223实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积 01基础题 知识点二次函数与图形面积 1·如图,利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.当AD 20m时,矩形场地的面积最大,最大值为800m2 2·如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,点P从点A开始沿AB向B 点以2cms的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1cms的速度移动,如果P,Q 分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为2 3·将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形 则这两个正方形面积之和的最小值是25m 4·已知矩形的周长为6,设矩形的一边长为x,它的面积为y写出y与x的函数关系式,并 求出当x为何值时矩形的面积最大? 解:矩形的另一边长为3-x,则y与x的函数关系式为y=x3-x) 整理,得y=-x2+3x=-(x-32+2 0<x<3, ∴当ⅹ=时’矩形的面积最大’其最大值 5·(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体,抽屉底面周 长为180cm,高为20cm请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大? 最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计 180 解:根据题意,得y=2x 整理,得y=-20x2+1800x=-20(x2-90x+2025)+40500=-20x-45)2+40500 ∵-20<0 当x=45时,函数有最大值,y最大值=40500 即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cn
22.3 实际问题与二次函数 第 1 课时 二次函数与图形面积 01 基础题 知识点 二次函数与图形面积 1．如图，利用一面墙(墙的长度不超过 45 m)，用 80 m 长的篱笆围一个矩形场地．当 AD＝ 20_m 时，矩形场地的面积最大，最大值为 800_m2 . 2．如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 点以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当△PBQ 的面积为最大时，运动时间 t 为 2s. 3．将一根长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形， 则这两个正方形面积之和的最小值是25 2 cm2 . 4．已知矩形的周长为 6，设矩形的一边长为 x，它的面积为 y.写出 y 与 x 的函数关系式，并 求出当 x 为何值时矩形的面积最大？ 解：矩形的另一边长为 3－x，则 y 与 x 的函数关系式为 y＝x(3－x)＝－x 2＋3x(0<x<3)． 整理，得 y＝－x 2＋3x＝－(x－ 3 2 ) 2＋ 9 4 . ∵0<x<3， ∴当 x＝ 3 2 时，矩形的面积最大，其最大值为9 4 . 5．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周 长为 180 cm，高为 20 cm.请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？ 最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 解：根据题意，得 y＝20x(180 2 －x)． 整理，得 y＝－20x2＋1 800x＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500. ∵－20＜0， ∴当 x＝45 时，函数有最大值，y 最大值＝40 500. 即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为 40 500 cm3
6·手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?最大面积是多少? 解:(1)S x2+30x. (2)∵S=-x2+30X=-3(x-30)2+450, 且 ∴当x=30时,S有最大值,最大值为450 即当x为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450cm2 02中档题 7·如图,在R1△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm,点P是AB边上的一个动 点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,当PB=6cm时,四边形PECF的面积最 大,最大值为g3cm2 8·(成都中考)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长), 用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm (1)若花园的面积为192m2,求x的值 2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内 (含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值 解:(1)由题意得x(28-x)=192, 解得x1=12,x2=16 x=12或16 (2)S=x(28-x)=-(x-14)2+196 x≥6, 由题意知 解得6≤x≤13 ∴在6≤x≤13范围内,S随ⅹ的增大而增大 ∴当ⅹ=13时,S最大=-(13-14)2+196=195(m2)
6．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60 cm，菱形的面积 S(单位：cm2 )随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S＝－ 1 2 x 2＋30x. (2)∵S＝－ 1 2 x 2＋30x＝－ 1 2 (x－30)2＋450， 且 a＝－ 1 2 ＜0， ∴当 x＝30 时，S 有最大值，最大值为 450. 即当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是 450 cm2 . 02 中档题 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点 P 是 AB 边上的一个动 点，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，PF⊥AC 于点 F，当 PB＝6_cm 时，四边形 PECF 的面积最 大，最大值为 9 3_cm2 . 8．(成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)， 用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB＝x m. (1)若花园的面积为 192 m2，求 x 的值； (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内 (含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积 S 的最大值． 解：(1)由题意得 x(28－x)＝192， 解得 x1＝12，x2＝16. ∴x＝12 或 16. (2)S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196. 由题意知 x≥6， 28－x≥15， 解得 6≤x≤13. ∴在 6≤x≤13 范围内，S 随 x 的增大而增大． ∴当 x＝13 时，S 最大＝－(13－14)2＋196＝195(m2 )．
