《电机学》课程教学资源（知识点）第三章 变压器

i-+i=-E(+(2-11)川R+x图3一7a表示与上式相应的等效电路，此电路由磁化电抗X.和铁耗电阻R。两个并联分支构成。若进一步用一个等效的串联阻抗Z.去代替这两个并联分支，如图3一7b所示，则式(2—11)可改写成会,或Ei--iz,--ia(Ra+ix)(2-12)i.=Z.式中，Z,=R.+j.称为变压器的激磁阻抗，它是表征铁心磁化性能和铁心损耗的一个综合RreXm=X,XRP.+X.参数；X.称为激磁电抗，它是表征铁心磁化性能的一个等效参数，x?R. =Rre Re.+X,R.称为激磁电阻，它是表征铁心损耗的一个等效参数，imimireRX心b)a)图2-7铁心线圈的等效电路a）并联电路b）申联电路由于铁心磁路的磁化曲线是非线性的，所以E和I之间亦是非线性关系，即激磁阻抗Z.不是常值，而是随着工作点饱和程度的增加而减小。考虑到实际运行时主磁通Φ，的变化很小，在此条件下，可近似认为Z为一常值。3.3变压器的负载运行变压器的一次绕组接到交流电源，二次绕组接到负载阻抗Z1f时，二次绕组中便有电流流过，这"!e1l种情况称为变压器的负载运行，如图3一8所示。图中各量的正方向按惯例规定如下：i.的正方向与电源电压山的正方向一致，主磁通图2-8变压器的负载运行

图 3—7a 表示与上式相应的等效电路，此电路由磁化电抗 Xμ和铁耗电阻 RFe 两个并联分 支构成。若进一步用一个等效的串联阻抗 Zm 去代替这两个并联分支，如图 3—7b 所示，则 式(2—11)可改写成 式中，Zm=Rm+jXm 称为变压器的激磁阻抗，它是表征铁心磁化性能和铁心损耗的一个综合 参数；Xm 称为激磁电抗，它是表征铁心磁化性能的一个等效参数， 2 2 2   R X R X X Fe Fe m + = ； Rm 称为激磁电阻，它是表征铁心损耗的一个等效参数， 2 2 2   R X X R R Fe m Fe + = 。 由于铁心磁路的磁化曲线是非线性的，所以 E1 和 Im 之间亦是非线性关系，即激磁阻抗 Zm 不是常值，而是随着工作点饱和程度的增加而减小．考虑到实际运行时主磁通Φm 的变化 很小，在此条件下，可近似认为 Zm 为一常值。 3．3 变压器的负载运行 变压器的一次绕组接到交流 电源，二次绕组接到负载阻抗 Zl 时，二次绕组中便有电流流过，这 种情况称为变压器的负载运行，如 图 3—8 所示。图中各量的正方向 按惯例规定如下：il 的正方向与电 源电压 u1 的正方向一致，主磁通

Φ的正方向与i.的正方向符合右手螺旋关系，el、e2的正方向与Φ的正方向亦符合右手螺旋关系：i2的正方向与e2的正方向一致，uz的正方向与i2流人Z,的正方向一致。一、磁动势平衡和能量传递当二次绕组通过负载阻抗Z，闭合时，在感应电动势ez的作用下，二次绕组中便有电流i2流过，i2将产生磁动势Ni2。由于磁动势N2i2的作用，铁心内的主磁通Φ趋于改变；相应地一次绕组的电动势e亦趋于改变，并引起一次绕组电流i发生变化。考虑到电源电压u=常值时，主磁通Φ，～常值，故一次绕组电流将变成i,=im+in(2-13)即i，中除用以产生主磁通Φ.的激磁电流i，外，还将增加一个负载分量i，以抵消二次绕组电流i2的作用，换言之，ilL产生的磁动势Nii应与i2所产生的磁动势N2i2相等、相反，即N.Ni+Nai=0，或i=-(2-14)此关系称为磁动势平衡关系。e-N再考虑到一次、二次绕组的电动势之比为eN2，于是(2-15)-j-e22式中，左端的负号表示输人功率，右端的正号表示输出功率。上式说明，通过一次、二次绕组的磁动势平衡和电磁感应关系，一次绕组从电源吸收的电功率就传递到二次绕组，并输出给负载，这就是变压器进行能量传递的原理。二、磁动势方程把式（2一13）两边乘以Ni，可得N,i,=N,i.+N,i再把N,in=-Nzi2可得N,ii十Nzi2=Niy(2—16)上式就是变压器的磁动势方程。式（2一16)表明，负载时用以建立主磁通的激磁磁动势是一次和二次绕组的合成磁动势。式中的i，取决于负载时主磁通的幅值，一般来说，它与空载时的值稍有差别。正常负载时，i和i2都随时间正弦变化，此时磁动势方程可用复数表示为：N,i,+N,iz=N,i.(2-17)三、漏磁通和漏磁电抗在实际变压器中，除了通过铁心、并与一次和二次绕组相交链的主磁通Φ之外，还有少量仅与一个绕组交链且主要通过空气或油而闭合的漏磁通。电流i所产生、且仅与一次绕组相交链的磁通，称为一次绕组的漏磁通，用Φ1表示；由电流i2所产生、且仅与二次

