第44讲衍射光栅X射线衍射 救学要求： 了解光栅光谱：X射线的衍射：布拉格公式。理解光栅的分辨本领、干涉和衍射的区别 和联系。掌握光栅常量、明纹条件、暗纹条件、缺级。 重点与难点： 重点：光栅常量、明纹条件、缺级。 难点：缺级。 15.4衍射光栅 从上节的讨论我们知道，原则上可以利用单色光通过单缝时所产生的衍射条纹来测定该 单色光的波长.但为了测量的准确，要求衍射条纹必须分得很开，条纹既细且明亮.然而对单 缝衍射来说，这两个要求难以同时达到.因为若要条纹分得开，单缝的宽度a就要很小，这 样通过单缝的光能量就少，以致条纹不够明亮且难以看清楚：反之，若加大缝宽，虽然观 察到的条纹较明亮，但条纹间距变小，不容易分辨.所以实际上测定光波波长时，往往不是 使用单缝，而是采用能满足上述测量要求的衍射光栅】 15.4.1光栅衍射现象 由大量等宽、等间距平行排列的狭缝组成的光学元件称为光栅。利用透射光 衍射的光栅称透射光栅。利用反射光衍射的光栅称反射光栅。常用的透射光栅是 在玻璃片上刻出大量等宽、等间距平行刻痕制成，刻痕处相当于毛玻璃为不易透 光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一狭缝。还有利用两刻痕间的 反射光衍射的光栅，如在镀有金属层的表面上刻出许多平行刻痕，两刻痕间的光滑金 属面可以反射光，这种光栅称为反射光栅。如图15-13为透射式光栅实验的示意图，透光缝宽 为a,不透光的刻痕宽为b,则(a+b)=d称为光栅常数。现代用的衍射光栅，在1cm内， 可刻上103→104条缝，所以一般的光橱常数约为10-→106m的数量级。 如图15-13所示，平行单色光垂直照射到光栅上，由光栅射出的光线经透镜L后，会聚 于屏幕E上，因而在屏幕上出现平行于狭缝的明暗相间的光栅衍射条纹。这些条纹的特点是： 明条纹很亮很窄，相邻明纹间的暗区很宽，衍射图样十分清晰。 15.4.2光栅衍射规律
1 第 44 讲 衍射光栅 X 射线衍射 教学要求： 了解光栅光谱；X 射线的衍射；布拉格公式。理解光栅的分辨本领、干涉和衍射的区别 和联系。 掌握光栅常量、明纹条件、暗纹条件、缺级。 重点与难点： 重点：光栅常量、明纹条件、缺级。 难点：缺级。 15.4 衍射光栅 从上节的讨论我们知道，原则上可以利用单色光通过单缝时所产生的衍射条纹来测定该 单色光的波长.但为了测量的准确，要求衍射条纹必须分得很开，条纹既细且明亮.然而对单 缝衍射来说，这两个要求难以同时达到.因为若要条纹分得开，单缝的宽度 a 就要很小，这 样通过单缝的光能量就少，以致条纹不够明亮且难以看清楚；反之，若加大缝宽 a，虽然观 察到的条纹较明亮，但条纹间距变小，不容易分辨.所以实际上测定光波波长时，往往不是 使用单缝，而是采用能满足上述测量要求的衍射光栅. 15.4.1 光栅衍射现象 由大量等宽、等间距平行排列的狭缝组成的光学元件称为光栅。利用透射光 衍射的光栅称透射光栅。利用反射光衍射的光栅称反射光栅。常用的透射光栅是 在玻璃片上刻出大量等宽、等间距平行刻痕制成，刻痕处相当于毛玻璃为不易透 光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一狭缝。还有利用两刻痕间的 反射光衍射的光栅,如在镀有金属层的表面上刻出许多平行刻痕,两刻痕间的光滑金 属面可以反射光,这种光栅称为反射光栅。如图 15-13 为透射式光栅实验的示意图,透光缝宽 为 a ，不透光的刻痕宽为 b ，则 (a b) d 称为光栅常数。现代用的衍射光栅，在 1cm 内， 可刻上 3 4 10 10 条缝，所以一般的光栅常数约为 5 6 10 10 m 的数量级。 如图 15-13 所示，平行单色光垂直照射到光栅上，由光栅射出的光线经透镜 L 后，会聚 于屏幕 E 上，因而在屏幕上出现平行于狭缝的明暗相间的光栅衍射条纹。这些条纹的特点是： 明条纹很亮很窄，相邻明纹间的暗区很宽，衍射图样十分清晰。 15.4.2 光栅衍射规律
