223实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积 01基础题 知识点二次函数与图形面积 1.(六盘水中考)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是(C) A.60m2 B.63m2 C.64m2 2.用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图),那么这个窗户的最大透光面积是C) 3.(泰安中考改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cms的 速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,△PCQ面 积的最大值为(B) A. 6 cm2 Q 4.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图),已知 计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为14m2
22.3 实际问题与二次函数 第 1 课时 二次函数与图形面积 01 基础题 知识点 二次函数与图形面积 1．(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是(C) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 2．用长 8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(C) A.64 25 m2 B.4 3 m2 C.8 3 m2 D．4 m2 3．(泰安中考改编)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1 cm/s 的 速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2 cm/s 的速度运动(点 Q 运动到点 B 停止)，在运动过程中，△PCQ 面 积的最大值为(B) A．6 cm2 B．9 cm2 C．12 cm2 D．15 cm2 4．(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长 50 m)，中间用两道墙隔开(如图)，已知 计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144m2
5.将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和 的最小值是=cm2 6.已知直角三角形两条直角边的和等于20,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大?最大值是多少? 解:设直角三角形的一直角边长为x,则另一直角边长为(20-x),其面积为y, xx(20-x) 2x2+10x x-10)2+50 当x=10时,面积y值取最大,y最大=50 7.(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形,抽屉底面周长为180cm,高为20cm 请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计) 解:根据题意,得y=20180-x) 整理,得 y=-20x2+1800x 20(x2-90x+2025)+40500 20(x-45)2+40500 当x=45时,函数有最大值,y最大=40500 即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cm3 易错点二次函数最值问题未与实际问题相结合 8.(咸宁中考)用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形,那么a的值不可能为(D) A.20 B.40 02中档题
5．将一根长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和 的最小值是25 2 cm2 . 6．已知直角三角形两条直角边的和等于 20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一直角边长为 x，则另一直角边长为(20－x)，其面积为 y，则 y＝ 1 2 x(20－x) ＝－ 1 2 x 2＋10x ＝－ 1 2 (x－10)2＋50. ∵－ 1 2 <0， ∴当 x＝10 时，面积 y 值取最大，y 最大＝50. 7．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为 180 cm，高为 20 cm. 请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 解：根据题意，得 y＝20x(180 2 －x)． 整理，得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500 ＝－20(x－45)2＋40 500. ∵－20＜0， ∴当 x＝45 时，函数有最大值，y 最大＝40 500. 即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为 40 500 cm3 . 易错点 二次函数最值问题未与实际问题相结合 8．(咸宁中考)用一根长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 a cm2 的长方形，那么 a 的值不可能为(D) A．20 B．40 C．100 D．120 02 中档题
9.(教材P52习题T7变式新疆中考)如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B, C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运 动过程中,当运动时间为3s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18cm2 10.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单 位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?最大面积是多少? 解:(1S=-2+30x (2):s=-12+30x=-3x-30)2+450 且一<0 ∴当x=30时,S有最大值,最大值为450 即当ⅹ为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450cm 11.(包头中考)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米200元,设矩形一边长为x 米,面积为S平方米 (1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围 (2)设计费能达到24000元吗?为什么? (3)当x是多少米时,设计费最多?最多是多少元? 解:(1)∵矩形的一边长为x米,周长为16米 ∴另一边长为(8-x)米 ∴S=x(8-x)=-x2+8x,其中0<x<8 (2)能.理由:当设计费为24000元时,广告牌的面积为24000÷2000=12(平方米), 即一x2+8x=12,解得x=2或x=6 ∴x=2和x=6在0<x<8内 设计费能达到24000元 (3)∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,0<x<8, ∴当x=4时,S最大=16 当x=4米时,矩形的面积最大,为16平方米,设计费最多,最多是16×2000=32000元
9．(教材 P52 习题 T7 变式)(新疆中考)如图，在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别从点 A，B， C，D 同时出发，均以 1 cm/s 的速度向点 B，C，D，A 匀速运动，当点 E 到达点 B 时，四个点同时停止运动，在运 动过程中，当运动时间为 3s 时，四边形 EFGH 的面积最小，其最小值是 18cm2 . 10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60 cm，菱形的面积 S(单 位：cm2 )随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S＝－ 1 2 x 2＋30x. (2)∵S＝－ 1 2 x 2＋30x＝－ 1 2 (x－30)2＋450， 且－1 2 ＜0， ∴当 x＝30 时，S 有最大值，最大值为 450. 即当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是 450 cm2 . 11．(包头中考)某广告公司设计一幅周长为 16 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 2 000 元．设矩形一边长为 x 米，面积为 S 平方米． (1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)设计费能达到 24 000 元吗？为什么？ (3)当 x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 解：(1)∵矩形的一边长为 x 米，周长为 16 米， ∴另一边长为(8－x)米． ∴S＝x(8－x)＝－x 2＋8x，其中 0＜x＜8. (2)能．理由：当设计费为 24 000 元时，广告牌的面积为 24 000÷2 000＝12(平方米)， 即－x 2＋8x＝12，解得 x＝2 或 x＝6. ∵x＝2 和 x＝6 在 0＜x＜8 内， ∴设计费能达到 24 000 元． (3)∵S＝－x 2＋8x＝－(x－4)2＋16，0＜x＜8， ∴当 x＝4 时，S 最大＝16. ∴当 x＝4 米时，矩形的面积最大，为 16 平方米，设计费最多，最多是 16×2 000＝32 000 元．