φ的正方向与 i1 的正方向符合右手螺旋关系，e1、e2 的正方向与φ的正方向亦符合右手螺旋 关系；i2 的正方向与 e2 的正方向一致，u2 的正方向与 i2 流人 Zl的正方向一致。 一、磁动势平衡和能量传递 当二次绕组通过负载阻抗 Zl 闭合时，在感应电动势 e2 的作用下，二次绕组中便有电流 i2 流过，i2 将产生磁动势 N2i2。由于磁动势 N2i2 的作用，铁心内的主磁通φ趋于改变；相应 地一次绕组的电动势 e1 亦趋于改变，并引起一次绕组电流 i1 发生变化。考虑到电源电压 u1 ＝常值时，主磁通φm≈常值，故一次绕组电流将变成 即 i1 中除用以产生主磁通Φm 的激磁电流 im 外，还将增加一个负载分量 i1L，以抵消二次绕组 电流 i2 的作用，换言之，i1L 产生的磁动势 N1i1L 应与 i2 所产生的磁动势 N2i2相等、相反，即 此关系称为磁动势平衡关系。 再考虑到一次、二次绕组的电动势之比为 2 1 2 1 N N e e = ，于是 式中，左端的负号表示输人功率，右端的正号表示输出功率。上式说明，通过一次、二 次绕组的磁动势平衡和电磁感应关系，一次绕组从电源吸收的电功率就传递到二次绕组，并 输出给负载．这就是变压器进行能量传递的原理。 二、磁动势方程 把式(2—13)两边乘以 Nl，可得 N1i1=N1im 十 N1i1L 再把 N1i1L=-N2i2 可得 N1i1 十 N2i2＝N1iM (2—16) 上式就是变压器的磁动势方程。式(2—l6)表明，负载时用以建立主磁通的激磁磁动势 是一次和二次绕组的合成磁动势。式中的 im 取决于负载时主磁通的幅值，一般来说，它与 空载时的值稍有差别。 正常负载时，i1 和 i2 都随时间正弦变化，此时磁动势方程可用复数表示为： 三、漏磁通和漏磁电抗 在实际变压器中，除了通过铁心、并与一次和二次绕组相交链的主磁通φ之外，还有 少量仅与一个绕组交链且主要通过空气或油而闭合的漏磁通。电流 il 所产生、且仅与一次 绕组相交链的磁通，称为一次绕组的漏磁通，用φ1φ表示；由电流 i2 所产生、且仅与二次

绕组相交链的磁通，称为二次绕组的漏磁通，用Φ2二次绕组表示，图3一9表示漏磁通的磁路，由于漏磁磁路的磁铁心XH阻较大，故漏磁通要比主磁通少得多。木IP漏磁通中Φ，和Φ2也随时间而交变，它们将分别在次绕组一次和二次绕组内感生电动势e。和e2。，di,dpa=-Lodtela=-N,Idt(2-18)di2dp2o=-Lodte2=-N, dnPeH式中，L。和L2.分别为一次绕组和二次绕组的漏磁电感，图2-9变压器中漏磁场的分布简称漏感。漏感与绕组匝数的平方和漏磁导成正比，即N中=NeA2N=NAu La=(2-19)La=i其中，Λ1。和Λ2。为一次和二次漏磁路的磁导。由于漏磁路的主要部分是空气或油，故漏磁导是常值：相应地，漏感亦是常值。当一次和二次电流随时间正弦变化时，相应的漏磁通和漏磁电动势亦将随时间正弦变化，用复数表示时有E.jwL.i, jXi,(2-20)E=-joL.i,=-jX,i,J式中，X1。和X2.分别称为一次和二次绕组的漏磁电抗，简称漏抗，XI。=QL1a，X2。=Q12。漏抗是表征绕组漏磁效应的一个参数，X1。和X2。都是常值。按照磁路性质的不同，把磁通分成主磁通和漏磁通两部分，把不受铁心饱和影响的漏磁通分离出来，用常值参数X。和X2。来表征，而把受铁心饱和影响的主磁路及其参数Z.作为局部的非线性问题，再加以线性化处理，这是分析变压器和旋转电机的重要方法之一。这样做，一方面可以简化分析：另一方面可以提高测试和计算的精度。3.4变压器的基本方程和等效电路上节说明了负载时变压器内部的物理情况.在此基础上即可导出变压器的基本方程和等效电路。一、变压器的基本方程负载运行时，变压器内部的磁动势、磁通和感应电动势，可列表归纳如下：