光栅是由许多单缝组成的，光栅中每一条透光缝，由于衍射，都将在屏幕上呈现单 缝衍射图样，如果光栅的总缝数为N这W套衍射条纹将完全重合。例如，各缝中角为零 的衍射光（即垂直透镜入射的平行光）经透镜L后，都会聚在透镜主光轴的焦点上，即图15-13 中的P,点，这就是各单缝衍射的中央明纹的中心位置：另一方面，各单缝的衍射光在屏幕 (a+b)sin P 图15-13光栅衍射 上重叠时，由于各缝发出的衍射光都是相干光，所以还会产生缝与缝之间的干涉效应，其干 涉条纹的明暗分布取决于相邻两缝到会聚点的光程差。因此，光栅的衍射条纹是单缝衍射 和多缝干涉的总效果，即N个缝的干涉条纹要受到单缝衍射的调制。 1光栅方程 首先讨论明条纹的位置。当平行单色光垂直照射到光栅时，每个缝均向各方向发出衍 射光，发自各缝具有相同的衍射角0的一组平行光都会聚于屏上同一点，如图1513中的P 点，这些光波叠加彼此产生干涉，称多光束干涉。从图中可以看出，任意两缝射出衍射角为 p的两衍射光到达P点的光程差都是(a+b)sip,如果此值恰好是入射光波长2的整数倍， 则这两衍射光在P点将满足相干加强条件。这时，其它任意相邻两缝相对应点发出的衍射 角？的衍射光，到达P点处的光程差也一定是入的整数倍，于是所有各缝沿该衍射角0方向 射出的衍射光在屏上会聚时，均相互加强，形成明条纹。这时在P点的合振幅是来自一条 缝的光的振幅的N倍，而合光强将是来自一条缝光强的N2倍，所以光栅的明条纹是很亮的。 由此可知，光橱衍射的明条纹位置应满足 (a+b)sinp=±k元 (k=0,1,2,) (15-7) 式(15-7)称为光栅方程。0的正负规定与单缝情形相同。k为明条纹级数。这些明条纹细窄
2 光栅是由许多单缝组成的，光栅中每一条透光缝，由于衍射，都将在屏幕上呈现单 缝衍射图样，如果光栅的总缝数为 N，这 N 套衍射条纹将完全重合。例如，各缝中 角为零 的衍射光（即垂直透镜入射的平行光）经透镜 L 后,都会聚在透镜主光轴的焦点上，即图 15-13 中的 P0 点，这就是各单缝衍射的中央明纹的中心位置；另一方面，各单缝的衍射光在屏幕 图 15-13 光栅衍射 上重叠时，由于各缝发出的衍射光都是相干光，所以还会产生缝与缝之间的干涉效应，其干 涉条纹的明暗分布取决于相邻两缝到会聚点的光程差。因此，光栅的衍射条纹是单缝衍射 和多缝干涉的总效果，即 N 个缝的干涉条纹要受到单缝衍射的调制。 1 光栅方程 首先讨论明条纹的位置。当平行单色光垂直照射到光栅时，每个缝均向各方向发出衍 射光，发自各缝具有相同的衍射角 的一组平行光都会聚于屏上同一点，如图 15-13 中的 P 点，这些光波叠加彼此产生干涉，称多光束干涉。从图中可以看出，任意两缝射出衍射角为 的两衍射光到达 P 点的光程差都是 ( )sin a b ，如果此值恰好是入射光波长 的整数倍， 则这两衍射光在 P 点将满足相干加强条件。这时，其它任意相邻两缝相对应点发出的衍射 角 的衍射光，到达 P 点处的光程差也一定是 的整数倍，于是所有各缝沿该衍射角 方向 射出的衍射光在屏上会聚时，均相互加强，形成明条纹。这时在 P 点的合振幅是来自一条 缝的光的振幅的 N 倍，而合光强将是来自一条缝光强的 2 N 倍，所以光栅的明条纹是很亮的。 由此可知，光栅衍射的明条纹位置应满足 ( )sin a b k (k 0,1,2, ) （15-7） 式(15-7)称为光栅方程。 的正负规定与单缝情形相同。k 为明条纹级数。这些明条纹细窄
