第十章拉普拉斯变换 上海交通大本科学课程 2003年9月
第十章 拉普拉斯变换 上海交通大学本科学位课程 2003年9月
拉氏变换是研究线性完常网络的非常重要和 有效的工具。它将时域中的微分、积分问题 变换成复频域中的代数运算,因此,在五十 年代、六十年代,人们难以区分电路理论和 拉氏变换间的差别,可见拉氏变换在电路理 论中的重要性。但是,拉氏变换对时变和非 线性网络却是无能为力的,而状态方程正好 能借助于计算机来较好地解决这一类问题, 这也是状态方程被重视的原因。现在拉氏变 换虽不象当初所处地位,但在线性定常网络 中,对它的作用是不能低估的
拉氏变换是研究线性定常网络的非常重要和 有效的工具。它将时域中的微分、积分问题， 变换成复频域中的代数运算，因此，在五十 年代、六十年代，人们难以区分电路理论和 拉氏变换间的差别，可见拉氏变换在电路理 论中的重要性。但是，拉氏变换对时变和非 线性网络却是无能为力的，而状态方程正好 能借助于计算机来较好地解决这一类问题， 这也是状态方程被重视的原因。现在拉氏变 换虽不象当初所处地位，但在线性定常网络 中，对它的作用是不能低估的
拉氏变换的定义和性质 ●定义有时城函数(则F(2f()"t 也可表示成F(s)=Cf(t 拉氏反变换f(t)=C1[F(s)] 其中s=σ+jo是复数,f(称原函数F()称象函数。 ①积分下限为何为0 f(t) f(t)=6(t)+u(t 取积分下限为0-,使积 分中包含了冲击函数
拉氏变换的定义和性质 定义 有时域函数f(t) 则 0 ( ) ( ) st F s f t e dt − − 也可表示成F(s)= ℒ[f(t)] 拉氏反变换f(t)= ℒ -1 [F(s)] 其中s=+j 是复数， f(t)称原函数 F(s)称象函数。 ①积分下限为何为0- f(t)=(t)+u(t) 取积分下限为0- ，使积 分中包含了冲击函数。 t f t( ) 1 0
②存在性问题 数学上拉氏变换的存在是有条件的满足绝对可 积)。函数O=e随时间增长的速度比e 随时间衰减得快当t→∞,被积函数的积分式 「ee"h→o,所以函数f()=e没有拉氏变换 但在工程上,即在电路问题中,由于激励总有 起始时间,响应总对应某一时刻,所以有办法 用拉氏变换求上述函数的响应 设 ()=e01x4!t可任意大,但总对应 t1+ 具体时间位置
②存在性问题 数学上拉氏变换的存在是有条件的(满足绝对可 积)。函数 随时间增长的速度比 2 ( ) t f t e = st e − 随时间衰减得快,当t→，被积函数的积分式 2 0 t st e e dt − − → ，所以函数 2 ( ) t f t e = 没有拉氏变换 但在工程上，即在电路问题中，由于激励总有 起始时间，响应总对应某一时刻，所以有办法 用拉氏变换求上述函数的响应。 设 2 1 1 1 0 1 ( ) 0 1 t e t t f t t t + = + ? t1可任意大，但总对应 一具体时间位置
设 f(D)= 0?t<t1+1 t可任意大,但总对应 t>t,+1 具体时间位置。 如果在tt1+1 f() N 那么在tt1+1 y2(t) N 则y2(t)=y1( 这说明,只要t<t+1,则任意网络对f的响应 和对f()=e的响应是相同的。 所以拉氏变换在电路中总是存在的,变换就具 有普遍性
设 2 1 1 1 0 1 ( ) 0 1 t e t t f t t t + = + ? t1可任意大，但总对应 一具体时间位置。 如果在t<t1+1 那么在t<t1+1 则 y2 (t)=y1 (t) 这说明，只要t<t1+1，则任意网络对f1 (t)的响应 和对 2 ( ) t f t e = 的响应是相同的。 所以拉氏变换在电路中总是存在的，变换就具 有普遍性。 1 f t( ) 1 y t( ) N 2 t e 2 y t( ) N 2 t e 1 0 t l +1 t