A1镜像法 圆定理 设在无界流体中的复位势为f(),其所有奇点都在圆|=a外,当在流场 中有一个圆心在原点,半径为a的圆柱时,满足圆柱面是条流线的复位势为 F(=)=f(-)+f 在圆上2===a2,a=,f()=f(,所以F()=f()+()=实数, 即圆周是一条流线。另一方面,奇点位置|=>a,全在圆外,其镜像点位 置<a,全在圆内,圆外未增加奇点
在圆上 所以 实数， 即圆周是一条流线。 另一方面，奇点位置 ，全在圆外，其镜像点位 置 ，全在圆内，圆外未增加奇点。 设在无界流体中的复位势为 ，其所有奇点都在圆 外，当在流场 中有一个圆心在原点，半径为 的圆柱时，满足圆柱面是条流线的复位势为 f (z) z = a a 2 ( ) ( ) ( ) a F z f z f z = + 2 2 2 2 , , ( ) ( ), a a z z z a z f f z z z = = = = F(z) = f (z) + f (z) = z0 a a z a 0 2 4.11 镜像法 圆定理
圆柱的无环量绕流 平行流的复位势f()=U 圆柱无环量绕流的复速度势 F()=U=+ 这正是47节所求得到的结果
f z U z ( ) = z a U z a f 2 2 = ( ) = + z a F z U z 2 圆柱的无环量绕流 平行流的复位势 圆柱无环量绕流的复速度势 这正是4.7节所求得到的结果
A1!镜像 例1:设在=20点有一强度为的点涡,|=0|>a,f()=m(-),求存在 半径为a的圆周|=a时的复位势 解:F(=)=f(=)+ 2丌 2丌 In z+In F()=-2兀 2-二 lr Inz+c 2丌 上式中常数可以删去。这正 是我们在介绍镜像法时举例 提到的圆外点涡流场的结果
例1：设在 点有一强度为 的点涡， ， ，求存在 半径为 的圆周 时的复位势 0 z = z z0 a ( ) ln ( 0 ) 2 f z z z i = − a z = a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 ln ln 2 2 ln ln ln ln ln ln 2 ln ln 2 2 a i i a F z f z f z z z z z a z a a z z z z z z z z z i F z z z i a i z z c z − = + = − + − − = − − = − − + − = − − + − − + 上式中常数可以删去。这正 是我们在介绍镜像法时举例 提到的圆外点涡流场的结果。 4.11 镜像法 解： 2 0 a z • • • 0 z − a
4.12保角变换 保角变换 B=6+ 复变函数2=八(-)把z=x+ly平面上的区域映射到=5+in平面的 某区域上去。如果函数()在三平面处解析且()0则么 的值与增量c的方向无关,而只是点的函数.设吗=M dz 或dl=Aede,则上式中A,a只应是点的函数
4.12 保角变换 复变函数 把 平面上的区域映射到 平面的 某区域上去。如果函数 在 平面处处解析且 ，则 的值与增量 的方向无关，而只是点的函数. 设 , 或 ，则上式中 ， 只应是点的函数。 z = x + iy = + i f (z) z f '(z) 0 dz d i Ae dz d = i d Ae dz = A = f (z) dz 保角变换 dz d = + p p c c x y z = f (z)
12保角变换 6 d5人B=0+a 由上式可以看出在二平面上一点处具有长度为的线元d,经 过=/()变换以后,在5平面的相应线元d的长度伸长了A倍, ds 变为d1=4h,而且曲线的方位旋转了角。由于只是z的 函数,过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角 度,且旋转方向相同,于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角 在变换后保持不变,这种映射称为保角映射
4.12 保角变换 由上式可以看出在 平面上一点处具有长度为 的线元 ，经 过 变换以后，在 平面的相应线元 的长度伸长了 倍， 变为 ，而且曲线的方位旋转了 角。由于 只是 的 函数，过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角 度，且旋转方向相同，于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角 在变换后保持不变，这种映射称为保角映射。 z dz dz = f (z) d A d = Adz dz d z dz d = + p p c c x y z