃 不加万 一 义瓜 ， 日一刀〔 ，瓜 ， 乃一 由 和 式 可 以看 出 如果 当前 瓜 值对应 的 ，瓜 ， 日小 于或等于 给定 的 同步控制时 间 ， 伙 ， 力 将等于 ， 惩罚 函数项也将等于零 ， 此时 的适应度 函数变为 瓜 ， ￡， 乃 几叮 一 戈概 ， 日 由 式可 以看 出 ’ 瓜 ， 日越小 ， 所求得 的 适应度 函数值越大 ， 在满足控制精度 的前提下 ， 控制时间越短 ， 其控制效果越好 由 和 式还可 以看 出 如果 当前 瓜 值所 对应 的 ’ 瓜 ， 大于 给定 的 同步控制 时 间 ， 则 ’ 瓜 ， 日等于 此时的适应度 函数变为 月瓜 ， ， 力 几“ 一 节【 饥 ， 乃一 」 由 式可 以看 出 。 义瓜 ， 乃越小 ， 所求得 的 适应度 函数值越大 在满足控制时间的前提下 ， 控制精度越高 ， 其控制效果越好 合理选择 了适应度 函数后 ， 我们就可 以采 用 算法进行混沌 同步控制 ， 以确定 符合最优控制要求的 腻 在混沌 同步控制 中的应用 根据反馈控制形式 的不 同以及工程上 的实 用性 ， 分 种情况对 算法进行讨论 一种 是单变量反馈控制形式 另 一种则是所有 系统变量反馈控制形 式 它实际上是多变量反 馈控制形 式 的一个特例 ① 算法用 于单变量控制时 的情形 以 系统为例加 以说 明 系统 的方程如 式所示 ， 参数 二 ， ， ， 方程代表一个混沌 系统 【 刁山片 一 口义 妙 酬 一 一 刁 拼一砂一 采用 四 阶 凡叨 法产生混沌 时间序 列进行仿真实验 ， 其迭代步长 ， 驱动系统 初始值取为 ， ， ， 响应 系统初始值取为 ， 一 ， ， 系统各 自迭代到 步时开始

Vol23 No.2 李整等：基于模糊遗传算法的混沌同步控制算法 ·187 应用FGACVFS算法进行控制.控制要求如下： 下：采用xy,z3个变量同时进行反馈，其控制精 采用y变量进行反馈，其控制精度s0.01,控 度es0.01，控制时间K≤100步，反馈系数 制时间步K≤200步，反馈系数2≤100. k≤100.设k11=k=k,=k,并将所有系统变量控 应用FGACVFS:算法时，选取的控制参数如 制时的初始控制条件、控制参数和单变量控制 下：种群规模N=30,采用二进制编码方式，编码 时的初始控制条件、控制参数均取为相同值.其 长度L=10,最大迭代代数GEN=200,初始种群 适应度函数如(12)式，控制的结果如图4所示. 中的个体随机产生，交叉概率P.和变异概率P。 70[ 的值则根据模糊控制算法加以确定.其适应度 函数如下式所示： 60 Ek2,0.01,200=500-Tk2a,0.01)-500× 50 [eka,200)-0.01] (12) 40 得到的控制结果如图3所示 30 10 -30 30 wuwiulmumwi 10 15 -300 K/x102 60 图4 FGACVFS算法对Lorenz系统的3个变量控制结果 Fig.4 The controlling result of FGACVFS algorithm in 60 Lorenz system(three variable) 0 5 10 15 20 25 K/×102 Fk,0.01,100)=300-Tk,0.01)-300× 图3 FGACVFS算法对Lorenz系统的单变量控制结果 Fig.3 The controlling result of FGACVFS algorithm in [ek,100)-0.01] (12) 图4中△=√△x+(△y+(△z乎为驱动系统和 Lorenz system(one variable) 响应系统对应输出点之间的距离，即混沌同步 图3中，y为驱动系统y变量的输出值；y 系统的跟踪误差8.其中：△=xp一x,△yyp一y, 为响应系统y变量的输出值；△y今y。-y为驱动 △z乙一2，x,y,2分别为驱动系统x,y,z变量的 系统和响应系统y变量输出值之间的差值，即 输出值；x,y,z分别为响应系统x,y,z变量的输 混沌同步系统的跟踪误差ε. 出值；△x,△y,△z分别为驱动系统和响应系统的 对应于图3的最优反馈系数的二进制串为 x,y,z变量对应输出值之差. “1001100100”,经过解码得到的最优反馈系数 对应于图4的最优反馈系数的二进制串为 =59.82.根据记录的结果，在满足控制精度 1111111110,经过解码得到的最优反馈系数. le,s0.01的前提下，其控制时间仅为61步，也就 k=99.90由前面介绍过的复合系统1与K之间 是说2个混沌系统在反馈控制施加了61步后 的关系曲线可知，只要k的取值满足k>结。