JJp+,(x+z,(,y而 4S= = V1+z 2(Ek, nk)+z2(Sk, nk) (A0k)xy: JJ,f(x, y,z) dsn1imf(Sk,nk,z(Sk,nk))-ii=入-0V1+z 2(Ek, nk)+z,2(Sk, nk) (Aok)xy"W=1im(Z光滑）f(Sknk,z(Sk,nk))-ii1-0V1+z2(Sk, Nk)+Z,2(Sk, Nk) (40k)xySS.f(x, (x, y) 1+zx(x, y)+zy(x, y)dxdy=DXy
ΔSk = ∬( Δσk ) xy √1+ zx2( x, y)+ z y2( x, y) dxdy = √1+ zx2(ξ k' , η k' )+ zy2(ξ k' , η k' ) ( Δσk ) xy = lim λ→0 ∑k= 1 n √1+zx2(ξk' , ηk' )+zy2(ξk' , ηk' ) (Δσk ) xy = lim λ→0 ∑k= 1 n √1+zx2(ξk , ηk )+zy2(ξk , ηk ) ( Δσk ) xy = ∬Dxy f ( x, y, )√1+ zx2( x, y)+ zy z ( x , y ) 2( x, y)dxdy f ( ξ k ,η k , z ( ξ k ,η k ) )⋅ ¿ ¿ f ( ξ k ,η k , z ( ξ k ,η k ) )⋅ ¿ ¿ ∴ ∬Σ f ( x , y , z ) dS 而 ( 光滑 )
说明：1）如果曲面方程为x= x(y,z), (y,z)ED或 y= y(x,z), (x,z)ED可有类似的公式E: y= y(x,z),(x,z)EDXz1/ f(x,(x,z),z)/1+y +y"dxdzJ f(x, y,z)dS =DxZ2）若曲面为参数方程只要求出在参数意义下dS的表达式，也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分
说明: x= x( y,z), ( y, z)∈Dyz 或 y= y( x, z), ( x, z)∈Dxz 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. 2 2 ( , ( , ), ) 1 ; xz x z D f x y x z z y y dxdz + + : ( , ) ( , ) xz = y y x z x z D ，= f (x, y,z)dS
x = x(u,v),曲面为参数形式E:3 y= y(u,v), (u,v)eD,z = z(u,v), f(x, y,z)dsZ[f f(x(u, v), y(u,v),z(u, v)VEG - F'dudv,D其中E=x +y+zu,F=x,x, +yuy, +zuz,G=x,+y?+z
曲面为参数形式 = = = ( , ), : ( , ), ( , ) , ( , ), x x u v y y u v u v D z z u v = − 2 ( ( , ), ( , ), ( , )) d d , D f x u v y u v z u v EG F u v f x y z S ( , , )d 其中 2 2 2 2 2 2 , , . u u u u v u v u v v v v E x y z F x x y y z z G x y z = + + = + + = + +
dsSSx2+y2+例1.计算曲面积分其中又是球面2Za?被平面截出的顶部z=h(0<h<a）解: Z:z= -x2- , (x, y)ED,MxyhDxy: x2+ y≤ a?- h?aD1++=Xyadxdya?-r2i162+ha-h【-→ln(a-r2)=2Ta=2πaln0
Dxy 例1. 计算曲面积分 ∬ Σ dS z , 其中 是球面 x 2 + y 2 +z 2 被平面 z= h (0<h<a) 截出的顶部. 解: Σ: z= √a 2 − x 2 − y 2 , ( x, y)∈Dxy Dxy : x 2 + y 2 ≤ a 2 − h 2 √1+zx 2 +zy 2 = a √a 2 − x 2 − y 2 ∴ ∬Σ dS z = a∫ 0 2π dθ = 2π a [ − 1 2 ln(a 2 − r 2 ) ] ¿√a 2 +h 2 0 = 2π aln a h =∬Dxy a dx dy a 2 − x 2 − y 2 ∫ 0 √a 2 − h 2 rd r a 2 − r 2 = a 2 Σ x z y h a