、二元运算的性质(续) 5、吸收徫:设。和*是S上的两个可交换的二元运算, 若对vx,y∈S,都有x*(xoy)=x和 xo(x*y)=x,则称运算*和o满足吸收律。 如:幂集P(S)上的∪和∩运算满足吸收律。 6、消去律:设。是S上的二元运算,若对vx,y,z∈S 满足:(1)若xoy=xo且不是零元,则y=z (2)着y。x=zox且x不是零元,则y=z 则 称运算满足消去律。 2021/2/24 离散数学 11
2021/2/24 离散数学 11 6、消去律：设 是S上的二元运算，若对 x, y, z S， 满足：(1) 若x y = x z且x不是零元，则y = z。 (2) 若y x = z x且x不是零元，则y = z。 则称运算 满足消去律。 5、吸收律：设 和 是S上的两个可交换的二元运算， 若对 x, yS，都有x (x y) = x 和 x (x y) = x ，则称运算 和 满足吸收律。 二、二元运算的性质（续） 如：幂集P(S)上的∪和∩运算满足吸收律
三、集合的特殊元 1、左幺元(有幺元):设。是S上的二元运算, 着存在元素q(或en)∈S,使得对x∈都有 e1ox=x(或xoer=x),则称e1(或e)是S中 关于运算的一个左幺元(或右幺元) 若e∈关于运算。既是左幺元又是右幺元, 则称e为S上关于运算。的幺元。 如:自然数集上的加法运算的幺元是0,乘法运算的 幺元是1,幂集PS)上的∪运算和⊕运算的幺元 是,∩运算的幺元是S 2021/2/24 离散数学 12
2021/2/24 离散数学 12 三、集合S的特殊元 1、左幺元（右幺元）：设 是S上的二元运算， 若存在元素el (或er )S，使得对 xS都有 el x = x (或x er = x)，则称el (或er )是S中 关于运算 的一个左幺元（或右幺元）。 如：自然数集上的加法运算的幺元是0，乘法运算的 幺元是1，幂集P(S)上的∪运算和 运算的幺元 是，∩运算的幺元是S。 若eS关于运算 既是左幺元又是右幺元， 则称e为S上关于运算 的幺元
三、集合S的特殊元(续) 设e,C分别是S上关于二元运算的左幺元 定理和右幺元,则有=C=e,且是S上关于 二元运算。的唯一幺元。 证明:由e是左幺元有:e1oen=en, 由e是右幺元有:e°er=1, 于是有:en=e,记er=e1=e 又设S上有幺元e',则有:e'=eoe=e, 于是e是S上关于二元运算。的唯一幺元。 2021/2/24 离散数学 13
2021/2/24 离散数学 13 三、集合S的特殊元（续） 设el ,er 分别是S上关于二元运算的左幺元 和右幺元，则有el = er = e，且e是S上关于 二元运算 的唯一幺元。 定理1 证明：由el 是左幺元有：el er = er ， 由er 是右幺元有：el er = el ， 于是有： er = el ，记er = el = e 又设S上有幺元e'，则有： e' = e' e = e， 于是e是S上关于二元运算 的唯一幺元
三、集合S的特殊元(续) 2、左琴元(右彎元):设。是S上的二元运算, 若存在元素(或O)∈S,使得对vx∈S都有 G1°x=G1(或xo=),则称G或G)是S 中关于运算的一个左零元(或右零元)。 若∈关于运算既是左零元又是右零元, 则称6为S上关于运算的零元。 如:自然数集上的加法运算无零元,乘法运算的零元 是0,幂集P(S)上的U运算的零元是S,∩运算的 零元是必。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 14 如：自然数集上的加法运算无零元，乘法运算的零元 是0，幂集P(S)上的∪运算的零元是S，∩运算的 零元是。 三、集合S的特殊元（续） 2、左零元（右零元）：设 是S上的二元运算， 若存在元素l (或r )S，使得对 xS都有 l x = l (或x r = r )，则称l (或r )是S 中关于运算 的一个左零元（或右零元）。 若 S关于运算 既是左零元又是右零元， 则称 为S上关于运算 的零元