D01:10.13374/6.issn1001-t63x.2010.10.024 第32卷第i0期 北京科技大学学报 Vol 32 No 10 2010年10月 Journal of Un iersity of Science and Technology Beijing 0ct2010 惯性特征系统最速特征模型PID控制参数辨识 孟庆波)尹怡欣) 乔桂玲) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832浙江机电职业技术学院电气系，杭州310030 摘要以惯性特征系统作为研究对象，针对常规PD控制器参数的设置问题提出了基于系统最速特征模型的辨识算法，该 算法利用惯性特征系统的输入输出特性，通过最小二乘法辨识出系统的一阶特征模型，然后再根据一阶特征模型、控制律和 系统的动、稳态性能的要求辨识出系统的二阶最速特征模型，同时也计算出PD控制器的参数·仿真结果表明，该算法能够使 PD控制具有最速响应的特征，为PD参数设置提供了一种计算方法 关键词惯性系统；特征模型：参数辨识：最小二乘法 分类号TP214+.1 PID controller param eters identification based on the fastest model of inertial feature system s MENG Qing bo,YN Yix,QIAO Gui-ling) 1)School of Infomation Engincering University of Science and Technology Beijng Beijng 100083 China 2)Eketrie Deparment Zhejiang Machinery Electricity Vocational Technical College Hangzhou 310003 China ABSTRACT An algorithm of P controller parameters identification based on the fastestmodel was presented to tune PDD controller parameters for an inertial feature system.W ith input and output data of the inertial feature system,this method identifies the firstorder characteristic system by the least square method LSM firstly then identifies the second-onder fastestmodel of the inertial feature sys" tem according to the demands of the firstorder characteristic system,control signal the stable and dynam ic properties of the nertial feature systemn.and then the P controller parameters were calculated synchronously Siulation results show that the algorithm makes the PI controller have the characteristic of the fastest response and proviles an effective method for calculating the PI controller pa- rameters KEY WORDS inertial systems feature mode}parameters identification:least square method PD控制是工业过程中最常用的控制，其参数 特征模型是根据系统动力学特性和控制性能要 的整定大多是根据个人对控制对象的了解和工作经 求，依照输入相同控制信号产生等价输出信号的原 验而确定的，如对滞后一阶惯性环节的Ziegle~ 则建立起来的系统模型，它为高阶或者非线性系统 N ichols方法山.近年来，对于PD参数的整定问 进行低阶化处理提供了理论依据[⑧)，本文提出的基 题，研究人员提出了多种优化方法，如菌群优化 于最速特征模型PD控制参数辨识是以特征描述模 (BsO算法)、参数稳定域的图解方法B)、模糊推 型为基础，以最快地完成控制的动、静态指标为目 理整定PD参数[)和神经网络学习整定PD参 的，以惯性特征系统为研究对象的PD参数辨识算 数5-).这些方法为PD参数的确定提供了一些解 法，它为该类工业控制PD参数的整定提供了一种 决方案，但大多脱离了工程技术人员对被控对象的 新的解决方案 直观理解，算法复杂且PD控制器参数随控制过程 而发生变化，就目前工业现场情况而言，很难在实际 1特征描述模型的辨识方法 工程中得到实施应用. 通常认为：PD控制器的设计不需要被控对象 收稿日期：2009-11-09 作者简介：孟庆波(1972)~男，博士研究生：尹怡欣(1957-)男，教授，博士生导师，Email严us@126cm
