应用包络法对平面包络弧面蜗杆传动的研究

D0I:10.13374/i.issm1001-053x.1979.01.007 应用包络法对平面包络弧面蜗杆传动的研究 机械系蜗轮付科研组◆ 基础部 摘 要 本文的重点是用包络法系统地讨论了平面包络孤面蜗杆传动的啮合特性，其中包括接触 线、界限线、非工作区、根切和综合曲率。並提出一些主要参数较佳值的选择。本文所用的 包络法，是在一般包络法的基础上，结合隐函数组和吸收运动学法的某些优点，作了改进。 一、坐标设置及符号說明 坐标设置如图1所示。 图1 符号说明： a。,i0、中一一次包络过程的中心距、传动比和转角。且i。=中，/中：。（注脚1为蜗 杆，注脚2为蜗轮。下同)。 a、i、0一一二次包络过程的中心距、传动比和转角。且i=0,/02。 r1、r2一蜗杆和蜗轮的计算圆半径。 d。、r。一一主基圆的直径和半径。 B—一母平面倾角。 ◆本文由沈蕴方同志执笔。 65

应用包络法对平面包络弧面蜗杆传动的研究 机械系 基 础部 蜗轮付科研 组 ￾ 摘 要 本文 的重 点是用包络法 系统地讨论 了平面 包络 弧 面蜗杆传动 的啮合特 性 ， 其 中包括 接触 线 、 界限线 、 非工作 区 、 根 切 和综合 曲率 。 业 提 出一些 主要 参数较佳值 的选择 。 本文所用 的 包络法 ， 是在一般包络法 的基础上 ， 结合 隐 函数组 和吸 收运 动 学法 的某些 优 点 ， 作 了改进 。 坐 标设 置及 符号锐明 坐标 设置如 图 ￾所示 。 图 ￾ 符 号说 明 ￾ ￾ 。 ， ￾。 、 冲— 一 次包络过程 的 中心距 、 传动 比和转角 。 且 ￾。 二 哈 ￾￾伞 ￾ 。 ￾注脚 ￾为蜗 杆 ， 注脚 ￾ 为蜗轮 。 下 同￾ 。 ￾ 、 ￾ 、 ￾— 二次包络过程的中心距 、 传动 比和转角 。 且 ￾￾ ￾ ，￾ ￾ 。 ￾ ￾、 ￾ ￾ — 蜗杆和 蜗轮的计算圆半径 。 ￾。 、 ￾ 。 — 主 基 圆 的直径和半径 。 日— 母平面倾角 。 ￾ 本文 由沈蕴 方 同志 执笔 。 ＤＯＩ：１０．１３３７４／ｊ．ｉｓｓｎ１００１－０５３ｘ．１９７９．０１．００７

a一蜗轮计算圆压力角。 R1一蜗杆根圆圆弧半径。 α'一蜗杆齿根圆压力角。 Y一蜗杆喉部名义导角。 中，一一蜗杆起始角。 k。一一主基圆直径与中心距的比值，即k。=。 k2一齿数增量系数，即k2=乙，Z: Z。一加工蜗杆工艺齿数。 2一蜗轮齿数。 7:-一蜗杆头数。 二、算 符 为了使意义明确、推导方便、表达简练，根据包络法的实际需要，定义和使用若干运算 符号（简称算符）。基本的是转换坐标算符、通常微分算符和在它们基础上.定义的相似微分 算符。 A,·1是转换坐标算符，即它将在坐标系S,上的函数的坐标变量x1、y、z,通过坐 标变换为S:上的函数。t是坐标变换的参数。 D,是通常的微分算符，即D,1=9，一般只对参数用算符D。 算符注脚t当不会误解时，将省略。 在此基础上定义： D,1f=-A,2D,A,21f 和 D,2f=A,《21D,A2)f 分别称为S,和S2上的相似微分算符。 例如D,1f的意义和运算过程是将S,中的函数「变换到Sz中，然后在S:上对参数t微 分，将微分后的函数再转换回S:。 相似微分算符和普通微分算符满足相同的微分法则。 以上算符有一系列运算性质，利用这些性质可以推导出表1和表2中的公式。在表中的 公式含算符的那些量，都是完全由啮合运动决定的，与曲面形状无关，可以由一般的坐标变 换事先算出，具体表达式参看〔5)。表中用算符表示的公式，原始母面可以是任一光滑无奇 点的曲面。嘴合运动也可以是最一般的。 三、公式汇集 表中公式都用算符表示，按上面算符定义，不难导出实用方程。 66

