922极值定理 定理924(极值定理)设 Hermite矩阵的n个特 征值为4≥22…,其相应的标准酉交 特征向量为1,12…,Ln用C表示酉空间 C中任意的k维子空间,那么 n =max min R() kX∈C 且x≠0 或2= max min r(x) n-k+1 x∈ Cn-b1且x≠0 k +1
9.2.2 极值定理 定理9.2.4(极值定理) 设Hermite矩阵的n个特 征值为 ，其相应的标准酉交 特征向量为 . 用Ck表示酉空间 Cn中任意的k维子空间，那么 1 2 ... n 1 2 , ,..., n u u u 1 1 0 0 max min ( ) max min ( ) k k n k n k k C x C x k C x C x R x R x − + − + = = 且 且 或
923 Hermite矩阵特征值问题的性态 矩阵特征值问题与求解线性方程组问题 样,都存在当矩阵A的原始数据有小变化(小扰 动肘时,引起特征值问题的变化有大有小的问题 如果引起的变化小,称该特征值问题是良态的 反之,称为病态的. 矩阵特征值问题的性态是很复杂的,通常 分别就单个特征值或整体特征值给出状态数进 行分析.对于 Hermite矩阵,由于其特征值问题 的特殊性质,其特征值都是良态的下面先证明 Hermite矩阵特征值的扰动定理
9.2.3 Hermite矩阵特征值问题的性态 矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一 样，都存在当矩阵A的原始 数据有小变化(小扰 动)时，引起特征值问题的变化有大有小的问题， 如果引起的变化小，称 该特征值问题是良态的. 反之，称为病态的. 矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常 分别就单个特征值或整体特征值给出状态数进 行分 析. 对于Hermite矩阵，由于其特征值问题 的特殊性质，其特征值都是良态的.下面先证明 Hermite矩阵特征值的扰动定理
定理925设矩阵A,E,A+E都是n阶 Hermite 矩阵,其特征值分别为≥2≥…2≥ E1≥622…2E A212…≥那么,41+En≤≤41+ 证设矩阵A关于特征值入1,λ2,…,n的标准 酉交特征向量为u,u2,…,un 是由u,u1,…,u生成的n计+1维子空间 对C n-1+ 中任意非零向量ⅹ,由极值定理,有 x"(a+e)x u< max X∈Cn=+1且x≠0 H H X Ax Ex maX max x∈Cn+1且x≠0xxx∈Cn=A1且x≠0x2x
定理9.2.5 设矩阵A，E，A+E都是n阶Hermite 矩阵，其特征值分别为 那么, 证 设矩阵A关于特征值λ1，λ2，…，λn 的标准 酉交特征向量为u1，u2，…，un， 是由ui，ui+1，…，un生成的n-i+1维子空间. 对 中任意非零向量x,由极值定理,有 1 2 n 1 2 n 1 2 n i n i i + + 1 Cn i − +1 Cn i − +1 1 1 1 0 0 0 ( ) max max max n i n i n i H i H x C x H H H H x C x x C x x A E x x x x Ax x Ex x x x x − + − + − + + = + 且 且 且
H X Ax 由定理923,xeCm月x0x max 又由定理922,对任意x均0,有 H xX Ex maX x∈Cn+1且x≠0x H 从而有≤1+61 另一方面,A=(A+EE.记8≥62…≥矩阵 E的特征值,那么,=-En1 重复上面的过程,可得4≤+ 从而有≥1+En
由定理9.2.3， 又由定理9.2.2，对任意x≠0，有 从而有 另一方面, A=(A+E)-E. 记 为矩阵- E的特征值，那么， 重复上面的过程,可得 从而有 1 0 max n i H H i x C x x Ax x x − + = 且 1 1 0 max n i H H n x C x x Ex x x − + 且 i i + 1 1 2 n i n i 1 = − − + i i + 1 i i n +
定理92.5通常又称为 Hermite矩阵特征值 的扰动定理 定理926设矩阵A和A=A+E都是n阶 Hermite矩 阵,其特征值分别为41≥422…≥ 和2≥22…≥m”那么4-E2≤凸2≤4+|E2 这个定理表明,扰动矩阵E使A的特征值的变化 不会超过l2,一般2小,因此, Hermite 矩阵特征值是良态的
定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值 的扰动定理 定理9.2.6 设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩 阵，其特征值分别为 和 ，那么 这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化 不会超过 ‖E‖2 . 一般‖E‖2 Hermite 矩阵特征值是良态的. 1 2 n 1 2 n i i − + E E 2 2 2