第 32卷 第 10期 2010年 10月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．32Ｎｏ．10 Ｏｃｔ．2010 惯性特征系统最速特征模型 ＰＩＤ控制参数辨识 孟庆波 12） 尹怡欣 1） 乔桂玲 1） 1） 北京科技大学信息工程学院北京 100083 2）浙江机电职业技术学院电气系杭州 310030 摘 要 以惯性特征系统作为研究对象针对常规 ＰＩＤ控制器参数的设置问题提出了基于系统最速特征模型的辨识算法该 算法利用惯性特征系统的输入输出特性通过最小二乘法辨识出系统的一阶特征模型然后再根据一阶特征模型、控制律和 系统的动、稳态性能的要求辨识出系统的二阶最速特征模型同时也计算出 ＰＩＤ控制器的参数．仿真结果表明该算法能够使 ＰＩＤ控制具有最速响应的特征为 ＰＩＤ参数设置提供了一种计算方法． 关键词 惯性系统；特征模型；参数辨识；最小二乘法 分类号 ＴＰ214 ＋∙1 ＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｍｏｄｅｌｏｆｉｎｅｒｔｉａｌ ｆｅａｔｕｒｅｓｙｓｔｅｍｓ ＭＥＮＧＱｉｎｇ-ｂｏ 12）ＹＩＮＹｉ-ｘｉｎ 1）ＱＩＡＯＧｕｉ-ｌｉｎｇ 1） 1） ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇＢｅｉｊｉｎｇ100083Ｃｈｉｎａ 2） ＥｌｅｃｔｒｉｃＤｅｐａｒｔｍｅｎｔＺｈｅｊｉａｎｇＭａｃｈｉｎｅｒｙ-ＥｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙＶｏｃａｔｉｏｎａｌＴｅｃｈｎｉｃａｌＣｏｌｌｅｇｅＨａｎｇｚｈｏｕ310003Ｃｈｉｎａ ＡＢＳＴＲＡＣＴ ＡｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｍｏｄｅｌｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｔｏｔｕｎｅＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒａｎｉｎｅｒｔｉａｌｆｅａｔｕｒｅｓｙｓｔｅｍ．Ｗｉｔｈｉｎｐｕｔａｎｄｏｕｔｐｕｔｄａｔａｏｆｔｈｅｉｎｅｒｔｉａｌｆｅａｔｕｒｅｓｙｓｔｅｍｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｄｅｎｔｉｆｉｅｓｔｈｅｆｉｒｓｔ-ｏｒｄｅｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｙｓｔｅｍｂｙｔｈｅｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｍｅｔｈｏｄ（ＬＳＭ） ｆｉｒｓｔｌｙｔｈｅｎｉｄｅｎｔｉｆｉｅｓｔｈｅｓｅｃｏｎｄ-ｏｒｄｅｒｆａｓｔｅｓｔｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｉｎｅｒｔｉａｌｆｅａｔｕｒｅｓｙｓ- ｔｅｍａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｄｅｍａｎｄｓｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔ-ｏｒｄｅｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｙｓｔｅｍｃｏｎｔｒｏｌｓｉｇｎａｌｔｈｅｓｔａｂｌｅａｎｄｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｉｎｅｒｔｉａｌ ｆｅａｔｕｒｅｓｙｓｔｅｍａｎｄｔｈｅｎｔｈｅＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｐａｒａｍｅｔｅｒｓｗｅｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｌｙ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｍａｋｅｓ ｔｈｅＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｈａｖｅｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｏｆｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｒｅｓｐｏｎｓｅａｎｄｐｒｏｖｉｄｅｓａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｐａ- ｒａｍｅｔｅｒｓ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｉｎｅｒｔｉａｌｓｙｓｔｅｍｓ；ｆｅａｔｕｒｅｍｏｄｅｌ；ｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ；ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｍｅｔｈｏｄ 收稿日期：2009--11--09 作者简介：孟庆波 （1972— ）男博士研究生；尹怡欣 （1957— ）男教授博士生导师Ｅ-ｍａｉｌ：ｙｙｘ＿ｕｓｔｂ＠126．