￾ — 蜗轮计算圆压 力角 。 ￾， ￾ — 蜗杆根 圆 圆弧 半径 。 ￾ 产 — 蜗 杆齿根 圆压力角 。 丫— 蜗杆喉部名义导 角 。 中 ， — 蜗杆起始角 。 、 · 一 一 一 ￾ ， 、 ￾ 一 二 ， ￾ ￾ 一 。￾ ， ， ￾ 、 ￾￾ 一 主 基 圆 直径 与 中心距 的 比值 ， ”￾“￾ “ 一 二二 。 ￾￾￾ 一齿 数增 量 系数 ， 即 ￾￾ 二 ￾ 。 — 加工 蜗杆工艺 齿数 。 ￾ ￾ — 蜗轮齿数 。 ￾ ￾ ￾ 一蜗杆 头 数 。 二 、 算 符 为 了使 意义 明 确 、 推导 方 便 、 表达 简练 ， 根 据 包络法 的实际 需要 ， 定义 和 使用若 干运 算 符 号 ￾简称算符 ￾ 。 基本 的是 转 换 坐标算符 、 通 常微 分算符 和 在它们 基 础 上定义 的相似 微 分 算符 。 ￾ ￾ “ ’ ￾是 转 换 坐标 算符 ， 即 它将在 坐标 系 ￾￾￾￾的 函 数的坐 标 变量 ￾ ，、 ￾ ，、 ￾ ，通 过 坐 标 变换 为 ￾【上 的 函数 。 ￾是 坐 标 变换 的参数 。 ￾ ，是通 常 的微 分算符 ， 即￾ ， ￾二 一旦乡 ， 一般只 对参数 ￾用 算符 ￾ ￾ ￾ 算符 注脚 ￾当不 会误解 时 ， 将 省 略 。 在此 基 础 ￾ ￾定 义 ￾ ￾ ， ‘ ￾ ’￾￾ ￾ ， “ “ ’￾ 。 ￾ ， ‘ ￾ ‘ ￾￾ 和 ￾ ， ’ 、 ￾二 ￾ ￾ ￾ ， ， ￾ ￾ ￾ 心 ， ， ￾ 分 别称 为 ￾ ￾ 和 ￾￾ 上 的相似 微 分算 符 。 例 如￾ ￾ 交 ‘ ￾的意义 和运 算过 程 是 将￾， 中的 函 数 ￾变换 到 ￾ ￾ 中 ， 然后 在 ￾ 。 士对 参数 ￾微 分 ， 将微 分 后 的 函数再转 换 回 ￾， 。 相似 微 分算符 和普 通 微 分算符 满 足相 同 的微 分法则 。 以 上算符有一 系列运 算 性质 ， 利 用这些 性质可 以推导 出表 ￾和表 ￾ 中的公式 。 在 表 中的 公式 含算符 的那些 量 ， 都 是完 全 由啮 合运 动决 定 的 ， 与 曲面 形 状 无 关 ， 可 以 由一 般 的坐标变 换事先算出 ， 具 体表达 式 参 看 〔￾ 〕 。 表 中用 算符 表 示 的公式 ， 原 始 母 面 可 以是任一 光 滑无奇 点 的 曲面 。 啮 合 运 动 也可 以 是 最一般 的 。 三 、 公 式 汇 集 表 中公式 都 用 算符 表示 ， 按 上面算符 定义 ， 不难 导出实用 方 程

