§5线性子空间 、线性子空间的概念 定义7数域P上的线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空 间(或简称子空间),如果W对于Ⅰ的两种运算也构成数域P上的线性空间 定理2如果线性空间V的一个非空集合W对于V两种运算是封闭的,也就 是满足上面的条件1,2,那么W就是一个子空间 既然线性子空间本身也是一个线性空间,上面引入的概念,如维数、基、坐 标等,当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子 空间中有更多数目线性无关的向量.所以,任何一个线性子空间的维数不能超过 整个空间的维数 例1在线性空间中,由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间, 它叫做零子空间 例2线性空间本身也是V的一个子空间 在线性空间中,零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V的平凡子空 间,而其它的线性子空间叫做非平凡子空间 例3在全体实函数组成的空间中,所有的实系数多项式组成一个子空间 例4P[x]n是线性空间P[x的子空间 例5在线性空间P中,齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+anxn=0 a21x1+a2x2+…+a2nxn=0 a1x1+a2x2+…+amxn=0 的全部解向量组成一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解 空间的基就是方程组的基础解系,它的维数等于n-r,其中r为系数矩阵的秩 生成子空间 设a,a2…a1是线性空间V中一组向量,这组向量所有可能的线性组合 ka1+k2a2+…+k,a 所成的集合是非空的,而且对两种运算封闭,因而是V的一个子空间,这个子空
§5 线性子空间 一、线性子空间的概念 定义 7 数域 P 上的线性空间 V 的一个非空子集合 W 称为 V 的一个线性子空 间（或简称子空间），如果 W 对于 V 的两种运算也构成数域 P 上的线性空间. 定理 2 如果线性空间 V 的一个非空集合 W 对于 V 两种运算是封闭的，也就 是满足上面的条件 1，2，那么 W 就是一个子空间. 既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐 标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子 空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过 整个空间的维数. 例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间， 它叫做零子空间. 例 2 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间. 在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做 V 的平凡子空 间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间. 例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例 4 n P[x] 是线性空间 P[x] 的子空间. 例 5 在线性空间 n P 中，齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0, 0 , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解 空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于 n − r ，其中 r 为系数矩阵的秩. 二、生成子空间 设 r , , , 1 2 是线性空间 V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合 r r k11 + k22 ++ k 所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是 V 的一个子空间，这个子空
间叫做由a1,a2…a生成的子空间,记为 L(ax1,ax2,…,a) 由子空间的定义可知,如果V的一个子空间包含向量a1,a2…;a,那么就一定 包含它们所有的线性组合,也就是说,一定包含L(a1,a2…;a,)作为子空间 在有限维线性空间中,任何一个子空间都可以这样得到事实上,设W是V 的一个子空间,W当然也是有限维的设a1,a2…;a是W的一组基,就有 W=L(a,a2 定理31)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2) L(ax1,a2…ar)的维数等于向量组a1,a2…,a,的秩 定理4设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间,a1a2,…∝n是 W的一组基,那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说,在V中必定可 以找到n-m个向量αm1,am+2,…an使得a1,a2…,an是V的一组基 结论数域P上线性空间V的一个非空子集W是V的一个子空间 台Vab∈F,a,B∈W,都有a+bB∈W
间叫做由 r , , , 1 2 生成的子空间，记为 ( , , , ) L 1 2 r . 由子空间的定义可知，如果 V 的一个子空间包含向量 r , , , 1 2 ，那么就一定 包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含 ( , , , ) L 1 2 r 作为子空间. 在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设 W 是 V 的一个子空间， W 当然也是有限维的.设 r , , , 1 2 是 W 的一组基，就有 ( , , , ) W = L 1 2 r . 定理 3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2） ( , , , ) L 1 2 r 的维数等于向量组 r , , , 1 2 的秩. 定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间， m , , , 1 2 是 W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在 V 中必定可 以找到 n −m 个向量 m m n , , , +1 +2 使得 n , , , 1 2 是 V 的一组基. 结 论 数 域 P 上 线 性 空 间 V 的 一 个 非 空 子 集 W 是 V 的 一 个 子 空 间 a,bF,, W,都有a + b W