如八射拉予与靶粒子之间的相互作用有放V刁已如, 则求徽分散射面的问题最佟归结为在边界条件 +f(θ, 减立的前槎下通过求解鲆定谔方程 h2 +Vo a=El 确定散射振惝6,中).这一程序称量于力骨的散射问题 ●在中心力杨情刑下,V=Ⅵ),处理量于力常散射问题 的方该通常有两种:分滅;藏恩近伈
小结： 1 如果入射粒子与靶粒子之间的相互作用有效势能 Vp~rq 已知， 则求微分散射截面的问题最终归结为在边界条件 pr; ; q ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 „ e ikz ` fp; q e ikr r 成立的前提下通过求解薛定谔方程 „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vp~rq ȷ “ E 确定散射振幅 fp; q. 这一程序俗称量子力学的正散射问题. 2 在中心力场情形下，Vp~rq “ Vprq，处理量子力学正散射问题 的方法通常有两种：分波法；玻恩近似. 11 / 45
分波法: :什么是分波该? 分滅滨,简单她说,就是在处理中心力场散射问题时取了角 量私象 粒于在中心力炻Ⅵη)中运初时真哈密頓算待常吴有刑卖 H h2 V2+r) 难看出 B,i=B,闪=[i,=0 拉于的道角动量是守恒量且{H,,-}刑忒了一对为力 量算得的集合.因讷,在试因通过求群定谔方程 V2+V司)v=Ev
分波法： Q：什么是分波法？ 分波法，简单地说，就是在处理中心力场散射问题时采取了角动 量表象. 粒子在中心力场 Vprq 中运动时其哈密顿算符常具有形式： Hˆ “ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vprq 不难看出： rHˆ ; ˆ~Ls “ rHˆ ; ˆ~L 2 s “ rˆ~L 2 ; ˆ~Ls “ 0 粒子的轨道角动量是守恒量且 tHˆ ; ˆ~L 2 ; Lˆzu 形成了一组对易力学 量算符的集合. 因此，在试图通过求解薛定谔方程 „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vp~rq ȷ “ E 12 / 45
确定散射振懦爪θ)时,选杵{H,,}的共同画数無: ymn(,,中)=(k)%mn(6,中) 作为 Hilbert空间的基是方便的,式中, l=0,1,2,……;m=0,±1,±2, 常称选拚为飘了角动量积象,运就是分滅滨的基 条一个确定l值的径向滅画数(k)称为一个分波,例如 0(k)称为5波(=0),图1(知)称为P波(=1),2(kr) 欢为d波(=2).分波团(k)顧从径间藓定谔方程: (2)+1-+1-0小2=0 式中, k2=2uEFh2,U()=2V()/h 显,分波团kr)的具体刑式孰于相互作用態Vr)
确定散射振幅 fpq 时，选择 tHˆ ; ˆ~L 2 ; Lˆzu 的共同函数系： lmpr; ; q “ RlpkrqYlmp; q 作为 Hilbert 空间的基是方便的，式中， l “ 0; 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; m “ 0; ˘ 1; ˘ 2; ¨ ¨ ¨ ; ˘ l 常称此选择为采取了角动量表象. 这就是分波法的基础. 每一个确定 l 值的径向波函数 Rlpkrq 称为一个分波. 例如 R0pkrq 称为 s 波 (l “ 0)，R1pkrq 称为 p 波 (l “ 1)，R2pkrq 称为 d 波 (l “ 2). 分波 Rlpkrq 服从径向薛定谔方程： 1 r 2 d dr ˆ r 2 dRl dr ˙ ` „ k 2 ´ lpl ` 1q r 2 ´ Uprq ȷ Rl “ 0 式中， k 2 “ 2E{ℏ 2 ; Uprq “ 2Vprq{ℏ 2 : 显然，分波 Rlpkrq 的具体形式依赖于相互作用势能 Vprq. 13 / 45
mn(6,中)是球请画数,它们是卫与L2的共同存径画数 (4-(-1V(+m4P(a 而Pm(cos日)是所谓体合勤让德多项买, P(x)=(1-×)324 m=0时的佛合让德多项式就是通常的勤让德多项式 Plx in dx (x2-1) 显、 2l+1 Wo( 9)=v/cos 8)
Ylmp; q 是球谐函数，它们是 ˆ~L 2 与 Lˆz 的共同本征函数： Ylmp; q “ p´1q m d pl ´ mq! pl ` mq! 2l ` 1 4 P m l pcos qe im 而 P m l pcos q 是所谓缔合勒让德多项式， P m l pxq “ p1 ´ x 2 q m 2 1 2 l l! d l`m dxl`m px 2 ´ 1q l m “ 0 时的缔合勒让德多项式就是通常的勒让德多项式： Plpxq “ 1 2 l l! d l dxl px 2 ´ 1q l 显然， Yl0p; q “ c 2l ` 1 4 Plpcos q 14 / 45
平面波出在角动量表象中可展开为 exp(ikrcos 0)=>(21+1)ijn( kr)P/(cos 8) 共处k)是l阶的球Bess画数 j(x)=( In x SInx COS x jo(x) ji(x) x2 j(x)在x→0与x∽+①情形下的渐近行为分别是: (2l+1)! →+∞0
平面波 e ikz 在角动量表象中可展开为： e ikz “ exppikrcos q “ `8 ÿ l“0 p2l ` 1qi l jlpkrqPlpcos q 此处 jlpkrq 是 l 阶的球 Bessel 函数， jipxq “ p´xq l ˆ 1 x d dx˙l sin x x 特别地， j0pxq “ sin x x ; j1pxq “ sin x x 2 ´ cos x x : jlpxq 在 x Ñ 0 与 x ù `8 情形下的渐近行为分别是： jlpxq ˇ ˇ ˇ ˇ xÑ0 « x l p2l ` 1q!! 以及， jlpxq ˇ ˇ ˇ ˇ xÑ`8 « 1 x sin ˆ x ´ l 2 ˙ 15 / 45