绕组相交链的磁通，称为二次绕组的漏磁通，用φ2φ 表示．图 3—9 表示漏磁通的磁路，由于漏磁磁路的磁 阻较大，故漏磁通要比主磁通少得多。 漏磁通φ1φ和φ2φ也随时间而交变，它们将分别在 一次和二次绕组内感生电动势 e1σ和 e2σ， 式中，L1σ和 L2σ分别为一次绕组和二次绕组的漏磁电感， 简称漏感。漏感与绕组匝数的平方和漏磁导成正比，即 其中，Λ1σ和Λ2σ为一次和二次漏磁路的磁导。由于漏磁路的主要部分是空气或油，故 漏磁导是常值；相应地，漏感亦是常值。 当一次和二次电流随时间正弦变化时，相应的漏磁通和漏磁电动势亦将随时间正弦变 化，用复数表示时有 式中，X1σ和 X2σ分别称为一次和二次绕组的漏磁电抗，简称漏抗，X1σ=ωL1σ，X2σ=Ωl2σ。漏 抗是表征绕组漏磁效应的一个参数，X1σ和 X2σ都是常值。 按照磁路性质的不同，把磁通分成主磁通和漏磁通两部分，把不受铁心饱和影响的漏磁 通分离出来，用常值参数 X1σ和 X2σ来表征，而把受铁心饱和影响的主磁路及其参数 Zm 作为 局部的非线性问题，再加以线性化处理，这是分析变压器和旋转电机的重要方法之一。这样 做，一方面可以简化分析；另一方面可以提高测试和计算的精度。 3．4 变压器的基本方程和等效电路 上节说明了负载时变压器内部的物理情况．在此基础上即可导出变压器的基本方程和等 效电路。 一、变压器的基本方程 负载运行时，变压器内部的磁动势、磁通和感应电动势，可列表归纳如下：

磁动势磁通感应电动势di,N,i,d-Ladt-一次绕组doer= -N, -dt+N,imΦdd-e,=-N,dt二次绕组dizNzi2中e2。= - L220dt此外，一次和二次绕组内还有电阻压降i,R,和izR2。这样，根据基尔霍夫第二定律和图3-8中所示的正方向，即可写出一次和二次侧的电压方程为di,u,=i,R,+L,e1odt(2-21)diz+uzer=i?R+L&+若一次和二次的电压、电流均随时间正弦变化，则上式可写成相应的复数形式U,=i,(R,+iXio)-E,=i,Zi-E,(2-22)E-i,(R2+jX)+=i,z+式中，Zi。和Z2分别称为一次和二次绕组的漏阻抗，Z1。=R十jXi。，Za=R2十jX2。再考虑到式(2一12)和磁动势方程(2一17)，可得变压器的基本方程为0,=i,z-E, E,=i,z+0,B=k]E.(2-23)N,i,+N,i,=N,im,E,=-imZm二、变压器的等效电路在研究变压器的运行问题时，希望有一个既能正确反映变压器内部电磁关系，又便于工程计算的等效电路，来代替具有电路、磁路和电磁感应联系的实际变压器。下面从变压器的基本方程出发，导出此等效电路。绕组归算为建立等效电路，除了需要把一次和二次侧漏磁通的效果作为漏抗压降，主磁通和铁心线圈的效果作为激磁阻抗来处理外，还需要进行绕组归算，通常是把二次绕组归算到一次绕组，也就是假想把二次绕组的匝数变换成一次绕组的匝数，而不改变一次和二次绕组原有的电磁关系。从磁动势平衡关系可知，二次电流对一次侧的影响是通过二次磁动势N2I2起作用，所以只要归算前后二次绕组的磁动势保持不变，一次绕组将从电网吸收同样大小的功率和电流