表1 一次 包络 编 名 称 坐标系 表 达 式 说 明 号 1母面方程 Σ2：f)(x2,y2,z2)=f)=f=0 f2)不含参数t, 注角(2)以下省略 f=y2-z2tgB+Yo=0 平面包络母面方程 2母面族方程 :A12f=F1(x1,y1,z1,t)=F1’=F t=ψ1，F1)注角 (1)以下省略 3包络面方程 S s5e合A 若母面有奇点，工 也可能是奇点的轨 迹 f=0 t=to 母面上接触线 方程 S:C:D()f=(3x:+: +fz2D2'z2=0 Sa D2x2:v)=Dca)y:v2)=Dc2)za:v2) 5相对速度 S,D1)x1:V}2)=D1)y1:v52)=D1z1:v2 f=o (接触线族方程 「2的点是母面上 母面上接触线 D(2f=0j 的二类界点 6的包络线方程S2下2： (二界曲线) DD2)f=fx,.DD(2x2+fy2.DD 2y2 +fz2DD2)z2=0（包络条件) 包络面上接触 了f=0 下：的点是母面上 7 线的包络线在 母面上的共轭 S2r1:D2f=0 的一类界点 曲线方程 A(21DDF=D2D2f=0 8 包络面上接触 F=0 线方程 C. t=to DF=0 包络面上接触 F=0 (接触线方程) 「，的点是包络面 9线的包络线方 S,: DF=0 的一类界点，也是 程（脊线） DDF=0(包络条件) 包络面的奇点 母面上接触线 F=0 厂2的点是包络面 的包络线在包 的二类界点 10 络面上的共轭 DF=0 曲线方程 DDF=0 A(N2)f=0 11啮合面方程 Ss: As2)D2)f=0 67

表￾ 一 次 包 络 说 明 标系坐 名 编号 母 面方程 ￾￾ 艺￾ ￾ ￾￾￾ ￾ ￾￾ ￾ ， ￾ ￾ ， ￾ ￾￾￾ ￾ ’ ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ 一 ￾ ￾ ￾￾日￾ ￾ 。 ￾ ￾ ￾￾ “ ’不 含参数 ￾， 注角 ￾￾ 以下 省 略 平面 包络母面 方 程 ￾￾母 面 族方 程 。 ￾ 兄 ￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ￾ 一 ￾￾ ￾ ‘ ’ 今 ￾￾ ， ， ￾ ￾ ， ￾ ￾ ， ￾￾￾ ￾ ‘ ” ￾ ￾ ￾￾ 中 ￾ ， ￾“ ’注角 ￾ ￾ 以下 省略 ￾ ￾ ￾ ￾ ’ “ ’ ￾二 ￾ ￾母 面族方 程 ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ’ “ 、 ￾二 ￾ ￾包络 条件 ￾ ， 名 ￾ 的轨 ￾ ￾ 程 一 方 ， 面 ￾ ￾ 包一 络 一 母 面 上接触 线 方 程 ￾￾￾ ￾￾￾ ￾ ￾ ￾ · ￾ ￾￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ， ￾ · ￾ ￾ ’ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ‘“ ’￾ ￾ ￾ ￾ 、止￾￾ ￾ ￾、 ￾一︸￾￾ ￾￾ ￾ ‘ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ 二￾ “ ’ 二 ￾ ￾ ￾ ’￾ ￾ ￾ ￾ 乡￾” 二 ￾￾￾ ’￾ ￾ ￾ ￾ 呈￾ 么 ￾ 相对速度 ￾￾ ￾ “ ’￾ ￾ ￾ ￾二￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ’ ￾ ￾ ￾ ￾ 至￾ “ ’ ￾ ￾ ‘ ’ ￾￾ ￾ ￾ ￾ 二￾ “ ’ 通﹃￾ ￾￾ ‘ ￾ ￾￾￾‘ ￾ ￾‘ ￾￾、 ￾￾ 的点是 母 面 上 的二类 界点 ￾￾ ￾ 触方线￾线程 ￾ ￾ ￾ ￾ ￾的点是母 面 上 的一类 界点 包络面上接触 线 方 程 ￾二 ￾ 、 卜￾接触 线族方 程 ￾ ‘ “ ’￾￾ ￾￾ ￾￾ ￾ 么 ￾￾￾ ￾ ￾ ￾ · ￾￾ ￾ ” ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ · ￾￾ 广 ” ￾ ￾ 生 一 协少￾ ‘ ￾ ￾ ￾￾ 挤 仓 ￾￾包络 条件工 ￾ ￾二 ￾ ￾‘ “ ￾二 ￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ￾￾￾￾ ￾ ￾ 之 ￾ 〕￾ 厂 ￾ ￾ ￾二 ￾ ￾ ￾ ￾ 线母包曲面络线的方面上包程络上的接线共触在辘 引川￾一 ￾ ￾ ￾ ￾， ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ 二 ￾ 、，￾口￾吸 ￾ ￾ ￾￾接角虫线方 程， ￾￾￾ 二 ￾￾包络 条件 ￾ ￾ 二 ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ‘ ” ￾￾ ￾ ￾ ￾￾ 的点是 包络面 的一 类 界点 ， 也 是 ￾包络面 的奇 点 ￾ ￾ 的点 是 包 络 面 的二类 界点 ￾沪 ￾ ￾￾￾ ‘￾￾ ￾ ￾ ︷￾ 母 面 上接触 线 的包 络线 在包 ‘ 络 面 上 的共扼 。 曲线 方程 一 ￾￾ ￾ ‘ 入 ￾ ￾￾￾ ￾ ￾ 仁万 么 ￾￾ ￾ “ ￾ ￾￾ ￾ 啮 八口 面方 程

