的方程.当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲 线时,各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于 例:设一二阶线性系统的齐次微分方程为:x+x+x=0(13) 即5=0.50n=1,此系统在初始条件激励下呈衰减振荡 过程.由式(13)可得:dx/abx=-(x+x)/x(14 令dxdx=a,得等倾线方程为:x=-x/1+a)(15) 若令a=1,x=-x/2,则等倾线如下图所示,如a=-2 则x=x等倾线如图中蓝线 依此类推,取不同的值,由 x式(15)画出足够密的一簇等倾 线,然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线,如左上图所示
的方程. 当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲 线时, 各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于 例: 设一二阶线性系统的齐次微分方程为: + + = 0 (13) •• • x x x 即 = 0.5, n =1 , 此系统在初始条件激励下呈衰减振荡 过程. 由式(13)可得: / ( )/ (14) • • • d x dx = − x+ x x 令 = • d x/ dx , 得等倾线方程为: = − /(1+) (15) • x x 若令 =1, x = −x / 2 • , 则等倾线如下图所示. x • x 0 如 = −2 则 x = x • =1 等倾线如图中蓝线. = −2 依此类推, 取不同的 值, 由 式(15)画出足够密的一簇等倾 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示
图中相轨迹表示x+x+x=0系统在某一初始条件下的运 动轨迹.此系统有一对实部为负的共轭复根,因此在任 何一对初始条件激励下,其自由运动均呈率减振荡形式 不同初始条件下的各条相轨迹从不同方向趋向于相平面 的原点,这种奇点叫稳定的焦点 3.由相平面图求时间解x()曲线 在x-x相平面上得到的是表示x与x间函数关系的 相轨迹曲线,但在工程上分析系统时,往往希望得到比 较直观的x关于时间的函数图象,因此要利用相平面 上的相轨迹曲线来确定x()的曲线图形 下图表示相轨迹曲线中的某一段.若A点对应的时 A( B(x,x)刻为,求B点对应的时刻 可在AB段沿相轨迹运动的方 C(x-x d(x,x x取若干个点 )2(x2x)…(xk2x)
图中相轨迹表示 + + = 0 系统在某一初始条件下的运 •• • x x x 动轨迹. 此系统有一对实部为负的共轭复根, 因此在任 何一对初始条件激励下, 其自由运动均呈率减振荡形式 不同初始条件下的各条相轨迹从不同方向趋向于相平面 的原点, 这种奇点叫稳定的焦点. 3. 由相平面图求时间解 x(t) 曲线 在 • x − x 相平面上得到的是表示 x 与 • x 间函数关系的 相轨迹曲线, 但在工程上分析系统时, 往往希望得到比 较直观的 x 关于时间 t 的函数图象, 因此要利用相平面 上的相轨迹曲线来确定 x(t) 的曲线图形. 下图表示相轨迹曲线中的某一段. x • x 0 ( , ) 0 0 • A x x ( , ) • k k B x x ( , ) 1 1 • i− i− c x x ( , ) • i i d x x 若A点对应的时 刻为 0 t , 求B点对应的时刻 t 可在AB段沿相轨迹运动的方 取若干个点 ( , ), ,( , ),( , ), ,( , ) 0 0 1 1 • • • − − • i i i i k k x x x x x x x x
计算出相邻两点x1,x1)(x,x)间的时间增量Δ,则系统 从点A运动到B点时,B点的时刻t=+∑M,而△的计 算有下面三种方法 (1)增量法设相轨迹上两点(x1x)(x2x2)位移增量较 小,设x为两点处相轨迹上速度变量x的平均值,则: x、-X, △t (16) x(x2+x1)/2 (2积分法设点(x,x)对应的时间为x 1,点(x2x)对应的时间为t2,则 ∵x=dx/tt∴dt=dx/x x t ax/x △Y=t2-4=dx/x(7)其几何意 义见右图
计算出相邻两点 ( 1 , 1 ),( , ) 间的时间增量 • • i− i− i i x x x x i t , 则系统 从点A运动到B点时, B点的时刻 = = + k i i t t t 1 0 , 而 i t 的计 算有下面三种方法. (1)增量法 设相轨迹上两点 ( , ),( , ) 1 1 2 2 • • x x x x 位移增量较 小, 设 • x 为两点处相轨迹上速度变量 • x 的平均值, 则: (16) ( 2 1 )/ 2 2 1 • • • + − = = x x x x x x t (2)积分法 设点 ( , ) 1 1 • x x 对应的时间为 1 t , 点 ( , ) 2 2 • x x 对应的时间为 2 t , 则 • • x = dx/ dtdt = dx/ x • • = − = = 2 1 2 1 2 1 / (17) / 2 1 x x x x t t t t t d x x dt d x x x • x 0 • 1 x • 2 x 2 x 1 x x • 1/ x 0 • 1 1/ x • 2 1/ x 2 x 1 x 其几何意 义见右图
(3)圆弧法 设相平面上某条相轨迹的某一段如下图所示.用圆心 坐标为(a0,半径为r的圆上的一段圆 弧来近似表示相轨迹上(x1,x)(x,x) .两点间的一段曲线.设这段圆弧上的 o a x 任一点坐标为x,x),这点与圆心的连 x 线和横轴正方向间的夹角为,则有: x=rose+a dx=-rsin0-de: x=rsine 若(x1,x)点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为 (x2,x2)点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为2,且 0>B2>0.积分法中的式(17可转化为: ax/x rsin·d6/rsin d0=61-2(18) 1
(3)圆弧法 设相平面上某条相轨迹的某一段如下图所示. ( , ),( , ) 1 1 2 2 • • x x x x (a,0) r x • x 0 用圆心 坐标为 , 半径为 的圆上的一段圆 弧来近似表示相轨迹上 两点间的一段曲线. a r 1 x 2 x • 1 x • 2 x 设这段圆弧上的 任一点坐标为 ( , ) • x x x • x , 这点与圆心的连 线和横轴正方向间的夹角为 , 则有: x = r cos + a,dx = −rsin d; x = rsin • 若 ( , ) 1 1 • x x 点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为 1 1 ( , ) 2 2 • x x 点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为 2 2 , 且 . 积分法中的式(17)可转化为: / sin / sin (18) 1 2 2 1 2 1 2 1 = = − = − = − • t d x x r d r d x x 1 2 0