例1设∫(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2) 0-2≤x<0 上的表达式为f(x)= 将其展 k0≤x<2 成傅氏级数 解l=2,满足狄氏充分条件 0kx+[kdx=k,一 2 cos n〓 2J0
例 1 设 f (x)是周期为 4 的周期函数,它 在[−2,2) 上的表达式为 − = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x , 将其展 成傅氏级数. 解 l = 2, 满足狄氏充分条件. k − 2 x y − 4 0 2 4 = + − 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 a dx kdx = k, an = 2 0 2 cos 2 1 xdx n k = 0, (n = 1,2, )
k sin -xdx cos nT 2 nc 2k当n=135, nTC k 2k πv13 5πv ∫(x)=+—(sin。+sin+sin。+…) T 25 2 (-00<x<+∞;≠0,+2,4, x=2n时级数收敛于 2
= 2 0 2 sin 2 1 xdx n bn k (1− cos ) = n n k , 0 2,4,6, 1,3,5, 2 = = = n n n k 当 当 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( ) + + + = + k k x x x f x (− x +; x 0,2,4, ) 2 2 k x = n时级数收敛于
二、非周期函数的展开 前面我们研究了周期为T=2l的函数展开成 Fourier级数,其中所涉及到的函数都是定义在 无限区间上,但在实际应用中却需要对非周期函 数,或定义在有限区间上的函数展开成 Fourier 级数,下面我们就来讨论这种情况,分两种情形 讨论 1。周期延拓的情形 设函数f(t)在[l,l)上满足 Dirichlet条件 为了将其展开为 Fourier级数,需要将∫(t)在 -l,l)以外进行周期性延拓,也就是作一个周期
二、非周期函数的展开 前面我们研究了周期为T = 2 l 的函数展开成 Fourier 级数，其中所涉及到的函数都是定义在 无限区间上，但在实际应用中却需要对非周期函 数，或定义在有限区间上的函数展开成Fourier 级数，下面我们就来讨论这种情况，分两种情形 讨论 1。 周期延拓的情形 设函数 f ( t ) 在[ -l , l )上满足Dirichlet 条件 为了将其展开为Fourier 级数，需要将 f ( t ) 在 [ -l , l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期
为l的函数F(t)使得F(t)在[-l,l)上与 f(t)恒等,将F(t)展开成 Fourier级数 ∑(a nwu nyu F(t × n COS +b, sin) (1) n=1 而在[-l,l)的连续点处,有 f(t)=b+2(acos no +h sinan H=1 若to是[,l)内的间断点,则在该点处,级 数收敛于 f∫(t-0)+∫(t0+0
为 l 的函数 F (t ) 使得F (t ) 在[ -l , l ) 上与 f ( t )恒等，将F (t ) 展开成Fourier 级数 = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) n n n l n t b l n t a a F t 而在 [ -l , l ) 的连续点处， 有 = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) n n n l n t b l n t a a f t 若 t 0 是 [ -l , l ) 内的间断点，则在该点处，级 数收敛于 2 ( 0) ( 0) f t 0 − + f t 0 + (1) (2)
需要注意的是区间的两个端点,t=±l 虽然对f(t)来说,在左端点右连续, 右端点左连续,但延拓成F(t)以后,在 t=±l就不一定连续,由收敛定理, 在t=±l级数收敛于 ∫(-l+0)+f(l-0 因此若∫(t)在[l,l)上左端点的右极限等于 右端点的左极限,即 f(-l+0)=f(-0)
需要注意的是区间的两个端点， t = l 虽然对 f ( t ) 来说，在左端点右连续， 右端点左连续，但延拓成 F (t ) 以后，在 t = l 就不一定连续，由收敛定理 ， 在 t = l 级数收敛于 [ ( 0) ( 0)] 2 1 f −l + + f l − 因此若 f ( t ) 在 [ -l , l ) 上 左端点的右极限等于 右端点的左极限，即 f (−l + 0) = f (l − 0)