量子力学 笫八:绝燕近仰与Bery相阖于 杨焕雄 中闽科技本大地骨院近代物理亲 hyang@ustc.edu.cn December 19, 2019
量子力学 第八章：绝热近似与 Berry 相因子 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn December 19, 2019 1 / 32
章动机 量于力骨体的 Schrodinger方程, ix.|(功)=Hw() 多H不你赖于时间t时买有通群 V()=∑|)〈叫W(0)p(-E) 式中出现的En与|)分别是H的存猃值以及相应的归一化存 矢量,H1n)=En|n),(川m)=6nm 如果初鼎时刻体处在的某个存上, v(0)=|m 则在以的一时刻,体無仍确定烂处在的运个礻猃 忐工,麦别只是多了一个不改亥概率分布的含时因子 l()>=|m)ckm,(t≥0)
本章动机： 量子力学体系的 Schrödinger 方程， iℏ B Bt |Ψptqy “ Hˆ |Ψptqy 当 Hˆ 不依赖于时间 t 时具有通解： |Ψptqy “ ÿ n |ny xn|Ψp0qy expp´iEnt{ℏq 式中出现的 En 与 |ny 分别是 Hˆ 的本征值以及相应的归一化本征 矢量，Hˆ |ny “ En |ny， xn|my “ nm. 如果初始时刻体系处在 Hˆ 的某个本征态上， |Ψp0qy “ |my 则在以后的任一时刻，体系仍然确定地处在 Hˆ 的这个本征 态上，差别只是多了一个不改变概率分布的含时相因子： |Ψptqy “ |my e ´ i ℏ Emt ; ` t ě 0 ˘ 2 / 32
绝热过程 所以,在体系的 Hamilton算待不你于时间的帱刑下,体糸量 弃征忐随时间的演化是绝热过程. Q绝热过程 慑设体無的哈蜜頓算特在慕个物理过程中从初雀B()逐 新变亿到终值团(小若过程是绝热过程、且体余在 初时訓右处于哈密頓算特H()的存松态|n(t), H(t)|n(+)=En()n(t) 则体在演化过程中的饪一时訓t均处在瞬时哈密頓算 符H(t)的车栖起|n(), H(n)ln()=En()ln(0),(≤≤引
绝热过程： 所以，在体系的 Hamilton 算符不依赖于时间的情形下，体系能量 本征态随时间的演化是绝热过程. 1 绝热过程： 假设体系的哈密顿算符在某个物理过程中从初值 Hˆ ptiq 逐 渐变化到终值 Hˆ ptfq. 倘若此过程是绝热过程、且体系在 初始时刻 ti 处于哈密顿算符 Hˆ ptiq 的本征态 |nptiqy， Hˆ ptiq |nptiqy “ Enptiq |nptiqy 则体系在演化过程中的任一时刻 t 均处在瞬时哈密顿算 符 Hˆ ptq 的本征态 |nptqy， Hˆ ptq |nptqy “ Enptq |nptqy ; pti ď t ď tfq 3 / 32
含时的 Hamilton算符例: 请问 若自体執于时间秀数,H=H(),其存矢是石可以进行 绝热演化? 考虑具有妇下性的談转籬帕,场的 方间与3轴夹角为日,且以常角速废山 疣x轴转 B)=图|cos+ ei sin 0 cos(ur) +e2 sin 0 sin(wt) 鸿处约定囝为一常歉,绱若让曳于秭止于鸿的坐标原点, 则电子的 Hamilton算待丁为 (1)=-sB() cos 803+sin 8 cos(wt)oI +sin 0 sin(wt)02
含时的 Hamilton 算符举例： 请问： 1 若 Hˆ 依赖于时间参数，Hˆ “ Hˆ ptq，其本征态矢是否可以进行 绝热演化？ 考虑具有如下性质的旋转磁场. 磁场的 方向与 x3 轴夹角为 ，且以常角速度 ! 绕 x3 轴转动： ~Bptq “ B ” ~e3 cos `~e1 sin cosp!tq `~e2 sin sinp!tq ı BE ! x3 x2 x1 O e 此处约定 B 为一正常数. 倘若让电子静止于此磁场的坐标原点， 则电子的 Hamilton 算符可表为： Hˆ ptq “ ´~S ¨~Bptq “ eℏB 2 ” cos 3 `sin cosp!tq1 `sin sinp!tq2 ı 4 / 32
在H随时间亥化的帱刑下, H的车值方程仍絮府在: H()1yn(1)=En(t)1yn() 仅態量值En(与屬于它的礻矢量ψn()》均时间 变.体糸的態量不是守恒量 ◎H仍是厄未算特、因此,在一瞬间,H()存共的 金体仍袈构忒 Hilbert空阃的一徂女归一的基承: y(ym()=6m,∑n()(y(=1 因讷,含时藓定谔方程 v(a)=B()v() 的通解可以写作{n(》}的伐性叠加∷
在 Hˆ 随时间变化的情形下， 1 Hˆ 的本征值方程仍然存在： Hˆ ptq | nptqy “ Enptq | nptqy 但能量本征值 Enptq 与属于它的本征态矢量 | nptqy 均随时间 变化. 体系的能量不是守恒量. 2 Hˆ 仍然是厄米算符. 因此，在任一瞬间 t，Hˆ ptq 本征态矢的 全体仍然构成 Hilbert 空间的一组正交归一的基底： x nptq| mptqy “ nm; ÿ n | nptqy x nptq| “ 1 因此，含时薛定谔方程 iℏ B Bt |Ψptqy “ Hˆ ptq |Ψptqy 的通解可以写作 t| nptqyu 的线性叠加： |Ψptqy “ ÿ n ˜cnptq | nptqy “ ÿ n cnptq | nptqy exp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ 5 / 32