《工程科学学报》：基于鲁棒H∞滤波的锂离子电池SOC估计（吉林大学）

工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于鲁棒H滤波的锂离子电池S0C估计 潘凤文弓栋梁高莹寇亚林 Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H filter PAN Feng-wen,GONG Dong-liang.GAO ying.KOU Ya-lin 引用本文： 潘凤文，弓栋梁，高莹，寇亚林.基于鲁棒H,滤波的锂离子电池s0C估计.工程科学学报，2021,43(5)：693-701.doi: 10.13374.issn2095-9389.2020.09.21.002 PAN Feng-wen,GONG Dong-liang,GAO ying.KOU Ya-lin.Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H filter[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(5):693-701.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002 在线阅读View online:htps:/ldoi.org/10.13374j.issn2095-9389.2020.09.21.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于融合模型的锂离子电池荷电状态在线估计 Online estimation of the state of charge of a lithium-ion battery based on the fusion model 工程科学学报.2020,42(9)：1200 https:/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.09.20.001 无烟煤制备高性能锂离子电池负极材料的研究 High-performance anode materials based on anthracite for lithium-ion battery applications 工程科学学报.2020,42(7：884htps:/1doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.07.11.005 锂离子电池安全性研究进展 Research progress on safety of lithium-ion batteries 工程科学学报.2018,40(8：901htps:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.08.002 3D打印锂离子电池正极的制备及性能 Preparation and performance of 3D-printed positive electrode for lithium-ion battery 工程科学学报.2020,42(3)：358 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.10.09.006 微热管阵列应用于锂电池模块的散热实验 Experiment on heat dispersion of lithium-ion battery based on micro heat pipe array 工程科学学报.2018.40(1)：120 https:1doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.01.015 等效循环电池组剩余使用寿命预测 Investigation of RUL prediction of lithium-ion battery equivalent cycle battery pack 工程科学学报.2020.42(6)：796 https:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.07.03.003

基于鲁棒H∞滤波的锂离子电池SOC估计 潘凤文 弓栋梁 高莹 寇亚林 Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H∞ filter PAN Feng-wen, GONG Dong-liang, GAO ying, KOU Ya-lin 引用本文: 潘凤文, 弓栋梁, 高莹, 寇亚林. 基于鲁棒H∞滤波的锂离子电池SOC估计[J]. 工程科学学报, 2021, 43(5): 693-701. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002 PAN Feng-wen, GONG Dong-liang, GAO ying, KOU Ya-lin. Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H∞ filter[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(5): 693-701. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 基于融合模型的锂离子电池荷电状态在线估计 Online estimation of the state of charge of a lithium-ion battery based on the fusion model 工程科学学报. 2020, 42(9): 1200 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.20.001 无烟煤制备高性能锂离子电池负极材料的研究 High-performance anode materials based on anthracite for lithium-ion battery applications 工程科学学报. 