12.(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠 旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示, 如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境 小军:把它围成一个正方形 面积 这样的面积一定最大 方形 请根据上面的信息,解决问题 (1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长 (2)请你判断谁的说法正确,为什么? 解:(1)BC=69+3-2x=72-2x (2)小英的说法正确.理由 矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648, ∵72-2x>0,∴x<36 ∴0<x<36. 当x=18时,S取最大值,此时x≠72-2x ∴面积最大的不是正方形 ∴小英的说法正确. 03综合题 3.(朝阳中考)如图,正方形ABCD的边长为2cm,△PMN是一块直角三角板(∠N=30),PM>2cm,PM与BC 均在直线l上,开始时M点与B点重合,将三角板向右平行移动,直至M点与C点重合为止.设BM=xcm,三 角板与正方形重叠部分的面积为ycm2 下列结论: ①当0≤x≤ y与x之间的函数关系式为y=2x2 ②当3x≤2时,y与x之间的函数关系式为y=2x-3
12．(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠 旧墙(墙足够长)，另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 3 米的出入口，如图所示， 如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： (1)设 AB＝x 米(x＞0)，试用含 x 的代数式表示 BC 的长； (2)请你判断谁的说法正确，为什么？ 解：(1)BC＝69＋3－2x＝72－2x. (2)小英的说法正确．理由： 矩形面积 S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648， ∵72－2x＞0，∴x＜36. ∴0＜x＜36. ∴当 x＝18 时，S 取最大值，此时 x≠72－2x. ∴面积最大的不是正方形． ∴小英的说法正确． 03 综合题 13．(朝阳中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，△PMN 是一块直角三角板(∠N＝30°)，PM＞2 cm，PM 与 BC 均在直线 l 上，开始时 M 点与 B 点重合，将三角板向右平行移动，直至 M 点与 C 点重合为止．设 BM＝x cm，三 角板与正方形重叠部分的面积为 y cm2 . 下列结论： ①当 0≤x≤ 2 3 3时，y 与 x 之间的函数关系式为 y＝ 3 2 x 2 ； ②当 2 3 3<x≤2 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y＝2x－ 2 3 3；
③当MN经过AB的中点时,y=23cm2; ④存在x的值,使y=2SA(S方秒AD表示正方形ABCD的面积) 其中正确的是①②④写出所有正确结论的序号) 第2课时二次函数与商品利润 1基础题 知识点1简单销售问题中的最大利润 1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售价为ⅹ元,则可卖出(350 10x)件商品,那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B) A 10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350 0x2+350x 10x2+350x-7350 2.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为:每投 入x万元,可获得利润P==100x-60)+41(万元,每年最多可投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大 值是205万元 3.(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销 售利润y甲(万元)与进货量x吨)近似满足函数关系y甲=03x;乙种水果的销售利润yz(万元)与进货量x(吨近似满足 函数关系yz=ax2+b(其中a≠0,a,b为常数),且进货量x为1吨时,销售利润yz为14万元;进货量x为2吨 时,销售利润yz为26万元 (1)求yz(万元)与x(吨)之间的函数关系式; (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨,设乙种水果的进货量为t吨,请你写出这两种水果所获得的销售利润之 和W(万元)与t(吨)之间的函数关系式,并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少? Ja+b=14, a=-0.1, 解:(1)由题意,得 4a+2b=26 yz=-0.1x2+1.5x (2W=y甲+yz=0.3(10-t+(-0.lt2+1.5t) 0.1t2+1.2t+3=-0.1(t-6)2+66 0.1<0,∴t=6时,W有最大值为66 ∴10-6=4(吨)
③当 MN 经过 AB 的中点时，y＝ 1 2 3 cm2 ； ④存在 x 的值，使 y＝ 1 2 S 正方形 ABCD(S 正方形 ABCD表示正方形 ABCD 的面积)． 其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号)． 第 2 课时 二次函数与商品利润 01 基础题 知识点 1 简单销售问题中的最大利润 1．某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出(350 －10x)件商品，那么卖出商品所赚钱 y 元与售价 x 元之间的函数关系为(B) A．y＝－10x2－560x＋7 350 B．y＝－10x2＋560x－7 350 C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7 350 2．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投 入 x 万元，可获得利润 P＝－ 1 100(x－60)2＋41(万元)．每年最多可投入 100 万元的销售投资，则 5 年所获利润的最大 值是 205 万元． 3．(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销 售利润 y 甲(万元)与进货量 x(吨)近似满足函数关系 y 甲＝0.3x；乙种水果的销售利润 y 乙(万元)与进货量 x(吨)近似满足 函数关系 y 乙＝ax2＋bx(其中 a≠0，a，b 为常数)，且进货量 x 为 1 吨时，销售利润 y 乙为 1.4 万元；进货量 x 为 2 吨 时，销售利润 y 乙为 2.6 万元． (1)求 y 乙(万元)与 x(吨)之间的函数关系式； (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，设乙种水果的进货量为 t 吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之 和 W(万元)与 t(吨)之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 解：(1)由题意，得 a＋b＝1.4， 4a＋2b＝2.6. 解得 a＝－0.1， b＝1.5. ∴y 乙＝－0.1x2＋1.5x. (2)W＝y 甲＋y 乙＝0.3(10－t)＋(－0.1t2＋1.5t) ＝－0.1t2＋1.2t＋3＝－0.1(t－6)2＋6.6. ∵－0.1<0，∴t＝6 时，W 有最大值为 6.6. ∴10－6＝4(吨)．