ｃｏｍ ＰＩＤ控制是工业过程中最常用的控制其参数 的整定大多是根据个人对控制对象的了解和工作经 验而确 定 的如 对 滞 后 一 阶 惯 性 环 节 的 Ｚｉｅｇｌｅ- Ｎｉｃｈｏｌｓ方法 ［1］．近年来对于 ＰＩＤ参数的整定问 题研究人员提出了多种优化方法如菌群优化 （ＢＳＦＯ）算法 ［2］、参数稳定域的图解方法 ［3］、模糊推 理整定 ＰＩＤ参数 ［4］ 和神经网络学习整定 ＰＩＤ参 数 ［5--7］．这些方法为 ＰＩＤ参数的确定提供了一些解 决方案但大多脱离了工程技术人员对被控对象的 直观理解算法复杂且 ＰＩＤ控制器参数随控制过程 而发生变化就目前工业现场情况而言很难在实际 工程中得到实施应用． 特征模型是根据系统动力学特性和控制性能要 求依照输入相同控制信号产生等价输出信号的原 则建立起来的系统模型它为高阶或者非线性系统 进行低阶化处理提供了理论依据 ［8］．本文提出的基 于最速特征模型 ＰＩＤ控制参数辨识是以特征描述模 型为基础以最快地完成控制的动、静态指标为目 的以惯性特征系统为研究对象的 ＰＩＤ参数辨识算 法它为该类工业控制 ＰＩＤ参数的整定提供了一种 新的解决方案． 1 特征描述模型的辨识方法 通常认为：ＰＩＤ控制器的设计不需要被控对象 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2010．10．024
第10期 孟庆波等：惯性特征系统最速特征模型PD控制参数辨识 .1367. 的数学模型，但在实际的设计过程中，参数的设置严 重依赖于领域工程师的工作经验和他们对控制对象 (00=i(0 的了解，其中就隐含了基于控制对象特征模型的 根据式(1)所示系统的单位阶跃响应输出采样 控制问题，PD控制之所以起作用，根本原因还是在 数据，可以得到一组线性方程组： 于它的控制符合了被控对象的特征，因此，对于高 Ψ0=T-△ (4) 阶惯性特征系统的控制，可以依据系统的传输特性 式中， 来确定低阶特征模型，然后再根据低阶特征模型通 r=[正正+1…后 过计算确定PD控制器参数， 对于高阶惯性特征系统，它的数学模型描述 A(T) A(Tin)A(T)1 Tr 如下： A(T+1)A(T+1)A(T+1)1T+1 Ψ G(可-h十h-1+…十h+h 4S十a-151+…十s十0 (1) LAo (Tt+x Ai (T+N)A (Tn+x 1 T+s 根据在输入同样的控制信号下，实际对象在输 e(TM+N)]'. 出上等价的特点，高阶惯性特征系统可以用低阶的 A-h[e(m)e(T)… 特征模型来描述.，一般而言，一阶惯性系统能够粗 上式表示辨识采用的数据是第M到M十N个采样 略地描述系统的传输特性，二阶惯性系统就能够比 数据，采用最小二乘法可以获得估计参数： 较准确地建立特征模型，因此，对系统的辨识，主要 6=(ΨΨ)-ΨT (5) 围绕着一阶和二阶惯性系统特征模型而展开的，假 对于式(2)所示一阶系统的辨识，可以仿照上 设系统的特征模型传递函数描述如下： 述方法进行，取 a奇(o 起十us十0 (2) A()=y()A()=JA(5) 那么，就可以利用原高阶系统的输入输出特性辨识 à()=w(),G()=Ja(5)ds 出特征模型的参数，下面以二阶特征模型为例来说 Ψ()=[A()A()] 明高阶系统的低阶化特征模型的辨识算法0-山 在初始状态为零的条件下，对系统加入单位阶 -[R剥'e(0-a(0a(0 跃响应(t)=1(),当y()中含有白噪声w(t)时， 则有Ψ(t)6=t一e(t) 若取： 根据原高阶系统单位阶跃响应的输出采样数据 A()=y(),A()=]() 进行辨识得到参数T、K 4()= 2系统二阶最速特征模型和PD参数的 辨识 B(0=1B(0=B(0一7 假定通过上述方法辨识出来的一阶特征模型如 6()=w().G()=J6()d 式(2)的G(s)所示，对于输出值为Kh的恒值控制， 当控制信号的约束条件为山（t)≤A时，记t= à()=Jà(s 若取控制律为 e()=G(D十aG()十aG() 对于式(2)中的二阶系统，则成立下列关系式： (t) aA（t)十ah(t)十ao(t)= h (护) 1 那么对一阶惯性系统的控制，暂态时间理论上最短， k+ht2hi-e(t) (3) 这是因为在起始阶段控制律的取值最大，上升时间 再令 也就最快，在时间之后，根据上述控制律对一阶 ()[A()A()()1 惯性系统的输出计算结果可知：系统就此停留在一 个固定的稳态值上，进入了稳态阶段，例如，取 0=[eaao一k一h]', 5 则式(3)可以表示为 G()20十A.=2h=16=13.8629s按照