2020, 42(7): 884 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.11.005 锂离子电池安全性研究进展 Research progress on safety of lithium-ion batteries 工程科学学报. 2018, 40(8): 901 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.002 3D打印锂离子电池正极的制备及性能 Preparation and performance of 3D-printed positive electrode for lithium-ion battery 工程科学学报. 2020, 42(3): 358 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.09.006 微热管阵列应用于锂电池模块的散热实验 Experiment on heat dispersion of lithium-ion battery based on micro heat pipe array 工程科学学报. 2018, 40(1): 120 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.01.015 等效循环电池组剩余使用寿命预测 Investigation of RUL prediction of lithium-ion battery equivalent cycle battery pack 工程科学学报. 2020, 42(6): 796 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.03.003

工程科学学报.第43卷，第5期：693-701.2021年5月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.5:693-701,May 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002;http://cje.ustb.edu.cn 基于鲁棒H滤波的锂离子电池SOC估计 潘凤文2)，弓栋梁12，高莹12四，寇亚林2) 1)吉林大学汽车仿其与控制国家重点实验室，长春1300252)吉林大学汽车工程学院.长春130025 ☒通信作者，E-mail:gaoying@jlu.edu.cn 摘要荷电状态(State of charge.,SOC)估计是电池管理系统的核心功能之一，它在电动汽车的生命周期中起着重要作用.针 对锂离子电池温度影响模型参数，进而导致SOC估计不准确的问题，本文提出了基于鲁棒H滤波的SOC估计方法.首先， 以二阶Thevenin等效电路模型做为锂离子电池基础模型，并将温度对电池模型参数的影响建模为标称电阻值和电池总容量 的加性变量，视温度变化为系统的外部扰动.其次，采用滑动线性法对电池模型进行线性化.并在此基础上运用线性矩阵不 等式技术设计了对SOC进行估计的鲁棒H滤波器.最后，分别采用四种不同类型的动态电流激励进行仿真实验验证，并将 SOC的估计结果与kalman滤波对SOC的估计结果进行对比.结果表明所设计的鲁棒Hm滤波器能够实现对SOC更为准确的 跟踪，同时对外部扰动具有较好的鲁棒性 关键词锂离子电池：SOC估计：模型参数摄动：模型线性化：H滤波器 分类号TM911.3 Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H filter PAN Feng-wen2.GONG Dong-liang2),GAO ying2,KOU Ya-lin2) 1)State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control,Jilin University,Changchun 130025,China 2)College of Automotive Engineering,Jilin University,Changchun 130025,China Corresponding author,E-mail:gaoying@jlu.edu.cn ABSTRACT The state of charge (SOC)estimation is one of the core functions of the battery management system;it can play a significant role in the life cycle of electric vehicles.The SOC estimation method has attracted considerable research attention in recent years,particularly about improving estimation accuracy.However,most studies are limited by only focusing on known or fixed battery model parameters and not considering their temperature dependence.This indicates a need to explore how the lithium-ion battery temperature affects the model parameters,which leads to inaccurate SOC estimation.The principal objective of this study is to investigate the robust filter-based method for the problem that temperature affects battery model parameters and thus leads to inaccurate SOC