表2 二次包络 编 名 称 坐标 表 达 式 说 明 号 F=0 f1)不含参数。F 1 母面方程 1:f1)=0,即1 中参数中是曲面 DF=0 ∑：的几何参数。 9: F(2)=A821f1) 日是二次包络的运 用F或f◆表示是 2母面族方程 S2 动参数。 A&(21)F=fw=0 f*中既含中，又含日 A1)DypF=DA821F=Dof=0 f*=0 ∑：是原始母面的 (母面族方程) 2: Dof*=0 工作区 3包络面方程 S2 、D。f◆=0（包络条件） 是新接触线 ∑：=z+2} C考的包络面之 F=0 当中=0，时，得到 DF=00=0。 一次包络原接触线 4母面上接触线 当中≠日。，中 S1 变动时，得到新接 方程 D6F=0 触线。即 Co-C.+C5 Ca一一次线 C-一二次线 F=0 当中=0时，厂2得 母面上接触线 DoF=0 (接触线族方程) 到一次包络的。 S,D81F=0 当中≠0时得到新 的包络线方程 接触线C。在Σ：上 DDg)F=0(包络条件) 的包络线Γ： Γ&=1+Γ费 包络面上接触 F=0 线的包络线在 DF=0 6 S:r: 母面上的共轭 D81F=0 曲线 D。Dg1F=0 A821F=0 包络面上接触 A21DF=0 0=0。 S2 线方程 〔A。21DS1F=0 C。=Ca+C8 68

︺ 一 一件一 陋谬︸ 一 一 一￾ ￾ ￾ ￾甲￾ ￾ ￾ ￾么” ￾ ￾ ，如 ￾￾￾￾ ￾‘￾￾￾，￾￾￾，，￾， ￾ ￾￾ ￾￾￾，￾，￾￾，￾￾￾，￾￾叫 母 面上接触线 的 包络线方程 ￾接触线族方 程￾ 、￾￾尹￾￾卜 ￾ ￾各” ￾ 二 ￾ ￾包络条件￾ 当 币二 ￾ 。 时 ， ￾ ￾得 到一次 包络的 ￾ ￾。 当 如节 ￾时得 到新 接触线￾言 ￾ 在戈 ￾上 的包络线 ￾全 ￾ ￾ ， ￾ ￾奎 氏￾︶ 一 ￾ ￾︶ 卜 ￾ 包络 面 上接触 线 的包络线在 母 面上 的共扼 曲线 ￾￾ ￾ ￾ ￾ ￾￾￾ “ ” ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ ’￾ 一 ” ￾ 七。吕 ， ￾￾二 ‘ ’￾ ￾ ￾ ￾一川叫列川￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ 二 “ ” ￾ ￾ ￾ 包络 面上接触 线方程 汀 ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ，￾，￾ 二 。 。￾ ” ￾ ￾￾ 。 ￾ ￾ ‘ ’￾丢” ￾ ￾ ￾ ￾。 。 ￾ ￾。 。 ￾ ￾曹 ￾ … ￾￾口￾￾ 月 ￾￾ ￾ ￾￾￾￾￾口￾￾￾￾￾￾￾￾￾口￾￾￾￾￾￾￾姗￾￾￾￾￾￾￾￾ 叫口￾￾ ￾￾￾曰￾￾ ￾

