Z变换的基本定理 (1)线性定理 Zax(tl=aX(z z区X1(t)±x2(切)=X1(Z)±x2(Z) 证明:由X(2=∑X(m)Z有 ZaX(=∑aX(n)z=a∑X(nT)z=aX(D n=0 ZX1(±x2(=∑{1(nT)±X2(mD)z"} =∑X1m)z"士∑x2(m)z X1团±X2 (2)实数位移定理 (a迟后定理 设在t<0时,连续函数X(t)为零,上其Z变换存在,则 ZX(t-kT=zX(幻
Z[X (t) X (t)] X (Z) X (Z) Z[ax(t)] aX(Z) 1 2 = 1 2 = X (Z) X (Z) X (nT )Z X (nT )Z Z[X (t) X (t)] {X (nT ) X (nT )]Z } Z[aX(t)] aX(nT )Z a X(nT )Z aX(Z) : X(Z) X(nT )Z 1 2 n 0 n 0 n 2 0 n 1 0 n 0 n 1 2 1 0 2 0 n 0 n 0 n 0 n 0 n 0 n 0 = = = = = = = = = − − = − = − = − = 证明 由 − 有 Z[X(t - kT )] Z X(Z) t 0 , X(t) , Z , -k 0 = 设在 时连续函数 为零上其 变换存在则 二.Z变换的基本定理 (1)线性定理 (2)实数位移定理 (a)迟后定理
证明:由Z变换定义 4X(t-kT)=∑XmT0-kTZ =X(-kT)+X(T0-kT1+…+X(0)Z+X(T0) +…+X(mT)Z4++ X(-kTo)=X[(1-K)Tl=…=X(-T0)=0 ZXI(t -KTO)=X(OZ+XTo)Z+.+X(nTo)Z +…=Z“[x(0)+X(T)+…+X(nI0)Z"+ =ZX(Z)证毕 迟K个采样周期,相当于乙变换乘以 说明:(1)迟后定理说明,原函数在时域中 (2)算子Z的物理意义:z代表迟后 环节,它把采样信号延迟K个采样周期
证毕 证明 由 变换定义 Z X(Z) Z [X(0) X(T )Z X(nT )Z ] Z[X[(t - KT )] X(0)Z X(T )Z X(nT )Z X(-kT ) X[(1 - K)T ] X(-T ) 0 X(nT )Z X(-kT ) X(T -kT )Z X(0)Z X(T )Z Z[X(t - kT )] X(nT kT )Z : Z -k n 0 1 0 -k -(k n) 0 -(k 1 ) 0 -k 0 0 0 0 -(k n) 0 -(k 1 ) 0 -1 -k 0 0 0 n 0 n 0 0 0 = + = + + + + = + + + = = = = + + + = + + + + = − − − + + + + = − 说明:(1)迟后定理说明,原函数在时域中延 迟K个采样周期,相当于Z变换乘以Z -K 。 (2)算子Z -K的物理意义: Z-K代表迟后 环节,它把采样信号延迟K个采样周期
(b)超前定理 ZIX(t+kT I=Z[X(2-2X(nToZI 证明:Xt+=∑X(nT+kT)z =X(kT)+X(k+1)Tz+X(k+2)T0z+……+X(nT+k)z”+ =z-[X(kT)Z+X(k+1)T01z#)+… =z{X(0)+X(T)Z+……+X(k-1)T2)+X(kT0)Z+X(K+1)T0Z+) X(0)-X(0)Z-1-……-X(k-1)TZ--)B IX(Z)-∑X(mT)z="1 k=1时 Z1X(t+2T0)=2X(Z)-ZX(0) k=2时 ZIX(t+2T=Z X(2-Z X(O)-ZX(To 当k=m时 ZIX(t+mTo)l=Z X(Z-Z X(0)-Z-XTo)-Z X(2T.o) XI(m-1)ToI
....... [( 1) ] k m [ ( )] ( ) (0) ( ) (2 ) ......... 2 [ ( 2 )] ( ) (0) ( ) 1 [ ( 2 )] ( ) (0) [ ( ) ( ) ] (0) ( ) ...... [( 1) ] ]} { (0) ( ) ...... [( 1) ] ( ) [( 1) ] [ ( ) [( 1) ] ......] ( ) [( 1) ] [( 2) ] ....... ( ) ...... : Z[X(t kT )] ( ) 0 0 2 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 ( 1) 0 1 0 ( 1) ...... 0 0 ( 1) 0 1 0 ( ! ) 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 ZX m T Z X t mT Z X Z Z X Z X T Z X T k Z X t T Z X Z Z X ZX T k Z X t T ZX Z ZX Z X Z X nT Z X X T Z X k T Z Z X X T Z X k T Z X kT Z X K T Z Z X kT Z X k T Z X kT X k T Z X k T Z X nT kT Z X nT kT Z m m m m k n k n k k k k k k k k n n n − − − = + = − − − = + = − − = + = − = − − − − − − = + + + − + + + = + + + = + + + + + + + + + = + − − − = − − − − − − − − − + + − − − + − − − − = 当 时 时 时 证 明 [ ( )] [X(Z) - X(nT ) ] 0 K-1 n 0 T0 Z Z k n Z X t k − = + = (b)超前定理
例1用实数位移定理计算延退一个采样周 期的单位阶跃函数的/变换。 解 zI(t-To=Z Z1(t)I 例2:计算延迟一个采样周期的指数函数ea的 变换。 解 Zeo=z oI Z
1 1 1 1 1 0 Z[1(t -T )] [1( )] − − − − = = = Z Z Z Z Z Z t ( ) 0 -aT -aT0 0 . 0 Z-e 1 Z-e -1 Z -a t-T -1 Z Z[e ] Z Z[ ] = = = −a T e 例1:用实数位移定理计算延迟一个采样周 期T的单位阶跃函数的Z变换。 例2：计算延迟一个采样周期的指数函数e -at的 变换。 解： 解：
(3)终值定理 设连续时间函数Ⅹ(t)的Z变换为X(Z), 不含Z=1的二重以上极点,在单位圆外 无极点,则有 lim x(t)=lim(z-1)x(z) (4)初值定理 设函数x(t)Z变换为X(Z,并且imX(Z)存在, Z→0 X(0=lim X(z) Z→0
x(0) lim X(Z) x(t) Z X(Z), lim X(Z) , lim x(t) lim[(z 1)x(z)] , Z 1 , X(t) Z X(Z), z z t z 1 → → → → = = − = 则 设函数 的 变换为 并且 存在 无极点则有 不含 的二重以上极点在单位圆外 设连续时间函数 的 变换为 (3)终值定理 (4)初值定理