此外，一次和二次绕组内还有电阻压降 i1R1和 i2R2。这样，根据基尔霍夫第二定律和图 3-8 中所示的正方向，即可写出一次和二次侧的电压方程为 若一次和二次的电压、电流均随时间正弦变化，则上式可写成相应的复数形式 式中，Z1σ和 Z2σ分别称为一次和二次绕组的漏阻抗，Z1σ＝R1 十 jX1σ，Z2σ=R2 十 jX2σ 再考虑到式(2—12)和磁动势方程(2—17)，可得变压器的基本方程为 二、变压器的等效电路 在研究变压器的运行问题时，希望有一个既能正确反映变压器内部电磁关系，又便于工 程计算的等效电路，来代替具有电路、磁路和电磁感应联系的实际变压器。下面从变压器的 基本方程出发，导出此等效电路。 绕组归算 为建立等效电路，除了需要把一次和二次侧漏磁通的效果作为漏抗压降，主 磁通和铁心线圈的效果作为激磁阻抗来处理外，还需要进行绕组归算，通常是把二次绕组归 算到一次绕组，也就是假想把二次绕组的匝数变换成一次绕组的匝数，而不改变一次和二次 绕组原有的电磁关系。 从磁动势平衡关系可知，二次电流对一次侧的影响是通过二次磁动势 N2I2 起作用，所以 只要归算前后二次绕组的磁动势保持不变，一次绕组将从电网吸收同样大小的功率和电流

并有同样大小的功率传递给二次绕组。归算后，二次侧各物理量的数值称为归算值，用原物理量的符号加“！”来表示。设二次绕组电流和电动势的归算值为12和E2″，根据归算前、后二次绕组磁动势不变的原则，可得N,i=Ni由此可得二次电流的归算值[2”为1:-1-+1(2-24)由于归算前、后二次绕组的磁动势未变，因此铁心中的主磁通将保持不变：这样，根据感应电动势与匝数成正比这一关系，便得Ei_N1=kE."N即二次绕组感应电动势的归算值E2＇为E!=kE,(2-25)再把二次绕组的电压方程（式（2一22)中的第二式）乘以电压比k，可得1kE,=ki(R2+iX2)+ki,(R+jk"X2)+U大或E;=i:(R.+j2X2)+ki.=i(R:+jxo)+2(2-26)式中，R’和Xa。’分别为二次绕组电阻和漏抗的归算值，R’=k"R，Xxa。’=kx：ü2'则是二次电压的归算值，U2=ku2。综上所述可见，二次绕组归算到一次绕组时，电动势和电压应乘以k倍，电流乘以1/k倍，阻抗乘以k2倍。不难证明，这样做的结果，归算前、后二次绕组内的功率和损耗均将保持不变。例如，传递到二次绕组的复功率为E i,"=(kE,)(2=E,i2(2-27)b式中，*号表示复数的共轭值。二次绕组的电阻损耗和漏磁场内的无功功率为I,2R,-"(R2)=12R2(2-28)I2X2=() (X2)=1,X

并有同样大小的功率传递给二次绕组。 归算后．二次侧各物理量的数值称为归算值，用原物理量的符号加“′”来表示。设二 次绕组电流和电动势的归算值为 2 • I ′和 2 • E ′，根据归算前、后二次绕组磁动势不变的原则， 可得 由此可得二次电流的归算值 2 • I ′为 由于归算前、后二次绕组的磁动势未变，因此铁心中的主磁通将保持不变；这样，根据感应 电动势与匝数成正比这一关系，便得 即二次绕组感应电动势的归算值 2 • E ′为 再把二次绕组的电压方程(式(2—22)中的第二式)乘以电压比 k，可得 式中，R2′和 X2σ′分别为二次绕组电阻和漏抗的归算值，R2′＝k 2 R2，X2σ′= k2 X2σ； 2 • U ′ 则是二次电压的归算值， 2 • U ′＝k 2 • U 。 综上所述可见，二次绕组归算到一次绕组时，电动势和电压应乘以 k 倍，电流乘以 1／ k 倍，阻抗乘以 k 2 倍。不难证明，这样做的结果，归算前、后二次绕组内的功率和损耗均将 保持不变。例如，传递到二次绕组的复功率为 式中，*号表示复数的共轭值。二次绕组的电阻损耗和漏磁场内的无功功率为