estimation.First,the second-order Thevenin equivalent circuit model with two parallel resistor-capacitor pairs is taken as the basic model of the lithium-ion battery.The influence of temperature on battery model parameters is modeled as an additive variable of the nominal resistance value and the total battery capacity,and the temperature change is considered an external disturbance of the system.Afterward,the sliding linear method is used to linearize this battery model;on this basis,a robust H filter for SOC estimation is designed using linear matrix inequality technology.Finally,the effectiveness of the proposed approach is verified using four different types of dynamic current load profiles(the BJDST-Beijing Dynamic Stress Test,FUDS-Federal Urban Driving Schedule, US06-US06 Highway Driving Schedule and BJDST-FUDS-US06 joint dynamic test)compared with the Kalman filter-based SOC estimation method.The simulation analysis results indicate that the proposed SOC estimation approach can realize a higher SOC estimation accuracy even if the model parameters vary with temperature,and it has good robustness to external disturbances. 收稿日期：2020-09-21 基金项目：国家重点研发计划资助项目(2016YFB0100300)

基于鲁棒 H∞滤波的锂离子电池 SOC 估计 潘凤文1,2)，弓栋梁1,2)，高    莹1,2) 苣，寇亚林1,2) 1) 吉林大学汽车仿真与控制国家重点实验室，长春 130025    2) 吉林大学汽车工程学院，长春 130025 苣通信作者，E-mail：gaoying@jlu.edu.cn 摘    要    荷电状态（State of charge, SOC）估计是电池管理系统的核心功能之一，它在电动汽车的生命周期中起着重要作用. 针 对锂离子电池温度影响模型参数，进而导致 SOC 估计不准确的问题，本文提出了基于鲁棒 H∞滤波的 SOC 估计方法. 首先， 以二阶 Thevenin 等效电路模型做为锂离子电池基础模型，并将温度对电池模型参数的影响建模为标称电阻值和电池总容量 的加性变量，视温度变化为系统的外部扰动. 其次，采用滑动线性法对电池模型进行线性化，并在此基础上运用线性矩阵不 等式技术设计了对 SOC 进行估计的鲁棒 H∞滤波器. 最后，分别采用四种不同类型的动态电流激励进行仿真实验验证，并将 SOC 的估计结果与 kalman 滤波对 SOC 的估计结果进行对比. 结果表明所设计的鲁棒 H∞滤波器能够实现对 SOC 更为准确的 跟踪，同时对外部扰动具有较好的鲁棒性. 关键词    锂离子电池；SOC 估计；模型参数摄动；模型线性化；H∞滤波器 分类号    TM911.3 Lithium-ion battery state of charge estimation based on a robust H∞ filter PAN Feng-wen1,2) ，GONG Dong-liang1,2) ，GAO ying1,2) 苣 ，KOU Ya-lin1,2) 1) State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control, Jilin University, Changchun 130025, China 2) College of Automotive Engineering, Jilin University, Changchun 130025, China 苣 Corresponding author, E-mail: gaoying@jlu.edu.cn ABSTRACT    The  state  of  charge  (SOC)  estimation  is  one  of  the  core  functions  of  the  battery  management  system;  it  can  play  a significant role in the life cycle of electric vehicles. The SOC estimation method has attracted considerable research attention in recent years, particularly about improving estimation accuracy. However, most studies are limited by only focusing on known or fixed battery model  parameters  and  not  considering  their  temperature  dependence.  