第 10期 孟庆波等： 惯性特征系统最速特征模型 ＰＩＤ控制参数辨识 的数学模型但在实际的设计过程中参数的设置严 重依赖于领域工程师的工作经验和他们对控制对象 的了解 ［9］其中就隐含了基于控制对象特征模型的 控制问题ＰＩＤ控制之所以起作用根本原因还是在 于它的控制符合了被控对象的特征．因此对于高 阶惯性特征系统的控制可以依据系统的传输特性 来确定低阶特征模型然后再根据低阶特征模型通 过计算确定 ＰＩＤ控制器参数． 对于高阶惯性特征系统它的数学模型描述 如下： Ｇ（ｓ）＝ ｂｍｓ ｍ ＋ｂｍ—1ｓ ｍ—1＋… ＋ｂ1ｓ＋ｂ0 ａｎｓ ｎ＋ａｎ—1ｓ ｎ—1＋… ＋ａ1ｓ＋ａ0 （1） 根据在输入同样的控制信号下实际对象在输 出上等价的特点高阶惯性特征系统可以用低阶的 特征模型来描述．一般而言一阶惯性系统能够粗 略地描述系统的传输特性二阶惯性系统就能够比 较准确地建立特征模型．因此对系统的辨识主要 围绕着一阶和二阶惯性系统特征模型而展开的．假 设系统的特征模型传递函数描述如下： Ｇ1（ｓ）＝ Ｋ Ｔｓ＋1 Ｇ2（ｓ）＝ ｂ2ｓ 2＋ｂ1ｓ＋ｂ0 ａ2ｓ 2＋ａ1ｓ＋ａ0 （2） 那么就可以利用原高阶系统的输入输出特性辨识 出特征模型的参数．下面以二阶特征模型为例来说 明高阶系统的低阶化特征模型的辨识算法 ［10--11］． 在初始状态为零的条件下对系统加入单位阶 跃响应 ｒ（ｔ）＝1（ｔ）当 ｙ（ｔ）中含有白噪声 ｗ（ｔ）时 若取： Ａ0（ｔ）＝ｙ（ｔ）Ａ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 Ａ0（ξ）ｄζ Ａ2（ｔ）＝∫ ｔ 0 Ａ1（ξ）ｄζ； Ｂ0（ｔ）＝1Ｂ1（ｔ）＝ｔＢ2（ｔ）＝ 1 2！ ｔ 2； δ0（ｔ）＝ｗ（ｔ）δ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 δ0（ξ）ｄξ δ2（ｔ）＝∫ ｔ 0 δ1（ξ）ｄξ； ε（ｔ）＝ａ2δ0（ｔ）＋ａ1δ1（ｔ）＋ａ0δ2（ｔ）． 对于式 （2）中的二阶系统则成立下列关系式： ａ2Ａ0（ｔ）＋ａ1Ａ1（ｔ）＋ａ0Ａ2（ｔ）＝ ｂ2＋ｂ1ｔ＋ 1 2 ｂ0ｔ 2—ε（ｔ） （3） 再令 ψ（ｔ）＝ 1 ｂ0 ［Ａ0（ｔ） Ａ1（ｔ） Ａ2（ｔ） 1 ｔ］ θ＝［ａ2 ａ1 ａ0 —ｂ2 —ｂ1 ］ Ｔ 则式 （3）可以表示为 ψ（ｔ）θ＝ 1 2 ｔ 2— 1 ｂ0 ε（ｔ） 根据式 （1）所示系统的单位阶跃响应输出采样 数据可以得到一组线性方程组： ψθ＝Γ—Δ （4） 式中 Γ＝ 1 2 ［Ｔ 2 Ｍ Ｔ 2 Ｍ＋1 … Ｔ 2 Ｍ＋Ｎ ］ Ｔ ψ＝ Ａ0（ＴＭ ） Ａ1（ＴＭ ） Ａ1（ＴＭ ） 1 ＴＭ Ａ0（ＴＭ＋1） Ａ1（ＴＭ＋1） Ａ2（ＴＭ＋1） 1 ＴＭ＋1 Ａ0（ＴＭ＋Ｎ ） Ａ1（ＴＭ＋Ｎ ） Ａ2（ＴＭ＋Ｎ ） 1 ＴＭ＋Ｎ Δ＝ 1 ｂ0 ［ε（ＴＭ ） ε（ＴＭ＋1） … ε（ＴＭ＋Ｎ ） ］ Ｔ． 上式表示辨识采用的数据是第 Ｍ到 Ｍ＋Ｎ个采样 数据采用最小二乘法可以获得估计参数： θ＾＝（ψ Ｔψ） —1ψ ＴΓ （5） 对于式 （2）所示一阶系统的辨识可以仿照上 述方法进行取 Ａ0（ｔ）＝ｙ（ｔ）Ａ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 Ａ0（ξ）ｄξ δ0（ｔ）＝ｗ（ｔ）δ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 δ0（ξ）ｄξ ψ（ｔ）＝［Ａ0（ｔ） Ａ1（ｔ） ］ θ＝ Ｔ Ｋ 1 Ｋ Ｔ ε（ｔ）＝ Ｔ Ｋ δ0（ｔ）＋ 1 Ｋ δ1（ｔ） 则有 ψ（ｔ）θ＝ｔ—ε（ｔ）． 根据原高阶系统单位阶跃响应的输出采样数据 进行辨识得到参数 Ｔ、Ｋ． 2 系统二阶最速特征模型和 ＰＩＤ参数的 辨识 假定通过上述方法辨识出来的一阶特征模型如 式 （2）的 Ｇ1（ｓ）所示对于输出值为 Ｋｈ的恒值控制 当控制信号的约束条件为 ｕｃ （ｔ）≤Ａｍａｘ时记ｔ0＝ Ｔｌｎ Ａｍａｘ Ａｍａｘ—ｈ 若取控制律为 ｕｃ（ｔ）＝ Ａｍａｘ （ｔ＜ｔ0） ｈ （ｔ≥ｔ0） 那么对一阶惯性系统的控制暂态时间理论上最短． 这是因为在起始阶段控制律的取值最大上升时间 也就最快在时间 ｔ0 之后根据上述控制律对一阶 惯性系统的输出计算结果可知：系统就此停留在一 个固定的稳态值上进入了稳态阶段．例如取 Ｇ1（ｓ）＝ 5 20ｓ＋1 Ａｍａｘ＝2ｈ＝1ｔ0 ＝13∙8629ｓ按照 ·1367·
,1368 北京科技大学学报 第32卷 上述控制律，其控制最速响应输出如图1所示.与 利用最速响应的数据，使用辨识算法得到该低阶控 图2所示的单位阶跃响应相比，最速响应能够快速 制系统的模型参数从而获得的原控制系统的最速特 准确地进入稳态阶段，本文称图1所示的控制为最 征模型. 速控制，称系统的输入输出响应为最速响应，然 对于本文中的惯性特征系统而言，所选取的低 而，对于线性控制器而言，是不会有图1所示的输出 阶特征模型为一阶惯性系统，若控制器为PD控制， 结果的：通常情况下，惯性特征系统的PD控制输出 整个控制系统的结构特征就可以用式(2)所示的二 具有式(5)所示的二阶系统的特征，输出是光滑的. 阶系统描述，该二阶系统的参数可以利用惯性特征 因此，需要根据图1所示的最速响应数据利用二阶 系统的最速响应数据进行辨识，得到的二阶模型就 模型的辨识算法进行二次辨识，辨识出来的特征模 是该控制系统的最速特征模型，由于最速特征模型 型称为最速特征模型. 