答:花园面积S的最大值为195m2 9·(淮安中考)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为 y平方米 (1)求y关于x的函数关系式 (2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米? (3)能否围成面积为筲平方米的养鸡场?如果能’请求出其边长;如果不能’请说明理 解:(l)y=x(16-x)=-x2+16x(0<x<16) (2)当y=60时,-x2+16x=60, 解得x1=10,x2=6 ∴当ⅹ=10或6时,围成的养鸡场的面积为60平方米 (3)不能,理由: 当y=70时,-x2+16x=70,整理得 x2-16x+70=0 ∵△=256-280=-24<0 此方程无实数根 ∵.不能围成面积为70平方米的养鸡场 03综合题 10·(朝阳中考)如图,正方形ABCD的边长为2cm,△PMN是一块直角三角板(∠N=30°) PM>2cm,PM与BC均在直线1上,开始时M点与B点重合,将三角板向右平行移动 直至M点与C点重合为止.设BM=xCcm,三角板与正方形重叠部分的面积为ycm2 下列结论 ①当0≤X≤3时,y与x之间的函数关系式为y=2 ②当3x≤2时,y与x之间的函数关系式为y ③当MN经过AB的中点时,y=y2cm2 ④存在x的值,使y=S垂方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积 其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号)
答：花园面积 S 的最大值为 195 m2 . 9．(淮安中考)用长为 32 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为 x 米，面积为 y 平方米． (1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 x 为何值时，围成的养鸡场面积为 60 平方米？ (3)能否围成面积为 70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理 由． 解：(1)y＝x(16－x)＝－x 2＋16x(0<x<16)． (2)当 y＝60 时，－x 2＋16x＝60， 解得 x1＝10，x2＝6. ∴当 x＝10 或 6 时，围成的养鸡场的面积为 60 平方米． (3)不能．理由： 当 y＝70 时，－x 2＋16x＝70，整理得 x 2－16x＋70＝0. ∵Δ＝256－280＝－24<0， ∴此方程无实数根． ∴不能围成面积为 70 平方米的养鸡场． 03 综合题 10．(朝阳中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，△PMN 是一块直角三角板(∠N＝30°)， PM＞2 cm，PM 与 BC 均在直线 l 上，开始时 M 点与 B 点重合，将三角板向右平行移动， 直至 M 点与 C 点重合为止．设 BM＝x cm，三角板与正方形重叠部分的面积为 y cm2 . 下列结论： ①当 0≤x≤ 2 3 3时，y 与 x 之间的函数关系式为 y＝ 3 2 x 2 ； ②当 2 3 3<x≤2 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y＝2x－ 2 3 3； ③当 MN 经过 AB 的中点时，y＝ 3 2 cm2 ； ④存在 x 的值，使 y＝ 1 2 S 正方形 ABCD(S 正方形 ABCD 表示正方形 ABCD 的面积)． 其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号)．
第2课时二次函数与商品利润 01基础题 知识点销售中的最大利润 1·一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y 关于x的函数关系式为(4) B.y=60(1-x2) D.y=60(+x)2 2·一件工艺品进价为100元’标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,该件 工艺品每降价1元出售·则每天可多售出4件要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱 数为(A) A·5元 B.10元 D.6元 3(沈阳中考)某种商品每件进价为20元调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30 且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为25元 4·(毕节中考)某工厂生产的某种产品按产量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品 天能生产95件产品,每件利润6元(第一档).每提高一个档次,每件利润增加2元,但 天产量减少5件 (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y 关于x的函数关系式 2若生产第ⅹ档次的产品一天的总利润为1120元,求该产品的质量档次 解:(1y=[6+2(x-1)×[95-5(x-1) 整理,得y=-10x2+180x+400 (2)由-10x2+180x+400=1120,化简,得 x2-18x+72=0 解得x1=6,x2=12(不合题意,舍去) 该产品为第6档次的产品 5·(玉林中考)某超市对进货价为10元/千克的某品种苹果的销售情况进行统计,发现每天销 售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系,如图. (1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围) (2)应怎样确定销售价’使该品种苹果的每天销售利润最大?最大利润是多少? d0元千 解:(1)设y=kx+b,由(20,20)(30,0)两点代入得 ∫20k+b=20 30k+b=0 解得
