南京大学：《大学物理》课程教学资源（PPT讲座）Beam, beam, beam——无衍射光束的产生与调控

Nanjing University CEAS 根据亥姆霍兹方程 V2u+k2u O 将 (x,y,z)=(x,y,z)e代入 得到 忽略对z求导的高次项得到 十 +2ik =0 0y2 0z 傍轴波动方程 Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao ( , , ) ( , , ) ikz u x y z x y z e   2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 0 ik k k x y z z                     根据亥姆霍兹方程 将 代入 得到： 2 2    u k u 0 忽略对z求导的高次项得到 2 2 2 2 2 0 ik x y z             傍轴波动方程

Nanjing University CEAS 将的试探解形式代入 (x2+y2)[2g2-ikg]-[2g-ig]=0 上式要对任意xy都成立，必须两括号内都为零 2f2=f (1) 2.fg ikg (2) 上式（1)的解形式为 f(z)= 2i 4+ k Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 2 2 2 ( )[2 '] [2 '] 0 x y gf ikgf fg ikg      2 2 ' (1) 2 ' (2) f ikf fg ikg      将的试探解形式代入 上式要对任意x,y都成立，必须两括号内都为零 上式（1）的解形式为 1 ( ) 2 f z i A z k  

版 Nanjing University CEAS 对比(1)（2)式，可以看出g(☑)=z)x常数 8()= 40 2i 1+ kA 将孔☑)变换，得到 2i f(z)= (A- 4z2 k 令 A=wo A0+ +=-(忌】 Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 对比（1）（2）式，可以看出g(z)=f(z)常数 将f(z)变换，得到 0 ( ) 2 1 u g z i z kA   2 2 2 1 2 ( ) ( ) 4 (1 ) i f z A z z k A k A    令 2 A w 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 2 ( ) (1 ) [1 ( ) ] z z w z A w k A kw    

Nanjing University CEAS 2iz 则： f(2)= 1 w）l- 那么高斯函数变为 exp 同样（☑可以写为 8(a)= 46 e-io 三o Wo e-io 22 W 1+( 其中 arctan( Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 则： 那么高斯函数变为 同样g(z) 可以写为 2 2 0 1 2 ( ) (1 ) ( ) iz f z w z kw   2 2 2 2 ( )( ) 2 2 0 2 exp (1 ) ( ) f z x y x y iz e w z kw             0 0 0 2 2 0 ( ) 2 1 ( ) u w i i g z e u e z w kw        2 0 2 arctan( ) z kw 其中  

成到 Nanjing University CEAS UNIVE 最终得到光束场强函数 x2+y2 Woe (x,y,z)=4o e W 其中 Φ=kz+- k(x2+y2) D 】 w心日=wi+(表r Nat.Lab.Microstructures Dr.Tao LI,http://dsl.nju.edu.cn/litao

Nanjing University CEAS Nat. Lab. Microstructures Dr. Tao LI, http://dsl.nju.edu.cn/litao 最终得到光束场强函数 其中 2 2 2 0 0 ( , , ) x y w w i u x y z u e e w      2 2 2 0 2 ( ) 2 1 ( ) 2 k x y kz kw z z              2 2 2 0 2 0 2 ( ) [1 ( ) ] z w z w kw  