是利用控制系统最速响应的输入输出数据通过辨 识算法得到的，所以如果实际控制系统在控制器的 调节作用下的输出响应能够跟随该最速特征模型， 那么该控制系统就具有最速响应的特征：具有快速、 最速响应 4 稳定的控制效果，算法的推导过程如下， 根据特征模型的输出特性，可以把原高阶系统 2 最速响成控制律 的PD控制简化为对一阶特征模型的控制，即 T+()=Ku() dt (6) 20 40 60 80 108 该一阶特征模型的PD控制率为 图1惯性系统的最速响应 (-Ke(+K e()d+K de( t(7) Fig I Fastest response of the inertial system e()=(t)一y() 式中，K,、K:和K分别代表PD控制器的比例系 数、积分系数和微分系数，把式(7)代入式(6)就可 4 得到式(8)所示的PD控制系统的二阶特征描述 模型： 3 系统的单位阶跃响应 K[0-0]+x,[0- r(t)]+KK[y(t)一()]= 输入的单位阶跃信号 -rf(00 (8) 0 20 4060 80 100 该特征模型本质上属于式(2)所示的二阶模 型，对于最速特征模型，期望它具有式(8)所示的模 图2惯性系统的阶跃响应 型，并且PD的控制效果能够符合最速特征模型的 Fig 2 Step response of the inertial system 输出特性，因此，可以利用最速响应的数据对式(8) 综上所述，最速特征模型就是以最速响应作为 所示的最速特征模型进行辨识.可以看出，得到最 系统控制的特征目标，根据控制系统的整体结构特 速特征模型参数的同时，也计算出了PD的控制 征所建立起来的特征模型，控制系统主要由控制器 参数 和被控对象组成，因此最速特征模型的结构特征主 按照上述辨识方法，该模型的辨识过程如下， 要由控制器和被控对象低阶特征模型的结构决定， 取 在建立最速特征模型的时候，首先根据控制对象的 ()=)-).()=J(向5 传输特性建立低阶特征模型，按照一定的算法得到 此低阶特征模型的最速响应数据，并以此低阶特征 ()=]A()ds 模型为控制对象选择控制器建立起低阶特征模型的 控制系统[2]；然后再根据该控制系统的结构特征， B()=y(),B1()=Jy(x)dr
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 上述控制律其控制最速响应输出如图 1所示．与 图 2所示的单位阶跃响应相比最速响应能够快速 准确地进入稳态阶段本文称图 1所示的控制为最 速控制称系统的输入／输出响应为最速响应．然 而对于线性控制器而言是不会有图 1所示的输出 结果的：通常情况下惯性特征系统的 ＰＩＤ控制输出 具有式 （5）所示的二阶系统的特征输出是光滑的． 因此需要根据图 1所示的最速响应数据利用二阶 模型的辨识算法进行二次辨识辨识出来的特征模 型称为最速特征模型． 图 1 惯性系统的最速响应 Ｆｉｇ．1 Ｆａｓｔｅｓｔｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｉｎｅｒｔｉａｌｓｙｓｔｅｍ 图 2 惯性系统的阶跃响应 Ｆｉｇ．2 Ｓｔｅｐｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｉｎｅｒｔｉａｌｓｙｓｔｅｍ 综上所述最速特征模型就是以最速响应作为 系统控制的特征目标根据控制系统的整体结构特 征所建立起来的特征模型．控制系统主要由控制器 和被控对象组成因此最速特征模型的结构特征主 要由控制器和被控对象低阶特征模型的结构决定． 在建立最速特征模型的时候首先根据控制对象的 传输特性建立低阶特征模型按照一定的算法得到 此低阶特征模型的最速响应数据并以此低阶特征 模型为控制对象选择控制器建立起低阶特征模型的 控制系统 ［12］；然后再根据该控制系统的结构特征 利用最速响应的数据使用辨识算法得到该低阶控 制系统的模型参数从而获得的原控制系统的最速特 征模型． 对于本文中的惯性特征系统而言所选取的低 阶特征模型为一阶惯性系统若控制器为 ＰＩＤ控制 整个控制系统的结构特征就可以用式 （2）所示的二 阶系统描述该二阶系统的参数可以利用惯性特征 系统的最速响应数据进行辨识得到的二阶模型就 是该控制系统的最速特征模型．由于最速特征模型 是利用控制系统最速响应的输入／输出数据通过辨 识算法得到的所以如果实际控制系统在控制器的 调节作用下的输出响应能够跟随该最速特征模型 那么该控制系统就具有最速响应的特征：具有快速、 稳定的控制效果．算法的推导过程如下． 根据特征模型的输出特性可以把原高阶系统 的 ＰＩＤ控制简化为对一阶特征模型的控制即 Ｔ ｄｙ ｄｔ ＋ｙ（ｔ）＝Ｋｕｃ（ｔ） （6） 该一阶特征模型的 ＰＩＤ控制率为 ｕｃ（ｔ） ＝Ｋｐｅ（ｔ） ＋Ｋｉ∫ ｔ 0 ｅ（τ）ｄτ＋Ｋｄ ｄｅ（ｔ） ｄｔ ｅ（ｔ） ＝ｒ（ｔ） －ｙ（ｔ） （7） 式中Ｋｐ、Ｋｉ和 Ｋｄ 分别代表 ＰＩＤ控制器的比例系 数、积分系数和微分系数．