9.2 Hermite矩阵特征值问题 设A为n阶矩阵,其共轭转置矩阵记为AH.如 果A=AH,那么,A称为 Hermite矩阵
9.2 Hermite矩阵特征值问题 • 设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH. 如 果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵
921 Hermite矩阵的有关性质 设入,气2,…,元,是 Hermite矩阵A的n个特征 值.有以下性质 1,元2,…,2全是实数 1,元2,…,有相应的n个线性无关的特征 向量,它们可以化为一组标准酉交的特征 向量组4,12,…,n,即l,=o ,n是酉空间中的一组标准酉交基
9.2.1 Hermite矩阵的有关性质 设 是Hermite矩阵A的n个特征 值. 有以下性质: • 全是实数. 1 2 , ,..., n 1 2 , ,..., n • 有相应的n个线性无关的特征 向量，它们可以化为一组标准酉交的特征 向量组 ,即 1 2 , ,..., n 1 2 , ,..., n u u u H i j u u ij = • 1 2 是酉空间中的一组标准酉交基. , ,..., n u u u
记U=(1,l2,…,n)它是一个西阵,即 UHU=UUHI,那么 UnAU= D 即A与以入1,22,…,为对角元的对角阵相似 A为正定矩阵的充分必要条件是1,2…,n 全为正数
• 记U=( ),它是一个酉阵，即 UHU=UUH=I，那么 即A与以 为对角元的对角阵相似. 1 2 , ,..., n u u u 1 H n U AU D = = 1 2 , ,..., n • A为正定矩阵的充分必要条件是 全为正数. 1 2 , ,..., n
定理921设A,22,…, Hermite矩阵A的n 个特征值,那么 maX 1<i<n 证:由4=p(A4)=(4)=(p(A)2 因此‖412 maX 1<i<n 又由4e=br(4=m()=∑2 得‖4=∑码
定理9.2.1 设 是Hermite矩阵A的n 个特征值，那么 证: 1 2 , ,..., n 2 1 max i i n A = 2 1 n F i i A = = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) H 由 A A A A A = = = 2 1 max i i n A 因此 = 2 2 2 1 ( ) ( ) n H F i i A tr A A tr A = 又由 = = = 2 1 n F i i A = 得 =
设x是一个非零向量,A是 hermite矩阵, 称xAx为矩阵A关于向量x的 Rayleigh商, 记为R(x) 定理922如果A的n个特征值为≥22…≥ 其相应的标准西交的特征向量为1,12…,n 那么有41≥R(x)≥ 定理92.3设A是 Hermite矩阵,那 =minR(x)或2=minR(x) x∈Ck且x≠0 X∈Cnk+1且x≠0
设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵， 称 为矩阵A关于向量x的Rayleigh商， 记为R(x). H H x Ax x x 定理9.2.2 如果A的n个特征值为 其相应的标准酉交的特征向量为 那么有 1 2 ... n 1 2 , ,..., n u u u 1 ( ) R x n 定理9.2.3 设A是Hermite矩阵 ，那么 1 0 0 min ( ) min ( ) k n k k k x C x x C x R x R x − + = = 且 且 或