This  indicates  a  need  to  explore  how  the  lithium-ion  battery temperature  affects  the  model  parameters,  which  leads  to  inaccurate  SOC  estimation.  The  principal  objective  of  this  study  is  to investigate  the  robust H∞ filter-based  method  for  the  problem  that  temperature  affects  battery  model  parameters  and  thus  leads  to inaccurate SOC estimation. First, the second-order Thevenin equivalent circuit model with two parallel resistor–capacitor pairs is taken as  the  basic  model  of  the  lithium-ion  battery.  The  influence  of  temperature  on  battery  model  parameters  is  modeled  as  an  additive variable of the nominal resistance value and the total battery capacity, and the temperature change is considered an external disturbance of  the  system.  Afterward,  the  sliding  linear  method  is  used  to  linearize  this  battery  model;  on  this  basis,  a  robust H∞ filter  for  SOC estimation is designed using linear matrix inequality technology. Finally, the effectiveness of the proposed approach is verified using four different types of dynamic current load profiles (the BJDST-Beijing Dynamic Stress Test, FUDS-Federal Urban Driving Schedule, US06-US06  Highway  Driving  Schedule  and  BJDST-FUDS-US06  joint  dynamic  test)  compared  with  the  Kalman  filter-based  SOC estimation  method.  The  simulation  analysis  results  indicate  that  the  proposed  SOC  estimation  approach  can  realize  a  higher  SOC estimation accuracy even if the model parameters vary with temperature, and it has good robustness to external disturbances. 收稿日期: 2020−09−21 基金项目: 国家重点研发计划资助项目（2016YFB0100300） 工程科学学报，第 43 卷，第 5 期：693−701，2021 年 5 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 5: 693−701, May 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.21.002; http://cje.ustb.edu.cn

694 工程科学学报，第43卷，第5期 KEY WORDS lithium-ion battery;SOC estimation;model parameter perturbation;model linearization;H filter 锂离子电池能够提供较高的能量密度和比功 池模型，该模型可用状态空间函数来表示，由大容 率，没有记忆效应，具有较低的自放电率和较长的 量电容的电压值和电容值来确定SOC.并在此模 可循环使用寿命，且后续回收过程中对环境污染 型基础上设计了对未知扰动和模型不确定性具有 相对较少，这些特性使其成为目前新能源汽车的 一定鲁棒性的H滤波器；其所设计的H滤波器 重要动力源-)但随着锂离子电池在新能源汽车 对SOC具有很好的估计性能.文献[18]采用与文 中进一步广泛而深入的使用，其可靠性和安全性 献[17刀中相同的等效电路模型，相较于文献[17刀， 正在受越来越严苛的考验.电池管理系统(Battery 文献「181中设计了能够改善观测器响应速度的 management system,BMS)的核心目标就是获得表 H切换观测器，进一步提升了对SOC的估计性 征锂电池可用容量的SOC,保证电动车辆安全有 能.文献[9]和[19]均采用电化学锂离子电池模 效的运行，并通过降低电压极限的不确定性来实 型，并基于该模型设计了用于估计SOC的具有常 现动力分配的优化，从而延长电池的使用寿命句 值增益的龙伯格非线性观测器，以及一个改进的 然而，目前锂离子电池可用的测量是电流、电压和 输出雅可比矩阵加权增益的非线性观测器，其中 温度，SOC不能直接测量-因此，准确估计 观测器增益的设计均被转化为了求解LMI问题 $OC对保证锂电池的安全性和可靠性至关重要. 