把式 （7）代入式 （6）就可 得到式 （8）所示的 ＰＩＤ控制系统的二阶特征描述 模型： ＫＫｄ ｄ 2 ｄｔ 2 ［ｙ（ｔ）—ｒ（ｔ） ］ ＋ＫＫｐ ｄ ｄｔ ［ｙ（ｔ）— ｒ（ｔ） ］ ＋ＫＫｉ［ｙ（ｔ）—ｒ（ｔ） ］ ＝ —Ｔ ｄ 2 ｄｔ 2ｙ（ｔ）— ｄ ｄｔ ｙ（ｔ） （8） 该特征模型本质上属于式 （2）所示的二阶模 型．对于最速特征模型期望它具有式 （8）所示的模 型并且 ＰＩＤ的控制效果能够符合最速特征模型的 输出特性．因此可以利用最速响应的数据对式 （8） 所示的最速特征模型进行辨识．可以看出得到最 速特征模型参数的同时也计算出了 ＰＩＤ的控制 参数． 按照上述辨识方法该模型的辨识过程如下． 取 Ａ0（ｔ）＝ｙ（ｔ）—ｒ（ｔ）Ａ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 Ａ0（ξ）ｄζ Ａ2（ｔ）＝∫ ｔ 0 Ａ1（ξ）ｄζ； Ｂ0（ｔ）＝ｙ（ｔ）Ｂ1（ｔ）＝∫ ｔ 0 ｙ（τ）ｄτ． ·1368·
第10期 孟庆波等：惯性特征系统最速特征模型PD控制参数辨识 ·1369 再取 法计算出￠由于KT为一阶特征模型的已知参数， Ψ()=[A()A()()] 故得到最速特征模型参数的同时，也能得到PD 0=[KKa KK KK:], 控制器的参数K、K,和K 则有 3仿真实验 Ψ()0=一TB(t)一B(t) 利用最速响应的数据使用二阶系统的最小二乘 设一高阶惯性特征系统的模型为： 0.0373s+0.5667+2.7517+5.04125+4.1902s+1.0000 G()-0.79375+8.9288+37.2698s+71.9841+64.92063+23.0714+1.0000 (9) 考虑式(9)所示的高阶系统，系统的零点为： K=1.0000惯性时间常数T=18.4305. -7.5073-5.0385,-1.1350+0.7682: 1.0000 G(s)P18.4305s十1 (10) -1.1350-0.7682i-0.3774极点为：-4.1903， -3.0233-1.9830,-1.0015+0.0063i 从图3(a)可知：一阶特征模型与原高阶系统的 一1.0015-0.0063i-0.0500所有的零、极点都 阶跃响应相比误差较小，按照输入输出特性，它能够 分布在复平面的左半部分，属于稳定的最小相位系 反映原系统的整体特征， 统.虽然有部分零、极点为复数，但从图3(a)所示 假定控制律的约束条件为4（)≤AA= 的单位阶跃响应的输出来看，系统整体上具有明显 2.4,希望系统的输出稳态值为1，那么利用系统一 的惯性特征，因此可以用低阶惯性系统作为特征模 阶特征模型的最速响应数据，按照式(5)所示的 型，并根据它的最速特征模型为参考来计算PD PD控制系统的二阶特征描述模型的要求辨识出 参数. 的最速特征模型如下式所示，同时也计算出了PD 根据该高阶系统的单位阶跃响应，利用上述最 控制器的三个参数K,=2.0819,K:=0.4625,K= 小二乘法辨识出系统的一阶特征模型如下式，增益 0.2753. 1.0 1.4 1.4 (a) 最速特征模型的阶跃响应 1.2 1.2 0.8 原系统的单位阶跃响应 1.0h 0.6 区0.8 最速响应 0.8 0.6 0.4 0.4 0.4 0.2 一阶特征模型单位阶跃响应 0.2 0.2 0 20 40 60 80 100 80 120 160 20 tis 1.4 2.6 最速特征模型的单位阶跃响应 1.2 2.4 2.2 、最速响应控制律 1.0 2.0A 0.8 D控制系统的单位阶跃响应 0.6 PD控制律 0.4 1.4 1.2 0.2 00 40 80120 160 200 08 20 40 6080100 图3PD参数求解过程及控制效果，(a)一阶特征模型与系统的单位阶跃响应；(b)最速响应与最速特征模型的阶跃响应；（©）最 速特征模型与PD控制系统的阶跃响应：(d)最速响应控制律与PD控制律 Fig 3 Soltion pmocess and control effects ofPD panmeters (a)unit step response of the first onder chamcteristic system:(b)the fastest msponse and step msponse of the fastest featre mode (c)step response of the fastest model and PD control system:(d)contmol signals of the fastest response and Pl controller
