散射理论的重妥任奇之一就是要谖把散射面等现測量与反映 掴豆作用V及粒于内鄢伟构的藓定谔方程的解ψ联余起来 下面开厮究运神联余的具体刑式 实验上阅徽分散射載面都是在远离靶粒予的点迸行的。困鸿, σ(6,中)应由定谔方程在r=团∽→+∞教很下的渐近行为所决 定 设靶拉予槿供的豆作用有放蒈態具有球对称性,V(刁=Wr), 拟鸿,r∽+情形下的定谔方程的解可压球坐标近φ 为 y=()%m(6,中 式中, h2 d/dr for= V2+N9 2(a
散射理论的重要任务之一就是要设法把散射截面等观测量与反映 相互作用 Vp~rq 及粒子内部结构的薛定谔方程的解 联系起来. 下面开始研究这种联系的具体形式. 实验上观测微分散射截面都是在远离靶粒子的地点进行的. 因此， p; q 应由薛定谔方程在 r “ |~r| ù `8 极限下的渐近行为所决 定. 设靶粒子提供的相互作用有效势能具有球对称性，Vp~rq “ Vprq， 且： Vprq ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 “ 0 如此，r ù `8 情形下的薛定谔方程的解可在球坐标系里近似 地表为： “ RprqYlmp; q 式中， ER “ „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vprq ȷ R « ´ ℏ 2 2r 2 d dr ˆ r 2 dR dr ˙ 6 / 45
令()=()/,不难看到 d +kn≈0,a(1)=A+B 计及散射间题的物理因像,应鼠积分常数B=0.因鸿,薛定谔 方程的散射解在r∽十⑦处的澌近行为可达为 (,6,9 +18的 若没有靶拉于的作用,⌒射拉于旖仍处在ψ=如描写的 量弃 ●在有靶粒于府在的情鸦下,靶拉子的作用旖使得拉子在出射 时改变方间,从而出现散射欐率滅.在远离靶拉子的把点, 散射滅是球面波 f(6,φ) 真中爪(日,中)是沿(日,)方间传橋出去的散射滅振,称为散 射振幅
令 Rprq “ uprq{r，不难看到： d 2u dr2 ` k 2 u « 0; ù uprq “ Aeikr ` Be´ikr 计及散射问题的物理图像，应取积分常数 B “ 0. 因此，薛定谔 方程的散射解在 r ù `8 处的渐近行为可表达为： pr; ; q ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 „ e ikz ` fp; q e ikr r 理由： 若没有靶粒子的作用，入射粒子将仍处在 i “ e ikz 描写的动 量本征态. 在有靶粒子存在的情形下，靶粒子的作用将使得粒子在出射 时改变方向，从而出现散射概率波. 在远离靶粒子的地点， 散射波是球面波： fp; q e ikr r 其中 fp; q 是沿 p; q 方向传播出去的散射波振幅，称为散 射振幅. 7 / 45
评论 酋光思考两个问题: g:怎群确定f日,中)的确切刑式? ●②:徽分散尉教σ(日,刂)与歡射振爪日,中)有何联余? 显,只有通过求群薛定谔方程: -2v2+y- 齐求出它在r心十⑦处的澌近解,才態最绉确定散射振幡 f(6,中)的具体刑 心→+①处散射波波画数的渐近行为是: ~f(6,中) r→+
评论： 首先思考两个问题： Q：怎样确定 fp; q 的确切形式？ Q：微分散射截面 p; q 与散射振幅 fp; q 有何联系？ 显然，只有通过求解薛定谔方程： „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vprq ȷ “ E 并求出它在 r ù `8 处的渐近解，才能最终确定散射振幅 fp; q 的具体形式. r ù `8 处散射波波函数的渐近行为是： s ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 „ fp; q e ikr r 8 / 45
因鸿,r∽→+①处的概車密庋矢量沿(6,中)方间的投影为 ( a- b-a" a, s) →+ 的P(--+)- 注處到刀的物理义:拉子反单伍时间内沿(日,中)方间单住教面 出射的概率,因,出射粒于在单住时间内进八到(日,中)方向的 立体角中的率为 P-=△2=,A 此概率又可等竹把写为 dP=(6,中)A 再注意到八射粒子的概率密庋矢量的大小是 o:-cc
因此，r ù `8 处的概率流密度矢量沿 p; q 方向的投影为： Js “ iℏ 2 p sBr ˚ s ´ ˚ s Br sq ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 “ iℏ 2 |fp; q|2 ˆ ´ ik r 2 ´ 1 r 3 ´ ik r 2 ` 1 r 3 ˙ “ ℏk |fp; q|2 r 2 注意到~Js 的物理意义：粒子在单位时间内沿 p; q 方向单位截面 出射的概率，因此，出射粒子在单位时间内进入到 p; q 方向的 立体角 dΩ 中的概率为： dP “ Jsds “ Jsr 2 dΩ “ ℏk |fp; q|2 dΩ 此概率又可等价地写为： dP “ p; qJidΩ 再注意到入射粒子的概率流密度矢量的大小是： Ji “ iℏ 2 p iBz ˚ i ´ c:c:q “ ℏk 9 / 45
杷这儿个公式相结合,可得: σ(6,中)=(6, 有了o(,中)之后,还可以迸一步计算的散射教面 0r=|△2o(6,中) dp ve, p)1 sin ede 真寅的散射实验窄设计的使出尉耘于函数祇从对称的边 界余件 y(r,6,中) r→+① 如鸿,徽分散射教面与赵軟面的计算公卖简化为: o(0)=1(0)1, 0T=2T 0)1 sin ede
把这几个公式相结合，可得： p; q “ |fp; q|2 有了 p; q 之后，还可以进一步计算总的散射截面： T “ ż dΩp; q “ ż 2 0 d ż 0 |fp; q|2 sin d 真实的散射实验常设计的使出射粒子波函数服从轴对称的边 界条件： pr; ; q ˇ ˇ ˇ ˇ rÑ`8 „ e ikz ` fpq e ikr r 如此，微分散射截面与总截面的计算公式简化为： pq “ |fpq|2 ; T “ 2 ż 0 |fpq|2 sin d 10 / 45