文献[20]采用二阶RC等效电路模型，把电池老化 对于锂离子电池SOC的估计方法，目前可大 建模为加性故障，并对锂离子电池模型进行了线 致分为两类：无模型法（安时积分法、开路电压法） 性化，设计了基于H观测器的故障估计器，从其 和基于模型的方法]基于模型的SOC估计中， 仿真结果来看，所设计的故障估计器对干扰具有 常用的建模方式有黑箱模型、电化学模型、等效 很好的鲁棒性，同时对老化故障具有很强的追踪 电路模型等.黑箱模型通常使用传递函数来描述 能力.文献21]采用与文献[20]中相同的锂离子 电池的行为，无需重建其基本的物理化学过程，但 电池模型，针对SOC的估计问题，采用LMI技术 是该模型应用场景受限，且模型精度不高.电化学 设计了基于H方法的非线性观测器.文献[22]针 模型采用一组偏微分方程来构建整个物理化学过 对锂离子电池$OC的估计误差收敛问题，设计了 程的“时-空”动态变化，该模型中大量复杂的电化 三种基于LMI技术的鲁棒龙伯格SOC观测器，并 学方程计算耗时长，主要用于优化电池的物理设 分别与传统的基于非线性等效电路模型的扩展卡 计和电池相关的设计参数，表征电能产生的基本 尔曼滤波器进行对比，对比结果表明，其设计的两 机理等.等效电路模型一般可分为Thevenin模型 种基于LMI的SOC观测器与广泛使用的扩展卡 和阻抗模型两大类.这些基于电压源，电阻和电容 尔曼滤波器具有相近的性能，并且设计方法更为 组合的模型具有直观、实用和易于处理的特点，通 简单.文献[23]~24均采用非线性分数阶锂离子 常用于控制设计，且特别适合与其它电路或系统 电池模型对$OC进行估计，不同之处是前者采用 进行协同设计和协同仿真.Thevenin模型又可分 二阶RC等效电路模型，并基于SOC估计误差动 为一阶RC等效电路模型，考虑电压滞后的增强自 力学方程，运用LMI技术来设计SOC观测器；后 校正模型，以及二阶和高阶RC模型等 者采用基于阻抗模型和分数阶卡尔曼滤波方法对 在有关实时获取电池SOC的文献中，广泛采用 SOC进行估计 基于模型的SOC估计方法进行研究.文献[14]采用 综上可知，大多数文献在锂离子电池SOC估 二阶RC等效电路模型，结合安时积分法与基于模 计中选择与LMⅡ技术相结合，这样不仅可以简化 型的方法对锂电池的$OC进行估计，其结果表明， 设计过程，而且也保证了SOC的估计准确性和一 该方法增强了对测量噪声的鲁棒性.文献[15]~[16) 定的鲁棒性.然而，针对锂离子电池模型参数随温 针对离散化的锂离子电池二阶RC等效电路模型， 度变动而产生摄动，进而影响SOC估计准确性的 采用线性参变技术，设计了计算资源需求较少的 问题讨论的并不多.因此，本文在前述工作基础之 SOC估计器，而且其所设计的估计器的稳定性可 上，考虑电池温度波动对模型参数的影响，把温度 由线性矩阵不等式(Linear matrix inequality,LMI) 对模型参数的影响方式建模为标称电阻值和电池 技术来分析验证.文献[17刀采用大电容二阶RC电 总容量的加性变量，并视温度变化为系统的外部

KEY WORDS    lithium-ion battery；SOC estimation；model parameter perturbation；model linearization；H∞ filter 锂离子电池能够提供较高的能量密度和比功 率，没有记忆效应，具有较低的自放电率和较长的 可循环使用寿命，且后续回收过程中对环境污染 相对较少，这些特性使其成为目前新能源汽车的 重要动力源[1−3] . 但随着锂离子电池在新能源汽车 中进一步广泛而深入的使用，其可靠性和安全性 正在受越来越严苛的考验. 电池管理系统（Battery management system，BMS）的核心目标就是获得表 征锂电池可用容量的 SOC，保证电动车辆安全有 效的运行，并通过降低电压极限的不确定性来实 现动力分配的优化，从而延长电池的使用寿命[4−6] . 然而，目前锂离子电池可用的测量是电流、电压和 温度 ， SOC 不能直接测量 [7−8] . 因此 ，准确估 计 SOC 对保证锂电池的安全性和可靠性至关重要. 对于锂离子电池 SOC 的估计方法，目前可大 致分为两类：无模型法（安时积分法、开路电压法） 和基于模型的方法[9−13] . 基于模型的 SOC 估计中， 常用的建模方式有黑箱模型、电化学模型、等效 电路模型等. 黑箱模型通常使用传递函数来描述 电池的行为，无需重建其基本的物理化学过程，但 是该模型应用场景受限，且模型精度不高. 电化学 模型采用一组偏微分方程来构建整个物理化学过 程的“时−空”动态变化，该模型中大量复杂的电化 学方程计算耗时长，主要用于优化电池的物理设 计和电池相关的设计参数，表征电能产生的基本 机理等. 等效电路模型一般可分为 Thevenin 模型 和阻抗模型两大类. 这些基于电压源，电阻和电容 组合的模型具有直观、实用和易于处理的特点，通 常用于控制设计，且特别适合与其它电路或系统 进行协同设计和协同仿真. Thevenin 模型又可分 为一阶 RC 等效电路模型，考虑电压滞后的增强自 校正模型，以及二阶和高阶 RC 模型等. 在有关实时获取电池 SOC 的文献中，广泛采用 基于模型的 SOC 估计方法进行研究. 文献 [14] 采用 二阶 RC 等效电路模型，结合安时积分法与基于模 型的方法对锂电池的 SOC 进行估计，其结果表明， 该方法增强了对测量噪声的鲁棒性. 文献 [15]～[16] 针对离散化的锂离子电池二阶 RC 等效电路模型， 采用线性参变技术，设计了计算资源需求较少的 SOC 估计器，而且其所设计的估计器的稳定性可 由线性矩阵不等式（Linear matrix inequality，LMI） 技术来分析验证. 文献 [17] 采用大电容二阶 RC 电 池模型，该模型可用状态空间函数来表示，由大容 量电容的电压值和电容值来确定 SOC. 并在此模 型基础上设计了对未知扰动和模型不确定性具有 一定鲁棒性的 H∞滤波器；其所设计的 H∞滤波器 对 SOC 具有很好的估计性能. 文献 [18] 采用与文 献 [17] 中相同的等效电路模型，相较于文献 [17]， 文献 [18] 中设计了能够改善观测器响应速度的 H∞切换观测器，进一步提升了对 SOC 的估计性 能. 