理论力学(二) 哈密顿力学 2011.10
理论力学（二） 哈密顿力学 2011.10
拉格朗日方程的降阶 拉格朗日函数是以广义坐标和广义速度描 述系统的。通过拉格朗日方程,可以得到 二阶微分方程组。这与牛顿力学通过力的 各个分量的分析,得到运动的加速度满足 的方程具有类似的形式 ·可以用广义速度为中间变量v,把二阶微分 方程变为一阶微分方程,代价是变量个数 d,aL(q,v,)、oL
拉格朗日方程的降阶 • 拉格朗日函数是以广义坐标和广义速度描 述系统的。通过拉格朗日方程，可以得到 二阶微分方程组。这与牛顿力学通过力的 各个分量的分析，得到运动的加速度满足 的方程具有类似的形式。 • 可以用广义速度为中间变量vi，把二阶微分 方程变为一阶微分方程，代价是变量个数 加倍。 ( , , ) , ( ) i i i i d L q v t L q v dt v q = =
广义动量作为中间变量 这2个方程中,计算q1的时间微商太简单,而计 算ⅵ的时间微商太复杂。中间变量取ⅵ并不合适 从拉格朗日方程看,直接可以计算广义动量p, 因而把它取为中间变量是合适的。 ·但是,拉格朗日函数中,自变量含有广义速度, 而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义 动量来表达 ·哈密顿力学的理论研究了如何取自变量和系统函 数来描述力学体系,使所得方程更加简单易解: OL OL →q=q(9,P,1)2P1=
广义动量作为中间变量 • 这2s个方程中，计算 qi 的时间微商太简单，而计 算 vi 的时间微商太复杂。中间变量取 vi 并不合适。 从拉格朗日方程看，直接可以计算广义动量 pi ， 因而把它取为中间变量是合适的。 • 但是，拉格朗日函数中，自变量含有广义速度， 而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义 动量来表达。 • 哈密顿力学的理论研究了如何取自变量和系统函 数来描述力学体系，使所得方程更加简单易解： , ( , , ), i i i i i i L L p q q q p t p q q = = =
勒让德变换 系统函数以谁为自变量,则它的全微分就 写成这些变量的微分之线性组合,系数就 是该自变量的共轭变量,也即系统函数对 该自变量的偏微分。 勒让德变换可以将系统函数的某个自变量 (如下例的x)换为它的共轭变量(u) 同时,系统函数也有相应变化。例如: (x,1)O dx+dy= udx +vdy=d()-xdu vdy dg(u,y=d(ux-f)=xdu-vdy
勒让德变换 • 系统函数以谁为自变量，则它的全微分就 写成这些变量的微分之线性组合，系数就 是该自变量的共轭变量，也即系统函数对 该自变量的偏微分。 • 勒让德变换可以将系统函数的某个自变量 （如下例的x）换为它的共轭变量（u）， 同时，系统函数也有相应变化。例如： ( , ) ( ) ( , ) ( ) f f df x y dx dy udx vdy d ux xdu vdy x y dg u y d ux f xdu vdy = + = + = − + = − = −
拉格朗日函数变换为哈密顿函数 拉格朗日函数为系统函数时,广义速度和 广义动量是共轭坐标。 d(q91)=∑(+如)+t 如果想以p为自变量,则进行勒让德变换: d(q91)=∑ OL d q, +d(p, -q,dp,+ dt H=p-1(g9川=人M+9啊人∥ at
拉格朗日函数变换为哈密顿函数 • 拉格朗日函数为系统函数时，广义速度和 广义动量是共轭坐标。 • 如果想以 pi 为自变量，则进行勒让德变换： 1 ( , , ) ( ) s i i i i i L L dL q q t p dq dq dt q t = = + + 1 1 1 ( , , ) [ ( ) ] [ ( , , )] [ ] s i i i i i i i s s i i i i i i i i L L dL q q t dq d p q q dp dt q t L L dH p q L q q t dq q dp dt q t = = = = + − + = − = − + −