续上表 编 坐 名 称 表 达 式 说 明 号 系 包络面二：上 A821)F=0 当中=日，时，1得 A&21)DyF=0 (接触线族方程) 到一次包络的「2。 8的一界曲线 S2 了 Ag21D81)F=0 当中≠0。时得到新 (D。A21Dg1)F=0(包络条件) 接触线C在Σ隆上 下，=2+r 的包络线Γ，事 母面上接触线 A21)F=0 的包络线在包 S:Fat Ag21DF=0 9 络线上的共轭 A821D81F=0 曲线的方程 Ag21D。D8)F=0 四、平面一次包络弧面蜗杆传动 1.接触线 表1中母面上接触线方程可写成（当in业：≠0) :y3s.10 osB+中a,,a6sinB(2k,sin中-1) 1 (1) ginψz sinψz 或 y3=K:x3+B (2) 当中2=0可写成下式 x(0)=a。i,tgB (3) 1+iotB @1750° 当中2=0所得到的接触线称为“0° 线”。由于中：>0，所以这条接触线实际上 並不存在，但在理论研究中，研究它所处 的位置有一定的意义。· 影响接触线分布的主要因素有： (1)传动比i:i。影响接触线的斜 率，i大则斜率小。i。也影响“0°线”的 位置（图2和图3(c)。 (2)k。值：k。值的影响不大，如 取较大值接触线分布略好些。 (3)B值：见图3，B角的影响比 0=200,.=50,最。=0,67，月=8°， 较显著，其值较小较好。 图2 69

续上表 ￾一 ，︶￾ ￾铆酬明 ￾ 一￾，的得布沪 一坑侧氏线包时络卜曰一￾ 说一刻线络次︸ 一接的到当一触包冲幸 标系坐 名 号编 包络 面写 ￾上 的一 界曲线 ￾ 岛 ￾ ‘ ’￾ 二 ￾ ￾ 备 ￾ ‘ 、￾￾￾ 二 ￾ ￾接触线族 方程 ￾ 、卜￾ 户 卫 ￾ 么 “ ‘ ￾￾吕 又 ’￾ ￾ 。 ￾ ‘ ￾ ‘ ’￾石 ’ ￾ ￾ ，￾ ￾ ￾￾包络 条件￾ ￾了￾￾ ￾￾ 母 面上接 触线 的包络线 在包 络线 上的共扼 曲线 的方程 ￾￾ ￾ ￾全 ￾￾ 吕 ￾ ” ￾ ￾ ￾ ￾￾ 二 “ ‘ ￾￾￾￾ ￾ ” 谧 ￾￾ 吕 ’ ‘ ’￾吕” ￾ “ ” ￾￾ 二 ￾ ， ，￾￾ ￾么 ， ，￾ 二 ￾ ￾ 四 、 平面 一 次包络弧 面 蜗杆传动 ￾ ￾ 接触线 表 ￾ ， 中母 面上接触线方程可 写成 ￾当 ￾￾ 幸 ￾ 沪 ￾ 牛而。￾ 。，￾ 日“￾“ 哈 ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ 生几 ￾￾ 中 ￾ ￾ ￾ 十 。 ￾ ， ￾ ￾ ￾￾￾ ￾ ‘ 一 百长 、 ￾￾￾ 华， 一 ￾少 ￾￾ 中 ￾ ￾￾ ￾ ￾ 。 ￾ ￾ ￾￾ ￾ ￾ ￾ ￾￾ ￾ 当 冲 ￾ ￾ ￾可 写成下式 ￾ ￾ ￾￾￾￾ ￾ 。 ￾。 ￾￾日 ￾￾ ￾￾￾￾ ￾￾ ￾ 当 哈 ￾ ￾ ￾所得 到 的接触 线 称 为 “ ￾ “ 线 ” 。 由于 冲 ，￾ ￾ ，所 以这条接触线 实际上 业不存在 ， 但 在理论研究中 ， 研究它所处 的位置 有一定 的意义 。 ￾ ￾ 影响接触线 分布的主要因素有 ￾ ￾￾￾ 传动 比 ￾。￾ ￾。影响接触线 的斜 率 ， ￾。大则 斜 率小 。 ￾。也 影响 ，’￾ 。 线” 的 位置 ￾图 ￾和 图 ￾ ￾￾￾￾ 。 ￾￾ ￾ ￾。 值￾ ￾。 值 的影 响不大 ， 如 取 较大值 接触 线 分布略好些 。 ￾￾ ￾ 日值 ￾ 见 图 ￾ ， 日角 的影响 比 较 显著 ， 其值较小较好 。 、 ￾￾ 风 二 ￾。 ， ‘ ￾ 二 刃 ， 几 二 ￾盯 ， 声 二 乃 ￾ 图 ￾