第四章根轨迹法 81反馈系统的根轨迹 1根轨迹的概念 开环系统某一参数从无穷变化时闭环系统特征方程 式的根在S平面内变化的轨迹称桃迹 root locus) 2k 例.设有一单位反馈系统所示G(S) S(S+2) 该系统的闭环传函为 R(S) C(s) C(s) 2k S(0.5+1) ①(s)= R(SS+2s+2K 系统的特征方程为 s2+2s+2k=0 两闭环极点为s,=-1+√1-2k 2三 1-2k
第四章 根轨迹法 § 1 反馈系统的根轨迹 ( ) , 1. 式的根在S平面内变化的轨迹称根轨迹。root locus 开环系统某一参数从零到无穷变化时闭环系统特征方程 根轨迹的概念 R(s) C(s) S(0.5S+1) K s -1 - 1 - 2k :s -1 1 - 2k s 2s 2k 0 s 2s 2 2k ( ) ( ) (s) ( 2) 2 . ( ) 2 1 2 2 = = + + + = + + = = + = 两闭环极点为 系统的特征方程为 该系统的闭环传函为 例 设有一单位反馈系统如图所示 R s k C s s s k G S
下面分析参数从0到无穷变化对系统闭极点分布的影响 k=0时s1=0s2=-2闭环极点与开环极点桐同 0<k<1/2时s1,s2均为负实数 k=1/2时 =S,=-1 k>1/2时 s12=-1±j2k-1,实部相同 位于垂直与实轴的直线 k→>∞时沿上述直线趋于无穷远 K→ -1+√1-2k 2=-1-√1-2k -2 0
k . k 1/2 s -1 j 2k - 1, k 1/2 s -1 0 1 2 s , k 0 s 0 s 2 0 : 1,2 1 2 1 2 1 2 时 沿上述直线趋于无穷远 位于垂直与实轴的直线上 时 实部相同 时 时 均为负实数 时 闭环极点与开环极点相同 下面分析参数 从 到无穷变化对系统闭环极点分布的影响 → = = = = = = = −s k s k - 2 0 K → K → s -1 - 1 - 2k s -1 1 - 2k 21 == +
2根轨迹与系统性能 稳定性:根轨迹若越过虚轴进入右半平面与虚轴交点处的 k即为临界增益 稳态性能:根据坐标原点的根数确定系统的型别同时可以 确定对应的静态误差致数 动态性能:过阻尼0<k<05 临界阻尼k=0.5 欠阻尼k>05
k 0.5 k 0.5 : 0 k 0.5 : , , k : , 2. = 欠阻尼 临界阻尼 动态性能 过阻尼 确定对应的静态误差系数 稳态性能 根据坐标原点的根数确定系统的型别同时可以 即为临界增益 稳定性 根轨迹若越过虚轴进入右半平面 与虚轴交点处的 根轨迹与系统性能 s
3闭环零极点与开环零槛之间的关系 如图所示系统的闭环为 R(S C(s) G(S) d(S)= G(S 1+G(S)H(S) 一般开环传函可以写成 HO (S-Z1) G(S)=KG HS)=Kn分(S h II(S-P) (S-P) 1 ∏(S-2,)m(S-21) 则GS)H(S)=K IIs-PiIs-P) n=g+h m=f+ k=kk GH (S-Z1)(S-P) ①(S)=K。n n (S-P)+KIIS-Z) i=1 j=1
( ) ( ) ( ) ( ) (S) n q h m f l k k k ( ) ( ) ( ) ( ) G(S)H(S) K ( ) ( ) H(S) K ( ) ( ) G(S) K (S) 3. 1 1 1 1 G H 1 1 1 1 11 H 11 G 1 G(S)H(S) G(S) j mj i ni j hj i f i G j h j i qi j l j i f i j hj j l j i qi i f i S P K S Z S Z S P K S P S P S Z S Z S P S Z S P S Z − + − − − = = + = + = − − − − = − − = − − = = = = = = = = = = == == + 则 一般开环传函可以写成 如图所示系统的闭环传函 为 闭环零极点与开环零极点之间的关系 G(s) R(s) C(s) H(s)
(1)闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道轨迹 增益;对于单位反馈系统闭环系统根轨迹的增益就等于开 环系统根轨迹的增益 (2)闭环零点由开环前向铬传递函数的零点和庋馈通路 传函的极点所组成对于单位反馈系统闭环零点就是开环 零点 (3)闭环极点与开环零点开环极点以及根轨迹增均有关 根轨迹法的基本任务: 如何由已知的开环零模的分布及根轨迹增益通过图解的 方法找出闭环极点
. , : (3) , ; , (2) . ; , (1) , : 方 法找出闭环极点 如何由已知的开环零极点的分布及根轨迹增益通过图解的 根 轨迹法的基本任务 闭环极点与开环零点开环极点以及根轨迹增益均有关 零 点 传函的极点所组成对于单位反馈系统闭环零点就是开环 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路 环 系统根轨迹的增益 增 益 对于单位反馈系统闭环系统根轨迹的增益就等于开 闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根轨迹 结 论