文献 [9] 和 [19] 均采用电化学锂离子电池模 型，并基于该模型设计了用于估计 SOC 的具有常 值增益的龙伯格非线性观测器，以及一个改进的 输出雅可比矩阵加权增益的非线性观测器，其中 观测器增益的设计均被转化为了求解 LMI 问题. 文献 [20] 采用二阶 RC 等效电路模型，把电池老化 建模为加性故障，并对锂离子电池模型进行了线 性化，设计了基于 H∞观测器的故障估计器，从其 仿真结果来看，所设计的故障估计器对干扰具有 很好的鲁棒性，同时对老化故障具有很强的追踪 能力. 文献 [21] 采用与文献 [20] 中相同的锂离子 电池模型，针对 SOC 的估计问题，采用 LMI 技术 设计了基于 H∞方法的非线性观测器. 文献 [22] 针 对锂离子电池 SOC 的估计误差收敛问题，设计了 三种基于 LMI 技术的鲁棒龙伯格 SOC 观测器，并 分别与传统的基于非线性等效电路模型的扩展卡 尔曼滤波器进行对比，对比结果表明，其设计的两 种基于 LMI 的 SOC 观测器与广泛使用的扩展卡 尔曼滤波器具有相近的性能，并且设计方法更为 简单. 文献 [23]～[24] 均采用非线性分数阶锂离子 电池模型对 SOC 进行估计，不同之处是前者采用 二阶 RC 等效电路模型，并基于 SOC 估计误差动 力学方程，运用 LMI 技术来设计 SOC 观测器；后 者采用基于阻抗模型和分数阶卡尔曼滤波方法对 SOC 进行估计. 综上可知，大多数文献在锂离子电池 SOC 估 计中选择与 LMI 技术相结合，这样不仅可以简化 设计过程，而且也保证了 SOC 的估计准确性和一 定的鲁棒性. 然而，针对锂离子电池模型参数随温 度变动而产生摄动，进而影响 SOC 估计准确性的 问题讨论的并不多. 因此，本文在前述工作基础之 上，考虑电池温度波动对模型参数的影响，把温度 对模型参数的影响方式建模为标称电阻值和电池 总容量的加性变量，并视温度变化为系统的外部 · 694 · 工程科学学报，第 43 卷，第 5 期

潘凤文等：基于鲁棒H滤波的锂离子电池SOC估计 ·695· 扰动.然后，采用切线法对模型进行线性化，继而 式中，Q为电池总容量，SOCo为电池的初始SOC 采用LMI技术设计了对SOC进行估计的鲁棒 需要指出的是电池容量也会随着温度的升高而变 H滤波器.最后，采用四种不同类型的动态激励电 化，从而影响SOC估计的准确性) 流，并与kalman滤波对SOC的估计进行对比，对 大量试验表明，开路电压Uv与SOC在较大 所设计的SOC观测器进行验证. 的工作区间内均存在一定的线性关系（除了$OC非 1锂离子电池建模 常高或非常低的情况，小于20%或大于80%)4-1 因此，可以在特定的工作范围采用SOC的线性函 锂离子电池的动态特性高度依赖于它的工作 数来近似逼近开路电压.它们之间的函数关系具 条件，具有时变参数的二阶RC等效电路模型可以 有以下形式： 足够精确的来表征锂电池系统特性，同时又相对 Uocy =a.SOC+b (4) 简单且计算量不大.因此，本文主要采用二阶RC 式中：a和b为给定的常量 等效电路模型. 那么根据公式(4)，终端电压Ur与SOC的关 1.1电气模型 系可表示为： 表征锂离子电池动态特性的二阶RC等效电 UT=a.SOC+b-Rolc-U1-U2 (5) 路模型如图1所示 所选用的电池模型参数如下表1所示0该 模型参数的获取需要满足以下的条件：(1)T=40℃， 1I=1A,SOC=0.5;(2)电池模型的参数与温度、SOC、 以及电流的大小和方向均无关 表1电池模型参数 Table 1 Battery model parameters Ro/ R1/Q R2/Q C1/F C2/F Q/A-h)a b 因1等效电路模型 0.008670.01240.0123223941831 2.31/33.05 Fig.1 Equivalent circuit model 根据基尔霍夫电压定律，锂离子电池的二阶 上述条件假设非常严格，大量的实际实验已 RC等效电路模型的动力学方程可表述为 表明：电池模型参数对于诸如温度、$OC和充放电 状态以及电流等环境状况的变化是很敏感的：其 dr RICI CI 中，温度对电池模型参数的影响最为显著6 dU2 U2 Ic (1) = + dt R2C2 C2 2模型线性化 UT Uocv-Rolc -U1-U2 由于温度对锂离子电池的模型参数具有较大 式中：1代表时间，s;Ucv代表与SOC相关的开路 的影响，因此，本文将温度对模型参数的影响方式 电压（其为SOC的函数），V;。为进人或离开电池 建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量.其 正极的电流（放电时为正，充电时为负），A;R,为 具有如下形式： 内阻，2：R和C1分别为电化学极化电阻(2)和电 R0=RnO+△R0 (6) 容(F);R2和C2分别为浓差极化电阻(2)和电容 R1=RnI+△R1 (7) (F):U1和U2分别代表电化学极化电容C和浓差 R2=Rn2+△R2 (8) 极化电容C2的电压，V:U1为端电压，V 1.2电池荷电状态模型 0=Q+△Q (9) 电池SOC的定义为可用容量(Ah)与电池的 式中：R(i=0,1,2)分别表示Ro,R1,R2标称阻值； 总容量的比值.简化的SOC估计模型如下： △R(i=0,1,2)表示由温度变化而引起的阻值变化； dSoc Ie (i=0,1,2)表示由温度变化而产生的最新阻值： d (2) △Q表示由温度变化引起的电池容量变化，Q表示 s0c=s0c-J台 (3) 由温度变化产生的最新容量 为了方便计算，把温度变化△T视为外部扰动

