武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第九章 矩阵特征值问题的数值方法

9.3 Jacobi方法 理论上,实对称矩阵A正交相似于以A的特征 值为对角元的对角阵问题是如何构造这 样的正交矩阵呢? Jacobi方法就是通过构造 特殊的正交矩阵序列,通过相似变换使A 的非对角线元素逐次零化来实现对角化的 9.3.1平面旋转矩阵与相似约化 先看一个简单的例子

9.3 Jacobi方法 理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征 值为对角元 的 对角阵. 问题是如何构造这 样的正交矩阵呢? Jacobi方法就是通过构造 特殊的正交矩阵 序列，通过相似变换使A 的非对角线元素逐次零化来实现对角化的. 9.3.1 平面旋转矩阵与相似约化 先看一个简单的例子

设4=a1a是二阶实对称矩阵,即a2=a1, 其特征值为入1,λ2.令R cos 0-sin 6 sin e cos e 使得RAR= 记 B=R AR= 12 容易验证BT=B,且 b, =a cos 6+2a sin e cos0+a sin 0 b,2=b1=(a22-ausin e cos 8+a,(cos0-sin e b =a sin 6-2 e h2 sin 6 cos 6+ao cos 0

设 是二阶实对称矩阵，即a21=a12， 其特征值为λ1，λ2 . 令 使得 记 容易验证BT=B, 且 11 12 21 22 a a A a a   =     cos sin sin cos R       − =     1 1 T R AR     =     11 12 21 22 T b b B R AR b b   = =     2 2 11 11 12 22 2 2 12 21 22 11 12 2 2 22 11 12 22 cos 2 sin cos sin ( )sin cos (cos sin ) sin 2 sin cos cos b a a a b b a a a b a a a             = + + = = − + − = − +