例3.求取具有拉氏变换为(+a)的连续函数X( 的Z变换。 解 XS)=%s+=3+ 求得 (s+a) a E 2 S+a a一 部分分式分解公式 X(S) b b S(S+a) b,=lim X(s)(s+a) b,= lim a x(s)(s+a) s→-a 3-1 3=(3-Dim ds3- X(s)(s+ a) br=aim出X(S)S+a)
r ds d s -a (r 1)! 1 r r ds d s -a (3 1)! 1 3 r ds d s -a 2 r s -a 1 s a b (s a) b (s a) b s a S(S a) 1 s(s a) s a a 2 s(s a) s 0 a 1 s a a s a [s(s a)] a b lim X(S)(S a) b lim X(S)(S a) b lim X(S)(S a) b lim X(S)(S a) X(S) a (s a) 1 a s 1 X(S) r 1 r 1 3 1 3 1 r r 1 2 r 1 1 r 1 2 = + = + = + = + = = + + + + = + = − = = = = + − − − − − − → − → → → + + + + + =− + = + + 部分分式分解公式 求得 解： 例3.求取具有拉氏变换为 的连续函数X(t) 的 : Z变换。 3. ( ) ( ) 解 例 求取具有拉氏变换为s s a +a 的连续函数X t 的Z变换
例求X(s)= 的变换 S(S+a) 解:X(S)=s+=+(+四+ a,s_、Ss=0-a2 S(S+a) 2 S(S+a) s+a 3 ds s s=-a X(S)= 2 sS+a s+al X(2 102有 (Z-e)2 Z e Zd-e -aTe)z+e(aTo-1+e) a(z-1)(Z-e)2
2 2 0 0 1 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ds d 3 2 1 ( ) 1 2 1 0 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( 1)( ) Z[(1 - ) ( 1 )] X(Z) ( ) X(S) a a ( ) a ( ) 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 a T a T a T a T a T Ze Z Z e a T Ze Z a Z a a a a a s s a S S a s a a a s S S a s a a s a a s a S S a a Z Z e e aT e Z e aT e s s a s a s a s X s a T a T a T − − − − − − − =− =− + = + + + + − − − + − + = = − − + − + = − = = − = + = − = = = = + + − − − 例.求X(s)= 的Z变换。 : ( ) 2 ( ) 1 解 求 X S = S S +a 的Z变换 解:
例计算sno的/变换 解 由欧拉公式 sings eJot -jot 有 asino Z Z 2jZ-e oo Z-e e To e joTo 2j(Z-e o0)(Z-eo0) T jot e e e+e Z2-2 Z+1 2 ZsinOT Z-2 COST 0 Z+1
Z 2cos T Z 1 Zsin T Z 1 2 e e Z 2 2j e e Z (Z - e )(Z - e ) - e e 2j Z ] Z - e Z - Z - e Z [ 2j 1 Z[sin t] 2j e e sin t 0 2 0 j t j t 2 j T j T j T j T j T j T j T j T j t j t 0 0 0 0 0 0 0 0 − + = + + − − = + = = − = − − − − − − 有 由欧拉公式 例 计算sint的Z变换 解：
(3)留数计算法 已知x()→X(S,及全部极点S,(i=1,2,…,n),则 x(2)=∑rexs,)x3m=∑R1 当X(S)具有一阶极点时S=S,时,R1为留数 Ri=lim(s-SIX(S)STo I s→>S 当X(S)有r重极点时 R= (r-d: im dsr-rI(s-s;)x(S)乙m1 例4.试求x(t)的变换。 解 x(s=L(t)= 2,则s1=0,n=1 X(=(-: ir s→0 z-e|= lin s→0
R lim [(s -s ) X(S) ] X(S) r R lim(s -s )[X(S) ] X(S) S S ,R x(z) res[X(S ) ] R x(t) X(S), S (i 1,2, ,n), S T0 r -1 r -1 i S T0 i Si T0 Z-e r Z i ds d s s (r-1)! 1 Z-e Z i s s i i i n i 1 i n i 1 Z e Z i i → → = = − = = = = = → = 当 有 重极点时 当 具有一阶极点时 时 为留数 已知 及全部极点 则 ( 1) T X(Z) lim [s ] lim r 2 , s 0,n 1 ( ) { ( )} 2 0 (Z-e ) -Ze . Z-e 0 Z s 2 1 ds d 0 (2-1)! 1 i 1 S T0 2 0 S T0 2 S T0 2 − = = = − = = = = = → → Z Z x s L x t T s s s 则 (3)留数计算法 例4.试求x(t)=t的变换。 解:
例5试求取X(s)=k/s2(+a)的乙变换。 解: S1=0 2 S =-a r 2 x(Z)=R1+R2 R 1(2-(s-0)2 k S(S+a)z-e STo Is=0 =k=2+(a+1)z (z-1) 2=lim(s+a)2A s→-a S(5+a)z-e X(、D的。-x2+(mn+1+k (4 KzlaTo-1+e)z+(1-e at at aloe a2(z-1)2(Z-e0)
a ( 1) ( ) KZ[(aT - 1 e ) (1 e e )] ( ) R lim ( ) R [ ( 0) ] X(Z) R R S -a r 1 n 2 S 0 r 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 -aT 0 -aT -aT 0 a k ( 1) ( 1) a k 1 2 a k ( ) 2 ( 1) ( 1) a k 0 ( ) 2 (2 1)! 1 1 1 2 2 1 a T z e z z z a T z z e z z e z s s a k s a z z a T z s z e z s s a k d s d Z Z e Z aT X Z R R s a s aT aT aT ST − − − − + + − →− + − − − + + = − + − − − + + − − = = + = + = = + = = − = + = = = = = − − − 例5.试求取X(s)=k/s2 (s+a)的Z变换。 解：