扰动. 然后，采用切线法对模型进行线性化. 继而 采 用 LMI 技术设计了 对 SOC 进行估计的鲁 棒 H∞滤波器. 最后，采用四种不同类型的动态激励电 流，并与 kalman 滤波对 SOC 的估计进行对比，对 所设计的 SOC 观测器进行验证. 1    锂离子电池建模 锂离子电池的动态特性高度依赖于它的工作 条件，具有时变参数的二阶 RC 等效电路模型可以 足够精确的来表征锂电池系统特性，同时又相对 简单且计算量不大. 因此，本文主要采用二阶 RC 等效电路模型. 1.1    电气模型 表征锂离子电池动态特性的二阶 RC 等效电 路模型如图 1 所示. Uocv C1 R1 C2 R2 R0 + − Ic UT U1 U2 图 1    等效电路模型 Fig.1    Equivalent circuit model 根据基尔霍夫电压定律，锂离子电池的二阶 RC 等效电路模型的动力学方程可表述为              dU1 dt = − U1 R1C1 + Ic C1 dU2 dt = − U2 R2C2 + Ic C2 UT = Uocv −R0Ic −U1 −U2 （1） 式中：t 代表时间，s；Uocv 代表与 SOC 相关的开路 电压（其为 SOC 的函数），V；Ic 为进入或离开电池 正极的电流（放电时为正，充电时为负），A；R0 为 内阻，Ω；R1 和 C1 分别为电化学极化电阻（Ω）和电 容（F） ；R2 和 C2 分别为浓差极化电阻（Ω）和电容 （F）；U1 和 U2 分别代表电化学极化电容 C1 和浓差 极化电容 C2 的电压，V；UT 为端电压，V. 1.2    电池荷电状态模型 电池 SOC 的定义为可用容量（A·h）与电池的 总容量的比值. 简化的 SOC 估计模型如下： dSOC dt = − Ic Q （2） SOC = SOC0 − w Ic Q dt （3） 式中，Q 为电池总容量，SOC0 为电池的初始 SOC. 需要指出的是电池容量也会随着温度的升高而变 化，从而影响 SOC 估计的准确性[13] . 大量试验表明，开路电压 Uocv 与 SOC 在较大 的工作区间内均存在一定的线性关系（除了 SOC 非 常高或非常低的情况，小于 20% 或大于 80%） [14−15] . 因此，可以在特定的工作范围采用 SOC 的线性函 数来近似逼近开路电压. 它们之间的函数关系具 有以下形式： Uocv = a ·SOC+b （4） 式中：a 和 b 为给定的常量. 那么根据公式（4），终端电压 UT 与 SOC 的关 系可表示为： UT = a ·SOC+b−R0Ic −U1 −U2 （5） T = 40 所选用的电池模型参数如下表 1 所示[20] . 该 模型参数的获取需要满足以下的条件：（1） ℃， Ic=1 A，SOC=0.5；（2）电池模型的参数与温度、SOC、 以及电流的大小和方向均无关. 表 1 电池模型参数 Table 1   Battery model parameters R0 / Ω R1 / Ω R2 / Ω C1 / F C2 / F Q /(A·h) a b 0.00867 0.0124 0.0123 2239 41831 2.3 1/3 3.05 上述条件假设非常严格，大量的实际实验已 表明：电池模型参数对于诸如温度、SOC 和充放电 状态以及电流等环境状况的变化是很敏感的；其 中，温度对电池模型参数的影响最为显著[16] . 2    模型线性化 由于温度对锂离子电池的模型参数具有较大 的影响，因此，本文将温度对模型参数的影响方式 建模为标称电阻值和电池总容量的加性变量. 其 具有如下形式： R˜ 0 = Rn0 + ∆R0 （6） R˜ 1 = Rn1 + ∆R1 （7） R˜ 2 = Rn2 + ∆R2 （8） Q˜ = Q+ ∆Q （9） Rni (i = 0,1,2) R0 R1 R2 ∆Ri (i = 0,1,2) R˜ i(i = 0,1,2) ∆Q Q˜ 式中 ： 分别表示 ， ， 标称阻值 ； 表示由温度变化而引起的阻值变化； 表示由温度变化而产生的最新阻值； 表示由温度变化引起的电池容量变化， 表示 由温度变化产生的最新容量. 为了方便计算，把温度变化 ∆T 视为外部扰动 潘凤文等： 基于鲁棒 H∞滤波的锂离子电池 SOC 估计 · 695 ·

·696 工程科学学报，第43卷，第5期 d,把电阻和容量随温度变化的关系式(6)~(9)进 式中：x,为滤波器的状态向量；A,B,C,D,是待 一步简化为以下线性形式： 设计的适当维数的状态空间矩阵：sOC为SOC的 △Ro=lod (10) 估计值 △R1=I1d (11) 定义增广矩阵：=[王x,「，则滤波误差动态 △R2=2d (12) 方程为： △Q=l3d (13) 年=Ar+B。+Ei+Gyop (17) 式中：4，=0,1,2)表示阻值（或者容量）变化与温度 乏=C+Dl+Fd-Dsyop 变化的比值20 把温度对模型参数的影响与系统(1)相结合， 式中，A=1 &a-e B 则系统的非线性动力学方程可重新表述为： C=L-D.C -C:D=-D,D.F= 1 1=- -D,F,=SOC-SOC I(R+hd+C 对于系统(17)，根据有界实引理，那么存在一 个对称正定矩阵P使得 X2=- Ca(Rn+hd+C (14) ATP+PA PB CT 1 -IδT 0 (18) Q+hdk *-y21 UT=a.SOC+b-(Rno+lod)le-x1-x2 式中，I为适当维数的单位矩阵，y是H性能指标， 式中，1=U1,x2=U2,x3=SOC,选取状态向量x= “*”表示矩阵的对称转置.由于公式(18)中存在决 [x3,系统输出y=[Ur soc le d下 策的变量的耦合，是一个非线性矩阵不等式.因 选取稳态运行点：x1,p=0.124,x2op=0.123, 此，下面采用变量替换的方法使其转换为线性矩 x3.op=0.5.Ic.op 1,dop =0;=x-xop:Ie Ic-Ic.op 阵不等式.定义正定矩阵P及其逆矩阵具有以下 d=d-dop,j=y-yop采用滑动线性法（切线法）， 分解形式： 在运行点处进行线性化，可得到鲁棒H滤波器设 P11 P2.pl= S11 S12 P= 由PP-l=L, 计所需的线性化模型： ，S22 元=AF+Ble+Ed 可得 P11S11+P12ST2P11S12+P12S =C+Dle+Fd (15) PT2S11+P22ST2 PT2S12+P22S22 e1-163 式中，P11,P12,P22,S11,S12,S22均为适当维数的中 SOC=L 式中：=[下5=[0 soc I d. 间变量矩阵 则有 「-0.036 0 01 [0.0004 0 0 A= 0 -0.00190.B= .E= 0 P1S1+P12S72=1 (19) -0.4348 0 0 0 0.0174 3600 3600 PT2S11+P22ST2=0 (20) [-1 -1 1/3 1 -0.0087 0.0012 定义：J= Su Pu P12 0 0 0 C二 D- 0 那么可得P= 0 0 0 0 s0f P2 P22 100 0 1 S11 PuSu+P12ST2 L=[001 即 PJ- 3 鲁棒SOC估计器设计 I Pu 针对线性化系统(15)，设计一个渐近稳定的 H滤波器，实现对SOC的估计，使得传递函数（从 对矩阵不等式(18)进行同余变换，左乘矩阵 外部扰动到SOC估计误差)的H范数小于给定值 diag{J,L,,右乘矩阵diag{JL,,可得 y,该滤波器具有以下状态空间形式： JTPAJ+JATPJ JTPB JTCT is=Asxs+Bsy DT <0 (21) (16) SOC=Cxs+Dsy y21