第 10期 孟庆波等： 惯性特征系统最速特征模型 ＰＩＤ控制参数辨识 再取 ψ（ｔ）＝［Ａ0（ｔ） Ａ1（ｔ） Ａ2（ｔ） ］ θ＝［ＫＫｄ ＫＫｐ ＫＫｉ］ Ｔ 则有 ψ（ｔ）θ＝—ＴＢ0（ｔ）—Ｂ1（ｔ）． 利用最速响应的数据使用二阶系统的最小二乘 法计算出 θ＾由于 Ｋ、Ｔ为一阶特征模型的已知参数 故得到最速特征模型参数 θ＾的同时也能得到 ＰＩＤ 控制器的参数 Ｋｄ、Ｋｐ和 Ｋｉ． 3 仿真实验 设一高阶惯性特征系统的模型为： Ｇ（ｓ）＝ 0∙0373ｓ 5＋0∙5667ｓ 4＋2∙7517ｓ 3＋5∙0412ｓ 2＋4∙1902ｓ＋1∙0000 0∙7937ｓ 6＋8∙9288ｓ 5＋37∙2698ｓ 4＋71∙9841ｓ 3＋64∙9206ｓ 2＋23∙0714ｓ＋1∙0000 （9） 考虑式 （9）所示的高阶系统系统的零点为： —7∙5073—5∙0385 —1∙1350 ＋0∙7682ｉ —1∙1350—0∙7682ｉ—0∙3774；极点为：—4∙1903 —3∙0233—1∙9830—1∙0015＋0∙0063ｉ —1∙0015—0∙0063ｉ—0∙0500．所有的零、极点都 分布在复平面的左半部分属于稳定的最小相位系 统．虽然有部分零、极点为复数但从图 3（ａ）所示 的单位阶跃响应的输出来看系统整体上具有明显 的惯性特征因此可以用低阶惯性系统作为特征模 型并根据它的最速特征模型为参考来计算 ＰＩＤ 参数． 图 3 ＰＩＤ参数求解过程及控制效果．（ａ）一阶特征模型与系统的单位阶跃响应；（ｂ）最速响应与最速特征模型的阶跃响应；（ｃ）最 速特征模型与 ＰＩＤ控制系统的阶跃响应；（ｄ） 最速响应控制律与 ＰＩＤ控制律 Ｆｉｇ．3 ＳｏｌｕｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｅｆｆｅｃｔｓｏｆＰＩＤｐａｒａｍｅｔｅｒｓ：（ａ） ｕｎｉｔ-ｓｔｅｐｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔ-ｏｒｄｅｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｙｓｔｅｍ；（ｂ） ｔｈｅｆａｓｔｅｓｔ ｒｅｓｐｏｎｓｅａｎｄｓｔｅｐｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｆｅａｔｕｒｅｍｏｄｅｌ；（ｃ） ｓｔｅｐｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｍｏｄｅｌａｎｄＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ；（ｄ） ｃｏｎｔｒｏｌｓｉｇｎａｌｓｏｆ ｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｒｅｓｐｏｎｓｅａｎｄＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ 根据该高阶系统的单位阶跃响应利用上述最 小二乘法辨识出系统的一阶特征模型如下式增益 Ｋ＝1∙0000惯性时间常数 Ｔ＝18∙4305． Ｇ1（ｓ）＝ 1∙0000 18∙4305ｓ＋1 （10） 从图 3（ａ）可知：一阶特征模型与原高阶系统的 阶跃响应相比误差较小按照输入输出特性它能够 反映原系统的整体特征． 假定控制律的约束条件为 ｕｃ（ｔ）≤ＡｍａｘＡｍａｘ＝ 2∙4希望系统的输出稳态值为 1那么利用系统一 阶特征模型的最速响应数据按照式 （5）所示的 ＰＩＤ控制系统的二阶特征描述模型的要求辨识出 的最速特征模型如下式所示同时也计算出了 ＰＩＤ 控制器的三个参数 Ｋｐ＝2∙0819Ｋｉ＝0∙4625Ｋｄ＝ 0∙2753． ·1369·
,1370 北京科技大学学报 第32卷 0.2753+2.0819s+0.4625 Gm()-18.70583+3.0819s+0.4625 (11) 者之间会存在一点误差.图3(d)所示的PD控制 律没有超出控制律约束条件4()∈[0,2.4]其输 记式(11)所表示的系统为：nm=[0.2753 出走向也相同于最速控制律. 2.08190.4625],dem=[18.70583.0819 0.46251 4存在的问题及改进措施 它的单位阶跃响应如图3(b)所示，与最速响 上例中，若放宽控制率4(t)的限制，取A=8 应相比，二者除了一些超调之外，输出数据能够反映 时，经过辨识计算，得到系统的最速二阶特征模型和 最速响应的走向，以此模型作为参考来计算PD参 PD控制器的参数分别为nm=[-3.4793 数，并对原高阶系统进行控制，控制效果如图3(c) 14.01800.9993]dem=[14.951215.0180 所示：PD控制效果与最速模型的参考输出误差很 0.9993]和K。=14.0180K:=0.9993K= 小，它具有最速模型的响应特征，同时，由于特征模 一3.4793，控制输出如图4所示， 型与原高阶系统之间的模型失配是难以避免的，二 16 (a) 1.0 14 0.8 12 PD控制系统的单位阶跃响应 ,PD控制律 8 最速特征模型的单位阶跃响应 0.2 最速响应控制律 0 0.2 2 040 15 23 30 30 1.2 12 12 d 1.0 1.0 1.o 1.0 0.8 量0.8 0.8 PD控制律饱和限制的控制输出 0.8 最速特征模型的阶跃响应 0.6 0.6 0.6 0.6 最速特征模型阶跃响应 0.4 0.4 最速响应 04 0.2 02 02 0 0 -02 -02 2方02 -0.4 10 15 20 0 10 20 0g t 图4分析过程与改进效果，(a)最速特征模型与PD控制的阶跃响应；(b)最速响应控制律与PD控制律；（©）最速响应与最速特征模型 