所以,当xx确定后,dx/abx也唯一确定.而dx/x是相 轨迹在(x,x)处的曲线斜率,由于每一点上的斜率确定所 每一点上只能通过一条相轨迹,这说明由不同初始条件 出发的相轨迹曲线互不相交.如果在相平面上某些点的 dx/ox=0/0,即曲线在这一点上的斜率不定,可有无穷多 条相轨迹通过这一点,称这一点为系统的平衡点,或叫奇 点.在相平面的上方(如下图,由于x>0所以x总是朝大的 xx,x)方向变化,故相轨迹上的点总是按图 中箭头所指从左向右移动.在相平面 的下方,由于x<0所以x总是朝小的 方向变化,故相轨迹上的点总是按图中箭 箭头所指从右向左移动.在x轴上,由于 x=0,即x不变化,达到最大值或最小值,故相轨迹曲线 与x轴的交点处的切线总垂直于x轴
所以, 当 确定后, • x, x d x/ dx • 也唯一确定. 而 d x/ dx • 是相 轨迹在 ( , ) • x x 处的曲线斜率, 由于每一点上的斜率确定,所 每一点上只能通过一条相轨迹, 这说明由不同初始条件 出发的相轨迹曲线互不相交. 如果在相平面上某些点的 / = 0/0 • d x dx , 即曲线在这一点上的斜率不定, 可有无穷多 条相轨迹通过这一点, 称这一点为系统的平衡点, 或叫奇 点. 在相平面的上方(如下图) x • x 0 ( , ) 0 0 • A x x , 由于 0 • x 所以 x 总是朝大的 方向变化, 故相轨迹上的点总是按图 中箭头所指从左向右移动. 在相平面 的下方, 由于 0 • x 所以 x 总是朝小的 方向变化, 故相轨迹上的点总是按图中箭 箭头所指从右向左移动. 在 x 轴上, 由于 = 0 • x , 即 x 不变化, 达到最大值或最小值, 故相轨迹曲线 与 x 轴的交点处的切线总垂直于 x 轴
2.相轨迹作图法 先以线性系统为例,说明相轨迹曲线的画法 (1)解析法 根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨 迹方程绘制相平面图,此方法仅用于简单的一、二阶线 性系统或分段线性系统 (a)线性一阶系统系统自由运动的微分方程为 Tx+x=0(3)相轨迹方程为:x=-x/7(4) 设初始条件:x(0)=x02x(0)=-x/7当T>0,相轨迹如下图 B(xoxo)1*/ 系统从任一初始点出发,均将沿相轨 迹收敛于原点.当T<0,相轨迹如图 A(x0%中绿线所示系统从任一初始点出发 B(x 050 A(x,x)均将沿相轨迹发散至无穷
2. 相轨迹作图法 先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法. (1)解析法 根据系统的微分方程求出相轨迹方程, 然后由相轨 迹方程绘制相平面图, 此方法仅用于简单的一﹑二阶线 性系统或分段线性系统. (a)线性一阶系统 系统自由运动的微分方程为: + = 0 (3) • T x x 相轨迹方程为: x = −x /T (4) • 设初始条件: x(0) = x0 , x(0) = −x0 /T • , 当T>0,相轨迹如下图 x • x 0 ( , ) 0 0 • A x x ( ' , ') 0 0 • B x x 系统从任一初始点出发, 均将沿相轨 迹收敛于原点. 当T<0, 相轨迹如图 中绿线所示. ( , ) 0 0 • A x x ( ' , ') 0 0 • B x x 系统从任一初始点出发 均将沿相轨迹发散至无穷
(b)线性二阶系统系统自由运动的微分方程为: x+250, x+ox=o 5) 式(5)可用两个一阶微分方程联立表示: ax dt(250nx+ant (6) 式(6除以式(7) 250,x+O, (8) 第一种情况,=0,式(8)为: ax 对式(两边积分得:xdx=「- odx X-+ A2(10)
(b)线性二阶系统 系统自由运动的微分方程为: 式(5)可用两个一阶微分方程联立表示: 2 0 (5) 2 + + = •• • x x x n n = = − + • • • (7) (2 ) (6) 2 x dt d x x x dt d x n n 式(6)除以式(7): (8) 2 2 • • • + = − x x x d x d x n n 第一种情况, = 0 , 式(8)为: (9) 2 • • = − x x dx d x n 对式(9)两边积分得: (10) 2 2 2 2 2 A x x x d x xdx n n + = = − • • •
式(10)中,A=Vx2+x/o2,是由初始条件(xn,x)决定 的积分常数,当(x2x)取不同的数值时,式(10在x-x 平面上表示一簇同心的椭圆,如下图所示.每一个椭圆 x相当于一个简谐运动.由于在原点, x=x=0,所以dx/dx=0/0原点叫 x奇点.这种奇点对于式(9)是唯一的 个,故又叫孤立奇点,又由于奇 点附近的相轨迹是一簇封闭的曲线 所以这样的孤立奇点又叫中心点 在5≠0的其它各种情况下,通过对式(8)两边积分 求出x与x间的解析表达式,不仅求解过程较困难和复杂 即使由解析表达式画相轨迹也不太容易.教材P360~P.367 给出了其它各种情况下二阶线性系统的相轨迹图及关于各
式(10)中, , 是由初始条件 2 2 0 2 0 / n A x x • = + ( , ) 0 0 • x x 决定 的积分常数, 当 ( , ) 0 0 • x x 取不同的数值时, 式(10)在 • x − x 平面上表示一簇同心的椭圆, 如下图所示. x • x 0 每一个椭圆 相当于一个简谐运动. 由于在原点, = = 0 • x x , 所以 / = 0/0 • d x dx , 原点叫 奇点. 这种奇点对于式(9)是唯一的 一个, 故又叫孤立奇点, 又由于奇 点附近的相轨迹是一簇封闭的曲线 所以这样的孤立奇点又叫中心点. 在 0 的其它各种情况下, 通过对式(8)两边积分 求出 x 与 • x 间的解析表达式, 不仅求解过程较困难和复杂 即使由解析表达式画相轨迹也不太容易. 教材P.360~P.367 给出了其它各种情况下二阶线性系统的相轨迹图及关于各
奇点的概念,请参阅 (2)等倾线法 等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法,设 二阶系统一般形式的微分方程如下: x=f(x2x)(11) 式(11)又可化为: dx f(x, x) (12) dx/cx正是相轨迹方程的导函数,当x,x取不同值时, dxdx的值也不同,即相轨迹上各点的曲线斜率不一样, 但对于一个微分方程,当初始条件不同时,其有一簇相 轨迹,而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得 条曲线,这条曲线叫等倾线.从数学角度分析,有 令dxx=a为某一常数,则a=f(x,x)/x是关于x,x
奇点的概念, 请参阅. (2)等倾线法 等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法. 设 二阶系统一般形式的微分方程如下: ( , ) (11) •• • x = f x x 式(11)又可化为: (12) ( , ) • • • = x f x x dx d x d x/ dx • 正是相轨迹方程的导函数, 当 x, x • 取不同值时, d x/ dx • 的值也不同, 即相轨迹上各点的曲线斜率不一样, 但对于一个微分方程, 当初始条件不同时, 其有一簇相 轨迹, 而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得 一条曲线, 这条曲线叫等倾线. 从数学角度分析, 有: 令 = • d x/ dx 为某一常数, 则 • • = f (x, x)/ x 是关于 • x, x