d，把电阻和容量随温度变化的关系式（6）～（9）进 一步简化为以下线性形式： ∆R0 = l0d （10） ∆R1 = l1d （11） ∆R2 = l2d （12） ∆Q = l3d （13） l 式中： i (i = 0,1,2) 表示阻值（或者容量）变化与温度 变化的比值[20] . 把温度对模型参数的影响与系统（1）相结合， 则系统的非线性动力学方程可重新表述为：    x˙1 = − 1 C1(Rn1 +l1d) x1 + Ic C1 x˙2 = − 1 C2(Rn2 +l2d) x2 + Ic C2 x˙3 = − 1 Q+l3d Ic UT = a ·SOC+b−(Rn0 +l0d)Ic − x1 − x2 （14） x1 = U1 x2 = U2 x3 = SOC x = [ x1 x2 x3 ]T y = [ UT SOC Ic d ]T 式中， ， ， ，选取状态向量 ，系统输出 . x1,op = 0.124 x2,op = 0.123 x3,op = 0.5 Ic,op = 1 dop = 0 x¯ = x− xop ¯Ic = Ic − Ic,op d¯ = d −dop y¯ = y− yop 选 取 稳 态 运 行 点 ： ， ， ， ， ； ， ， ， . 采用滑动线性法（切线法）， 在运行点处进行线性化，可得到鲁棒 H∞滤波器设 计所需的线性化模型：    x˙¯ = Ax¯ + B¯Ic + Ed¯ y¯ = Cx¯ + D¯Ic + Fd¯ SOC¯ = Lx¯ （15） x¯ = [ x¯1 x¯2 x¯3 ]T y¯ = [ U¯ T SOC¯ ¯Ic d¯ ]T A=   −0.036 0 0 0 −0.0019 0 0 0 0   B=   0.0004 0 −0.4348 3600   E=   0 0 0.0174 3600   C=   −1 −1 1/3 0 0 1 0 0 0 0 0 0   , D=   −0.0087 0 1 0   ,F=   0.0012 0 0 1   , L = [ 0 0 1 ]. 式中： ， ， ， ， ， 3    鲁棒 SOC 估计器设计 γ 针对线性化系统（15），设计一个渐近稳定的 H∞滤波器，实现对 SOC 的估计，使得传递函数（从 外部扰动到 SOC 估计误差）的 H∞范数小于给定值 ，该滤波器具有以下状态空间形式: { x˙s = Asxs + Bsy SOCˆ = Csxs + Dsy （16） xs As Bs Cs Ds SOCˆ 式中： 为滤波器的状态向量； ， ， ， 是待 设计的适当维数的状态空间矩阵； 为 SOC 的 估计值. x˜ = [ x x ¯ s ]T 定义增广矩阵 ，则滤波误差动态 方程为：    ˙x˜ = A˜ x˜ + B˜ ¯Ic + E˜d¯+Gyop z˜ = C˜ x˜ + D˜ ¯Ic + F˜d¯− Dsyop （17） A˜ = [ A 0 BsC As ] B˜ = [ B Bs D ] E˜ = [ E BsF ] G = [ 0 Bs ] C˜ = [ L− DsC −Cs ] D˜ = −Ds D F˜ = −DsF z˜ = SOC−SOCˆ 式 中 ， ， ， ， ， ， ， ， . 对于系统（17），根据有界实引理，那么存在一 个对称正定矩阵 P 使得   A˜T P+ PA P ˜ B˜ C˜ T ∗ −I D˜ T ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （18） 式中，I 为适当维数的单位矩阵， γ 是 H∞性能指标， “*”表示矩阵的对称转置. 由于公式（18）中存在决 策的变量的耦合，是一个非线性矩阵不等式. 因 此，下面采用变量替换的方法使其转换为线性矩 阵不等式. 定义正定矩阵 P 及其逆矩阵具有以下 分解形式： P=   P11 P12 P T 12 P22   P −1 =   S11 S12 S T 12 S22   PP−1 = I   P11S11 + P12S T 12 P11S12 + P12S22 P T 12S11 + P22S T 12 P T 12S12 + P22S22   =   I 0 0 I   P11 P12 P22 S11 S12 S22 ， ，由 ， 可得 ， 式中， ， ， ， ， ， 均为适当维数的中 间变量矩阵. 则有 P11S11 + P12S T 12 = I （19） P T 12S11 + P22S T 12 = 0 （20） J =   S11 I S T 12 0   PJ =   P11 P12 P T 12 P22     S11 I S T 12 0   =   P11S11 + P12S T 12 P11 P T 12S11 + P22S T 12 P T 12   PJ =   I P11 0 P T 12   定义： ，那么可得 ， 即 . 对矩阵不等式（18）进行同余变换，左乘矩阵 diag{J T ，I，I}，右乘矩阵 diag{J，I，I}，可得   J T PAJ˜ + J TA˜T PJ JT PB J ˜ TC˜ T ∗ −I D˜ T ∗ ∗ −γ 2 I   < 0 （21） · 696 · 工程科学学报，第 43 卷，第 5 期