，那 就达到了所要求的控制精度，这远远小于系统 么同步控制的速度将随着k值的增加而加快， 所要求的控制时间 由于这里存在约束条件k≤100(=1,2,3)，所以经 由此得出结论：FGACVFS算法用于单变量 过理论分析可得：k的取值应该就是k(仁1,2,3) 反馈控制时，能够找到一个最优的反馈系数，系 所允许的最大值，即=100，该值和通过 统在该反馈系数的作用下，不仅能达到所要求 FGACVFS算法确定的k值基本相等，验证了 的控制精度，而且控制时间非常短，远远小于系 FGACVFS算法本身的正确性. 统所要求的控制时间.FGACVFS算法用于单变 此外，根据所记录的结果，在满足控制精度 量反馈控制时，其控制效果是比较理想的 le,≤0.01的前提下，其控制时间仅为8步，远远 ②算法用于所有系统变量控制 小于系统所要求的控制时间，充分说明了 应用所有系统变量控制时的控制要求如 FGACVFS算法的有效性

李擎等 基于模糊遗传算法 的混沌 同步控制算法 ，‘ ︸ 曰内‘，︸、‘ 应用 算法进行控制 控制要求如下 采用 变量进行反馈 ， 其控制精度 同‘ ， 控 制时间步 ‘ 步 ，反馈 系数 棍 ‘ 应用 算法时 ， 选取的控制参数如 下 种群规模 刀匕 ， 采用二进制编码方式 ， 编码 长度 ， 最大迭代代数 ， 初始种群 中的个体随机产生 ， 交叉概率 。 和变异概率 的值则根据模糊控制算法加 以确定 其适应度 函数如下式所示 棍 ， ， 卜 一 ’ 棍 ， 一 〔 。 议杨 ， 一 得到的控制结果如 图 所示 下 采用 少声 个变量 同时进行反馈 ， 其控制精 度 同‘ ， 控 制 时 间 ‘ 步 ， 反 馈 系 数 概‘ 设 么 ， 跳 铺 ， 并将所有 系统变量控 制时 的初始控制条件 、 控制参数和单变量控制 时的初始控制条件 、 控制参数均取为相 同值 其 适应度 函数如 式 ，控制 的结果如 图 所示 圈 算法对 邢 系统的 个变 控制 结果 褚 场。 】 扭 ︸内飞自︶月‘︸ “︸︹︸︸一 图 算法对 系 统的单变 控制结果 血 图 中 ， 为驱动系统 变量 的输 出值 为 响应 系统 变量 的输 出值 匀， 即 一 为驱动 系统和 响应系统 变量输 出值之间的差值 ， 即 混沌 同步系统 的跟踪误差 。 对应于 图 的最优反馈系数 的二进制 串为 “ ’ ’ ， 经过解码得到的最优反馈系数 根据记录的结果 ， 在满足控制精度 】 ‘ 的前提下 ， 其控制时间仅为 步 ， 也就 是说 个混沌 系统在反馈控制施加 了 步后 就达到了所要求 的控制精度 ， 这远远小于 系统 所要求的控制时间 由此得 出结论 算法用于单变量 反馈控制时 ， 能够找到一个最优 的反馈系数 ， 系 统在该反馈 系数 的作用 下 ， 不仅能达到所要求 的控制精度 ， 而且控制时间非常短 ， 远远小于 系 统所要求的控制时间 算法用 于单变 量反馈控制时 ， 其控制效果是 比较理想 的 ② 算法用 于所有系统变量控制 应 用 所 有 系统 变 量 控制 时 的控制要 求如 到无 ， 月 一 ’ ， 一 ￡试瓦 一 图 中 △二丫酞 斗 匀 酝 ， 为驱动系统和 响应系统对应输 出点之间 的距离 ， 即混沌 同步 系统的跟踪误差 其 中 △犷飞即 一 ， 匀甲 即 一 ， 八下讥 一 ， ‘ ， ， 肠分别为驱动 系统 ， ， 变量 的 输 出值 ， ， 分别 为 响应 系统 ，， 变 量 的输 出值 公 ， 妙 ， 酝 分别为驱动系统和响应 系统 的 ， ， 变量对应输 出值之差 对应于 图 的最优反馈系数的二进制 串为 ， 经 过解 码 得 到 的 最 优 反 馈 系数 ’ 由前 面 介绍 过 的复合系统 又与 之间 的关系 曲线可知 ， 只要 瓜 的取值满足 瓜 溉 加 ， 那 么 同步控制 的速度将随着 瓜 值的增加而加快 由于这里存在约束条件 瓜‘ ，， ， 所 以经 过理论分析可得 ’ 的取值应该就是 瓜 ’ ，， 所 允 许 的 最 大 值 ， 即 ， 该 值 和 通 过 算法确定 的 ’ 值基本相 等 ， 验证 了 算法本身的正确性 此外 ， 根据所记录的结果 ， 在满足控制精度 ‘ 的前提下 ， 其控制 时间仅为 步 ， 远远 小 于 系 统 所 要 求 的 控 制 时 间 ， 充 分说 明 了 算法 的有效性