第 2 课时 二次函数与商品利润 01 基础题 知识点 销售中的最大利润 1．一台机器原价 60 万元，如果每年的折旧率为 x，两年后这台机器的价位为 y 万元，则 y 关于 x 的函数关系式为(A) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x 2 ) C．y＝60－x 2 D．y＝60(1＋x)2 2．一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件．根据销售统计，该件 工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱 数为(A) A．5 元 B．10 元 C．0 元 D．6 元 3．(沈阳中考)某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20≤x≤30， 且 x 为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为 25 元． 4．(毕节中考)某工厂生产的某种产品按产量分为 10 个档次，第 1 档次(最低档次)的产品一 天能生产 95 件产品，每件利润 6 元(第一档)．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一 天产量减少 5 件． (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； (2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1 120 元，求该产品的质量档次． 解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]， 整理，得 y＝－10x2＋180x＋400. (2)由－10x2＋180x＋400＝1 120，化简，得 x 2－18x＋72＝0. 解得 x1＝6，x2＝12(不合题意，舍去)． ∴该产品为第 6 档次的产品． 5．(玉林中考)某超市对进货价为 10 元/千克的某品种苹果的销售情况进行统计，发现每天销 售量 y(千克)与销售价 x(元/千克)存在一次函数关系，如图． (1)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围)； (2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)设 y＝kx＋b，由(20，20)，(30，0)两点代入得 20k＋b＝20， 30k＋b＝0. 解得 k＝－2， b＝60
y关于x的函数关系式是y=-2x+60 (2)设每天利润为w元 则w=(x-10y =(x-10(-2x+60) 2x2+80x-600 当ⅹ=20时,w取得最大值 ∵.当销售价为20元时,该品种苹果的每天销售利润最大,为200元 02中档题 6·喜迎圣诞,某商店销售一种进价为50元/件的商品,售价为60元/件,每星期可卖出200 件,若每件商品的售价每上涨1元,则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x 元(x为正整数),每星期销售该商品的利润为y元,则y与x的函数关系式为(4) A·y=-10x2+100x+200 B·y=10x2+100x+2000 C·y=-10x2+200x D·y=-10x2-100x+2000 7·出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,则当x=3元时,一天出售该 种文具盒的总利润最大 8·(红河期末)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 5元’市场调査发现’若每箱以50元的价格出售’平均每天销售90箱·价格每提高1元, 平均每天少销售3箱 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元箱)之间的函数关系式 (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式 (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 解:(1)由题意,得y=90-3(x-50), 即y=-3x+240. (2)由题意,得w=(x-40)y (x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600 w=-3x2+360x-9600 抛物线开口向下 当x=-=60时,w有最大值 又∵x<60,w随x的增大而增大 ∴当ⅹ=55元时,w的最大值为1125元 当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得1125元的最大利润 综合题 9·(茂名中考)某公司生产的某种产品每件成本为40元,经市场调查整理出如下信息 ①该产品90天内日销售量(m件)与时间第x天)满足一次函数关系,部分数据如下表: 时间(第x天) 日销售量(m件 l98194188180
∴y 关于 x 的函数关系式是 y＝－2x＋60. (2)设每天利润为 w 元， 则 w＝(x－10)y ＝(x－10)(－2x＋60) ＝－2x2＋80x－600 ＝－2(x－20)2＋200. ∴当 x＝20 时，w 取得最大值． ∴当销售价为 20 元时，该品种苹果的每天销售利润最大，为 200 元． 02 中档题 6．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为 50 元/件的商品，售价为 60 元/件，每星期可卖出 200 件，若每件商品的售价每上涨 1 元，则每星期就会少卖出 10 件．设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每星期销售该商品的利润为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为(A) A．y＝－10x2＋100x＋2 000 B．y＝10x2＋100x＋2 000 C．y＝－10x2＋200x D．y＝－10x2－100x＋2 000 7．出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出(6－x)个，则当 x＝3 元时，一天出售该 种文具盒的总利润最大． 8．(红河期末)某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格出售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元， 平均每天少销售 3 箱． (1)求平均每天销售量 y(箱)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)由题意，得 y＝90－3(x－50)， 即 y＝－3x＋240. (2)由题意，得 w＝(x－40)y ＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600. (3)w＝－3x2＋360x－9 600. ∵a＝－3＜0， ∴抛物线开口向下． 当 x＝－ b 2a＝60 时，w 有最大值． 又∵x＜60，w 随 x 的增大而增大． ∴当 x＝55 元时，w 的最大值为 1 125 元． ∴当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得 1 125 元的最大利润． 03 综合题 9．(茂名中考)某公司生产的某种产品每件成本为 40 元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品 90 天内日销售量(m 件)与时间(第 x 天)满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间(第 x 天) 1 3 6 10 … 日销售量(m 件) 198 194 188 180 …