而明亮，通常将明纹称为主极大条纹。0为零级主极大，也称为中央明纹。=1,2，…，称 为第一级主极大、第二级主极大…，其余类推。式(15-7)中的正负号表示各级明条纹对称 分布在中央明纹两侧。从光栅方程可以看出，在波长一定的单色光照射下，光栅常数（α+b) (a) (b) 图15-14平行单色光倾斜地入射 越小，各级明条纹的？角越大，因而相邻两个明条纹分得越开。 以上讨论的是平行单色光垂直照射到光栅上的情况。如果平行单色光倾斜地照射到光栅 上，入射方向与光栅平面法线之间的夹角为日，那么相邻两缝的入射光在入射到光栅之前已 有光程差(a+b)sinO,所以光线斜入射时的光栅方程应为 (a+b)(sinp±sin)=±kz (k=0,12,(15-8) 式中0表示衍射方向与法线间的夹角，均取正值，当0与0在法线同侧，如图15-14(a) 所示，上式左边括号中取加号，在异侧时取减号，如图15-14(b)所示。 2明条纹 由光栅方程(15-7)可知，相邻两明纹中心的角距离 (k+I)入k元 (15-9) -sin e-sin dd d 在入一定的情况下，d越小，各级明纹的衍射角则越大，即条纹分布越稀疏，而当d一定 时，各主极大的位置不变，从而它们与中心的角距离与无关。 N越大，主极大明条纹则越窄。以中央明条纹为例，它出现在日=0处。在稍稍偏过一 点的△日方向，如果光栅的最上一条缝和最下一条缝发出的光的光程差等于波长入，即 Vdsin△0=±z 时，则光栅上下两半宽度内相应的缝发出的光到达屏上将都是反相的，它们都将相消干涉以 致总光强为零。由于N一段都很大，所以△95m△0=合中央男纹的角定度是 3
3 而明亮，通常将明纹称为主极大条纹。k=0 为零级主极大，也称为中央明纹。k=1,2,„，称 为第一级主极大、第二级主极大„„，其余类推。式(15-7)中的正负号表示各级明条纹对称 分布在中央明纹两侧。从光栅方程可以看出，在波长一定的单色光照射下，光栅常数 ( ) a b 图 15-14 平行单色光倾斜地入射 越小，各级明条纹的 角越大，因而相邻两个明条纹分得越开。 以上讨论的是平行单色光垂直照射到光栅上的情况。如果平行单色光倾斜地照射到光栅 上，入射方向与光栅平面法线之间的夹角为 ，那么相邻两缝的入射光在入射到光栅之前已 有光程差 ( )sin a b ，所以光线斜入射时的光栅方程应为 ( )(sin sin ) a b k (k 0,1,2, ) （15-8） 式中 表示衍射方向与法线间的夹角，均取正值，当 与 在法线同侧，如图 15-14（a） 所示，上式左边括号中取加号，在异侧时取减号，如图 15-14（b）所示。 2 明条纹 由光栅方程（15-7）可知，相邻两明纹中心的角距离 （15-9） 在 一定的情况下， d 越小，各级明纹的衍射角则越大，即条纹分布越稀疏，而当 d 一定 时，各主极大的位置不变，从而它们与中心的角距离与 N 无关。 N 越大，主极大明条纹则越窄。以中央明条纹为例，它出现在 ＝0 处。在稍稍偏过一 点的 方向，如果光栅的最上一条缝和最下一条缝发出的光的光程差等于波长 ，即 Nd sin 时，则光栅上下两半宽度内相应的缝发出的光到达屏上将都是反相的，它们都将相消干涉以 致总光强为零。由于 N 一般都很大，所以 Nd sin ，中央明纹的角宽度是 1 1 1 sin sin k k k k k k d d d
240=2 。而中央明纹到第一级明条纹的角距离日>sin日=d,A比2△0的 2 倍还大，即中央明条纹宽度要比它和第一级明条纹的间距小得多。 对其它级明条纹的分析结果基本类似，明条纹的宽度总是与N成反比，在N很大的情 况下，比它们的间距小得多。 3暗纹条件 在光栅衍射中，相邻两主极大之间还分布着一些暗条纹。这些暗条纹是由各缝射出的衍 射光因干涉相消而形成的。可以证明，当p角满足下述条件 a+)snp=k+为A k=0,±1，±2，…(15-10) 时，则出现暗条纹。式中，k为主极大级数，N为光栅缝总数，n为正整数，取值为 n=1,2,(N-1)。由上式可知，在相邻两主极大之间分布有(N一1)个暗条纹。显然，在这 (N一1)个暗条纹之间的位置光强不为零，但其强度比各级主极大的强度要小得多，称为次级 明条纹，这些次级明条纹的光强仅为主极大的4%左右。所以，在相邻两主极大之间分布有 (N一1)个暗条纹和(N一2)个光强极弱的次级明条纹，这些明条纹几乎是观察不到的，因此实 图15-15光栅衍射的图象 际上在两个主极大之间是一片连续的暗区。