的阶跃响应：()控制律饱和限制的响应 Fig4 Analysis pmocess and ipmovement effect (a)step mesponse of the fastest feahme model and PD contmol system;(b)control signals of the fas" test response and PD controlles (c)the fastest mesponse and step wesponse of the fastest feature mode (d)step wesponse of the system w ith saturated contmol signals 图4(a)表现出来的PD控制没有超调，很快进 为了解决这个问题，可以PD控制器的输出端 入了稳态阶段，单从其输出特性来看，效果很好，但 加上幅值为A的饱和环节以限制控制律的最大输 图4(b)中控制律的最大值却接近16远远超出 出值，输出如图4(d)所示，它能够快速、准确地达到 Am=8的约束限制；控制律超支的根本原因是最速 比较好的控制效果、另外，也可以在辨识最速模型 模型的输出在起始阶段超出了最速响应的极限值， 时加上不等式约束条件：①使控制律小于A②最 如图4(c)所示，控制器不得不给出超过A的控制 速特征模型的输出在起始阶段（当时）小于或 律以满足参考模型的输出需求， 等于最速响应的输出数据
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 Ｇ2（ｓ）＝ 0∙2753ｓ 2＋2∙0819ｓ＋0∙4625 18∙7058ｓ 2＋3∙0819ｓ＋0∙4625 （11） 记式 （11）所表示的系统为：ｎｕｍ＝ ［0∙2753 2∙0819 0∙4625］ｄｅｎ＝ ［18∙7058 3∙0819 0∙4625］． 它的单位阶跃响应如图 3（ｂ）所示．与最速响 应相比二者除了一些超调之外输出数据能够反映 最速响应的走向．以此模型作为参考来计算 ＰＩＤ参 数并对原高阶系统进行控制控制效果如图 3（ｃ） 所示：ＰＩＤ控制效果与最速模型的参考输出误差很 小它具有最速模型的响应特征．同时由于特征模 型与原高阶系统之间的模型失配是难以避免的二 者之间会存在一点误差．图 3（ｄ）所示的 ＰＩＤ控制 律没有超出控制律约束条件 ｕｃ（ｔ）∈ ［02∙4］其输 出走向也相同于最速控制律． 4 存在的问题及改进措施 上例中若放宽控制率 ｕｃ（ｔ）的限制取 Ａｍａｘ＝8 时经过辨识计算得到系统的最速二阶特征模型和 ＰＩＤ控制器的参数分别为 ｎｕｍ ＝ ［ —3∙4793 14∙0180 0∙9993］ｄｅｎ＝［14∙9512 15∙0180 0∙9993］ 和 Ｋｐ ＝14∙0180Ｋｉ ＝0∙9993Ｋｄ＝ —3∙4793控制输出如图 4所示． 图 4 分析过程与改进效果．（ａ） 最速特征模型与 ＰＩＤ控制的阶跃响应；（ｂ） 最速响应控制律与 ＰＩＤ控制律；（ｃ） 最速响应与最速特征模型 的阶跃响应；（ｄ） 控制律饱和限制的响应 Ｆｉｇ．4 Ａｎａｌｙｓｉｓｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｅｆｆｅｃｔ：（ａ） ｓｔｅｐｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｆｅａｔｕｒｅｍｏｄｅｌａｎｄＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ；（ｂ） ｃｏｎｔｒｏｌｓｉｇｎａｌｓｏｆｔｈｅｆａｓ- ｔｅｓｔｒｅｓｐｏｎｓｅａｎｄＰＩＤｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ；（ｃ） ｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｒｅｓｐｏｎｓｅａｎｄｓｔｅｐｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｆａｓｔｅｓｔｆｅａｔｕｒｅｍｏｄｅｌ；（ｄ） ｓｔｅｐｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｓａｔｕｒａｔｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌｓｉｇｎａｌｓ 图 4（ａ）表现出来的 ＰＩＤ控制没有超调很快进 入了稳态阶段单从其输出特性来看效果很好但 图 4（ｂ）中控制律的最大值却接近 16远远超出 Ａｍａｘ＝8的约束限制；控制律超支的根本原因是最速 模型的输出在起始阶段超出了最速响应的极限值 如图 4（ｃ）所示控制器不得不给出超过 Ａｍａｘ的控制 律以满足参考模型的输出需求． 为了解决这个问题可以 ＰＩＤ控制器的输出端 加上幅值为 Ａｍａｘ的饱和环节以限制控制律的最大输 出值输出如图 4（ｄ）所示它能够快速、准确地达到 比较好的控制效果．另外也可以在辨识最速模型 时加上不等式约束条件：①使控制律小于 Ａｍａｘ；②最 速特征模型的输出在起始阶段 （当 ｔ＜ｔ0 时 ）小于或 等于最速响应的输出数据． ·1370·