·188· 北京科技大学学报 2001年第2期 3结论 求系统在给定的控制时间内达到给定的控制精 度ε，而不是数学定义基础上提出的控制要求； FGACVFS算法除具有CVFS算法的所有优 其次，FGACVFS算法实际上是一种优化控制算 点外，还具有以下几个方面的特点： 法，它所采用的优化指标为工程上常用的优化 (I)应用FGACVFS算法不需要对混沌系统 指标，即在系统满足给定控制精度的前提下，选 进行事先的分析和计算，不需要确定系统1与K 择控制时间最小者为最优 之间的曲线关系就可以实现对混沌系统的同步 控制，极大地方便了FGACVFS算法在工程上的 参考文献 应用. 1倪皖荪，华一满.混沌通讯.物理学进展，1996,16(3,4)： (2)FGACVFS算法能方便有效地进行k值 645 的整定工作.CVFS算法中k是通过随机试凑的 2 Kocarev L,Shang A,Chua LO.Translation in Dynamic by Driving:A United Method of Control and Synchroniza- 方法来完成的，而FGACVFS算法中k的整定则 tion of Chaos.Inter J of Bifurcation and Chaos,1993(2): 是通过充分利用FGA所具有的强大的并行搜索 479 能力来完成的. 3李擎，郑德玲，一种新的模糊遗传算法.北京科技大学 (3)FGACVFS算法是一种适合于工程应用 学报，2001,23(1)：85 的优化控制算法.首先，针对FGACVFS算法所 4 Pyragas K.Predicting Chaos in Slightly Perturbed Unpre- dictable Chaotic System.Phys Lett,1993,A181:203 提出的控制要求一般都具有工程意义的，即要 Synchronization of Chaos Based on Fuzzy Genetic Algorithm LI Qing,ZHENG Deling",YAN Linhao? 1)Information Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083,China 2)Handan Iron Steel Corporation,Handan 056000,China ABSTRACT Continuous Variable Feedback Synchronization(CVFS)algorithm is a simple control method for the synchronization of chaos.However,the adjustment of the feedback value in CVFS algorithm is very difficult.In order to solve this problem,a new algorithm named FGACVFS,which combined fuzzy genetic al- gorithm(FGA)with CVFS is proposed.The simulation result show that the a djustment of thek(the elements in feeback matrix)is very convenient and efficient. KEY WORDS synchronization of chaos;fuzzy control;genetic algorithm

北 京 科 技 结论 算法 除具有 算法 的所有优 点外 ， 还具有 以下 几个方面 的特点 应用 算法不需要对混沌 系统 进行事先的分析和计算 ， 不需要确定系统 又与 之间的曲线关系就可 以 实现对混沌系统 的同步 控制 ， 极大地方便 了 算法在工程上 的 应用 算法能方便有效地进行 瓜 值 的整定工作 算法 中 禹 是通过随机试凑的 方法来完成 的 ， 而 算法 中 瓜 的整定则 是通过充分利用 所具有的强 大的并行搜索 能力来完成 的 算法是一种适合于工程应用 的优化控制算法 首先 ， 针对 算法所 提 出的控制要求一般都具有工程意义 的 ， 即要 大 学 学 报 年 第 期 求系统在给定 的控制时间内达到给定 的控制精 度 ， 而不是数学定义基础上 提 出的控制要求 其次 ， 算法实际上是一种优化控制算 法 ， 它所采用 的优化指标为工程上 常用 的优化 指标 ， 即在系统满足给定控制精度 的前提下 ， 选 择控制时间最小者为最优 参 考 文 献 倪皖荪 ， 华一满 混沌通讯 物理学进展 ， ， ， ， ， 肠即 勿 俪 ， 李擎 ， 郑德玲 一种新的模糊遗传算法 北京科技大学 学报 ， ， ， ， ，， ‘，， ， ， 吨 ， 加 月〕 ， 助 ， 从斌 困滋 。 血 ， 堪。 ， 厂 ， 肠 小 加石守