第9章矩阵特征值问题的数值方法 1.设A∈R且有线性初等因子,其特征值为2n证明:存在A的左特征向量 yy2y和右特征向量xx2xn,满足A=xy 2.设A∈R且有线性初等因子,其特征值为2,,相应的左特征向量为yy2y ,右特征向量为xx2xn,并有y,x,=0(i≠),y,x,≠0.证明:矩阵 I-1x,' xy的特征值000+n,左、右特征向 分别为yy2yn和xx2…Xn 3设A∈R,x∈R若L=(x,Ax,Ax)∈R是非奇异矩阵,证明:存在向量 c=(cc2cn)=r,使 0000cl 1000c2 100c3 LAL-..:: 0 Ca-Ln ) 并说明A的特征多项式为f()=-cm--cn-cm 4设A∈R,其特征值和相应的特征向量分别为2n和xpx2xn又设v∈ ,且vx1=1.证明:矩阵(-xv)A有特征值023,和相应的特征向量 xx,-(vix)x,(i=2,3,n) 5设A∈R,又设是A的一个近似特征值,x是关于u的近似特征向量且=1.记 r=ax-ux.证明:存在矩阵E,满足E=且(+E)x=x
第 9 章 矩阵特征值问题的数值方法 1.设 A∈ n n R × 且有线性初等因子，其特征值为 1 2 , ,, λ λ λ " n .证明：存在 A 的左特征向量 1 2 , ,, n yy y " 和右特征向量 1 2 , ,, x x x " n ，满足 A= 1 n T i i i i λ x y = ∑ 。 2.设 A∈ n n R × 且有线性初等因子，其特征值为 1 2 , ,, λ λ λ " n ，相应的左特征向量为 1 2 , ,, n yy y " ，右特征向量为 1 2 , ,, x x x " n ，并有 0 T j i y x = ( ) i j ≠ ， 0 T i i y x ≠ . 证明：矩阵 1 1 1 1 1 1 T T T T k k k k I IA x x y y y y x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 的特征值为 1 0,0, ,0, , , " " λ k n + λ ，左、右特征向 量分别为 1 2 , ,, n yy y " 和 1 2 , ,, x x x " n 。 3.设 A∈ n n R × ， x∈ n R . 若 1 (, , , ) n L x Ax A x− = " n ∈ R 是非奇异矩阵，证明：存在向量 1 2 (, , , )T n c= cc c " n ∈ R ，使 1 2 1 3 1, 00 0 0 10 0 0 10 0 1 0 1 n n n n n nn c c c L AL c c − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " %% # # 并说明 A 的特征多项式为 1 ( ) 2 1 n n nn n n f λ λλ λ c cc − = − −− − " 。 4.设 A∈ n n R × ，其特征值和相应的特征向量分别为 1 2 , ,, λ λ λ " n 和 1 2 , ,, x x x " n . 又设v1∈ n R ，且 1 1 1 T v x = . 证明：矩阵 1 1 ( ) T I A − x v 有特征值 2 3 0 , , ,, λ λ λ " n 和相应的特征向量 1 11 ,( ) T x x vxx i i − ( 2,3, , ) i n = " 。 5.设 A∈ n n R × ，又设 µ 是 A 的一个近似特征值，x 是关于 µ 的近似特征向量且 2 x = 1 . 记 r Ax x = − µ . 证明：存在矩阵 E，满足 F 2 E = r 且( ) A Ex x + = µ
6a4是一个比m知证明在区小pl 中存在B的一个特 征值 7设A∈R"是一个Hem矩阵,Q∈R有标准正交列,这时,称B=QAQ是A的 r-部分( r-section.证明:如果A的特征值为≤2≤…≤几nB的特征值为41s2s…≤p 那么,A,5,i=12,…,F.且H11≤Anm,i=2…,F 8设A,B都是n阶mte矩阵,且A是满足fB1的正定矩阵证明:A书是正 定矩阵。 9.设A1≥A2…≥,是 Hermite矩阵A的n个特征值,其相应的标准正交特征向量为 2…,用C,表示任意k维子空间.证明:x= min max x ax. x∈C-x≠0xx 10.设 Jacobi算法中第k次旋转平面为(p,q)平面.证明 1l1求 Householder矩阵I-2wn(ww=1的特征值和特征向量 12.设 y a2 B y, a B 是一个三对角矩阵,且a,B:y,为实数,By>0.证明:存在满秩对角矩阵D,使 DCD为对称三对角矩阵。(这里C称为 Jacobi矩阵,它的特征值全为实数 13.设C是次对角元B,(i=2,3,…,n)全不为零的实对称三对角矩阵,是C的一个特征 值,x=(x;x2…;xn)是其相应的特征向量证明
6.设 T B a A α α ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 是一个 Hermite 矩阵. 证明：在区间{ }2 λ λ : a − ≤ α 中存在 B 的一个特 征值。 7.设 A∈ n n R × 是一个 Hermite 矩阵， n r Q R × ∈ 有标准正交列，这时，称 T B=Q AQ 是 A 的 r –部分（r-section）. 证明：如果A的特征值为λ1 2 λ λn ≤ ≤≤ " ，B的特征值为 µ 1 2 µ µ r ≤ ≤≤ " ，那么， i λ µ i ≤ ，i r =1,2, , " . 且 µ r i − +1 λ n i − +1 ≤ ，i r =1,2, , " 。 8.设 A，B 都是 n 阶 Hermite 矩阵，且 A 是满足 2 2 1 A B 1 − < 的正定矩阵. 证明：A+B 是正 定矩阵。 9.设λ1 2 λ λ n ≥ ≥≥ " 是 Hermite 矩阵 A 的 n 个特征值，其相应的标准正交特征向量为 1 2 , ,, uu u " n . 用Ck 表示任意 k 维子空间. 证明： 1 1 , 0 min max n k n k H k H C xC x x Ax x x λ − + = + == ∈ ≠ . 10.设 Jacobi 算法中第 k 次旋转平面为（p,q）平面. 证明 ( ) ( 1) ( 1) kk k aa a pp pp pq − − − ≤ ， ( ) ( 1) ( 1) kk k aa a qq qq pq − − − ≤ 11.求 Householder 矩阵 2 T I − ww ( 1) T w w = 的特征值和特征向量。 12.设 1 1 1 2 2 2 3 1 1 n n n C α β γ β α γ α β γ α − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ % % % 是一个三对角矩阵，且 , , i β i i α γ 为实数， 0 β i i γ > . 证明：存在满秩对角矩阵 D，使 1 D CD − 为对称三对角矩阵。（这里 C 称为 Jacobi 矩阵，它的特征值全为实数） 13.设 C 是次对角元 β i （i n = 2,3, , " ）全不为零的实对称三对角矩阵，λ 是 C 的一个特征 值， ( ) 1 2 ,,, T x x x xn = " 是其相应的特征向量. 证明：
x=(-1)P2(2 ,i=2,3,…,n BB:…B 其中p()表示矩阵C-1的第i阶主子式,p(4)=1 14.设A是一个上 Hessenberg矩阵,A=QAQ是经过一个QR选代步得到的矩阵 证明:A也是上 Hessenberg矩阵
1 1 12 1 ( ) ( 1)i i i i p x λ β β β − − − = − " ， i n = 2,3, , " 其中 1 ( ) pi− λ 表示矩阵C I − λ 的第 i 阶主子式， 0 p ( ) λ =1。 14.设 A 是一个上 Hessenberg 矩阵， ~ T A=Q AQ 是经过一个QR 迭代步得到的矩阵. 证明： ~ A 也是上 Hessenberg 矩阵