由式(15-10)可知，缝数N愈多，暗条纹也愈 多，因而暗区愈宽，明条纹愈细窄。多光束干涉的结果是：在几乎黑暗的背景上出现了一系 列又细又亮的明条纹，而且光栅总缝数越大，所形成的明条纹也越细越亮。图15-15给出了光 栅衍射图样。 4单缝衍射对光强分布的影响 以上讨论多光束干涉时，并没有考虑各缝（单缝）衍射对屏上条纹强度分布的影响。实际上， 由于单缝衍射，在不同的？方向，衍射光的强度是不同的，所以光栅衍射的不同位置的明条 纹，是来源于不同光强度的衍射光的干涉加强。就是说，多光束干涉形成的光强分布要受到 单缝衍射的调制。单缝衍射光强大的方向明条纹的光强也大，单缝衍射光强小的方向明条纹 的光强也小。图15-16给出了仁4，d=4a的光栅衍射图样的光强分布图。其中图15-16(a)
4 Nd 2 2 。而中央明纹到第一级明条纹的角距离 1 sin1 d ，1 比 2 的 2 N 倍还大，即中央明条纹宽度要比它和第一级明条纹的间距小得多。 对其它级明条纹的分析结果基本类似,明条纹的宽度总是与 N 成反比，在 N 很大的情 况下，比它们的间距小得多。 3 暗纹条件 在光栅衍射中，相邻两主极大之间还分布着一些暗条纹。这些暗条纹是由各缝射出的衍 射光因干涉相消而形成的。可以证明，当 角满足下述条件 ( )sin ( ) n a b k N k 0, 1, 2, （15-10） 时，则出现暗条纹。式中， k 为主极大级数， N 为光栅缝总数， n 为正整数，取值为 n N 1,2, ( 1) 。由上式可知，在相邻两主极大之间分布有(N－1)个暗条纹。显然，在这 (N－1)个暗条纹之间的位置光强不为零，但其强度比各级主极大的强度要小得多，称为次级 明条纹，这些次级明条纹的光强仅为主极大的 4%左右。所以，在相邻两主极大之间分布有 (N－1)个暗条纹和(N－2)个光强极弱的次级明条纹，这些明条纹几乎是观察不到的，因此实 际上在两个主极大之间是一片连续的暗区。由式（15-10）可知，缝数 N 愈多，暗条纹也愈 多，因而暗区愈宽，明条纹愈细窄。多光束干涉的结果是:在几乎黑暗的背景上出现了一系 列又细又亮的明条纹,而且光栅总缝数越大,所形成的明条纹也越细越亮。图 15-15 给出了光 栅衍射图样。 4 单缝衍射对光强分布的影响 以上讨论多光束干涉时，并没有考虑各缝（单缝）衍射对屏上条纹强度分布的影响。实际上， 由于单缝衍射，在不同的 方向，衍射光的强度是不同的，所以光栅衍射的不同位置的明条 纹，是来源于不同光强度的衍射光的干涉加强。就是说，多光束干涉形成的光强分布要受到 单缝衍射的调制。单缝衍射光强大的方向明条纹的光强也大，单缝衍射光强小的方向明条纹 的光强也小。图 15-16 给出了 N=4, d a 4 的光栅衍射图样的光强分布图。其中图 15-16（a） 图 15-15 光栅衍射的图象
给出缝宽为α的单缝图样的光强分布图，图15-16(b)给出了多缝干涉图样的光强分布图， 多缝干涉和单缝干涉共同决定的光栅衍射的总光强如图15-16(c)所示。 如果光栅缝数很多，每条缝的宽度很小，则单缝衍射的中央明纹区域变得很宽，我们 通常观察到的光栅衍射图样，就是各缝的衍射光束在单缝中央明纹区域内的干涉条纹。 sing a (a)单缝衍射 -5子-4-3-2-音 0子23 5a (b)多缝干涉 -3 -22 A A -a 立2 3a45 sine (c)光栅衍射 图15-16光栅衍射的光强分布图 5缺级现象 5
5 给出缝宽为 a 的单缝图样的光强分布图，图 15-16（b）给出了多缝干涉图样的光强分布图， 多缝干涉和单缝干涉共同决定的光栅衍射的总光强如图 15-16(c)所示。 如果光栅缝数很多，每条缝的宽度很小，则单缝衍射的中央明纹区域变得很宽，我们 通常观察到的光栅衍射图样，就是各缝的衍射光束在单缝中央明纹区域内的干涉条纹。 5 缺级现象 (a) 单缝衍射 (b) 多缝干涉 (c) 光栅衍射 图 15-16 光栅衍射的光强分布图