第十三章拉普拉斯变换 、教学基本要求 1、了解拉普拉斯变换的定义,会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。 2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法,基尔霍夫定律的运算形式、 运算阻抗和运算导纳、运算电路。 3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 教学重点与难点 教学重点:1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 教学难点:1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法; 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 三、本章与其它章节的联系: 是后续各章的基础,是前几章基于变换思想的延 四、学时安排 总学时:6 教学内容 学时 拉普拉斯变换的定义及基本性质 2.拉普拉斯反变换的部分分式展开 2 3.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 4.应用拉普拉斯变换分析线性电路,习题 五、教学内容 §13-1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数ft)与复变函 数F(s)联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时间域的高阶微 分方程变换为复频域的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作相反的变换得 到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有 效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 个定义在[0,+o]区间的函数(0),它的拉普拉斯变换式F(S)定义为 F(s)=L[f(2)]= f(te- at
第十三章 拉普拉斯变换 一、教学基本要求 1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。 2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，.基尔霍夫定律的运算形式、 运算阻抗和运算导纳、运算电路。 3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 二、教学重点与难点 教学重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开； 2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路； 3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 教学难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法； 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 三、本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 四、学时安排 总学时：6 教 学 内 容 学 时 1．拉普拉斯变换的定义及基本性质 2 2．拉普拉斯反变换的部分分式展开 2 3．基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 2 4．应用拉普拉斯变换分析线性电路，习题 2 五、教学内容 §13－1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函 数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微 分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得 到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有 效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在 [0,+∞] 区间的函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为
式中s=o+jo为复数,被称为复频率;F(s)为ft)的象函数,ft)为F(s)的原函 数。 由Fs)到ft)的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为 f()=2(∞≈、7 F(se" as 式中c为正的有限常数 注意 (1)定义中拉氏变换的积分从r=0-开始,即 F()=f()=⊥()。在+()e”t 它计及=0-至0+,f)包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电 路的计算带来方便。 (2)象函数F()一般用大写字母表示,如Is),U(s),原函数ft)用小写 字母表示,如it,ut) e (3)象函数F(s)存在的条件 3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数 f(t=a(t) F()=L()=!(xt=!e"t S (2)单位冲激函数的象函数 f(t)=(t) ()=(】=)t=」“6)=at=1 (3)指数函数的象函数 )=e F(G)=Lft)1=」ee=- s+a
式中 s=σ+jω 为复数，被称为复频率；F(s)为 f(t)的象函数，f(t)为 F(s)的原函 数。 由 F(s) 到 f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意： （1）定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即： 它计及 t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电 路的计算带来方便。 （2）象函数 F(s) 一般用大写字母表示, 如 I(s)，U(s) ，原函数 f(t) 用小写 字母表示，如 i(t),u(t)。 （3）象函数 F(s) 存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 （1） 单位阶跃函数的象函数 （2）单位冲激函数的象函数 （3） 指数函数的象函数
§13-2拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。 表13-1拉氏变换的若干性质和定理{L()=2() 特性和定理 表达式 条件和说明 L[af1(+切=aLf力+bLf2( 线性 a、b为常数 a(s)+b(=a(+b[( 时域延迟L(-)=e“ z为一非负实数 位移特性 频域延迟凵“f()=Fs-a) R(5-a)>c 若所有初值为零,则有 L[f(]=5F(s)-f(0) 微分 Lm)()=52F(s) f(]=(t=F(s) 积分 [广…界(a]=F(9 初值定理1m()-m,f(0)-hmsf( lim sF(s) 存在 终值定理1m(=19,或J=m9 5(S)所有奇点均在S平 面左半部 L[f()*2()]=(5)(5) gf(r)2(t-tt-(-) 卷积定理 -(A0)为和(0与10)的卷 F(5)F2(5=f1()*f2 应用拉氏变换的性质,同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉 斯变式可以使一些函数的象函数求解简化
§13－2 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的性质列于表 13.1 中。 表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理 特性和定理 表 达 式 条 件 和 说 明 线性 a 、 b 为常数 位移特性 时域延迟 为一非负实数 频域延迟 微分 若所有初值为零，则有 积分 初值定理 或 存在 终值定理 或 所有奇点均在 s 平 面左半部 卷积定理 为 与 的卷 积 应用拉氏变换的性质，同时借助于表 13.2 中所示的一些常用函数的拉普拉 斯变式可以使一些函数的象函数求解简化
表13-2拉氏变换简表 R(5)=瓦f f() pYs)=I[f()] f(e) t≥0 (t)= s(t)= t<0 t>0 (=1,2,) (+a (1-e-) 52(5+a) Cos at Sin( at Cosh at Sinh( at) d-cosaf be (5+a)(5+b (5+a)(5+b (5+a) 例13-1 1 知[e(f,求函数f()=UE()的像函数。 解: F(s)=L[()]=Uu[s(t)= 例13-2已知 L()-,求f(t)=t8()-t(-1)的象函数。 解:根据积分性质和时域延迟性质 Lf()=L[ts(1)-(-1)e(-1)-(-1)] 例133求函数f()=an(a)的像函数
表 13-2 拉氏变换简表 1 Cos at Sin( at ) Cosh at Sinh( at ) 例 13-1 已知 ，求函数 的像函数。 解： 例 13-2 已知 ，求 f(t)= 的象函数。 解： 根据积分性质和时域延迟性质 例 13-3 求函数 的像函数
解: F(s)=L [sin(at) 2 例13-4求函数f()=cost)的像函数 解:根据微分性质,因为 cos(at) 1 dsin( at) ,所以 F(S)=I[cost]=L-(sin(at odi 例13-5求函数()=t(的像函数。 解:根据频域导数性质有 d 1 Lta(t)l ds s s2
解： 例 13-4 求函数 的像函数。 解：根据微分性质，因为 ，所以 例 13-5 求函数 的像函数。 解： 根据频域导数性质有：