§21.2泛函的极值 第6页 其中q和q是描写质点运动的广义坐标和广义动量,L=T-V是动能T和势能V之差, 为 量 Hamilton原理告诉我们,在一切(运动学上允许的)可能路径中,真实运动的(即由力学规 律决定的)路径使作用量S取极值 根据上面的讨论可知,作用量S取极值的必要条件的积分形式和微分形式分别是 OL dg 和 d al dt ag 在给定的有势力场中,写出 Lagrange量L的具体形式,就会发现,它和 Newton力学的动力学方 程完全一样 现在讨论泛函 (a, y, y)d 的两种常见的特殊情形. ★泛函中的F=F(x,y)不显含y 这时的 Euler- Lagrange方程就是 aF dz dy 所以,立即就可以得到它的首次积分 y7=常量C ★泛函中的F=F(y,y)不显含x 容易证明 d「;OF LOF d aFaF, aF aF d aF dr a 所以,这时的 Euler- Lagrange方程也可以有首次积分 0F=常量C 把这个结果应用到例21.3中,如果 Lagrange量L不显含t,则有 厉-1=常量C
§21.2 泛 函 的 极 值 第 6 页 其中q和q˙是描写质点运动的广义坐标和广义动量，L = T − V 是动能T和势能V 之差，称 为Lagrange量． Hamilton原理告诉我们，在一切(运动学上允许的)可能路径中，真实运动的(即由力学规 律决定的)路径使作用量S取极值． 根据上面的讨论可知，作用量S取极值的必要条件的积分形式和微分形式分别是 δS = Z t1 t0 h ∂L ∂q δq + ∂L ∂q˙ δq˙ i dt = 0 和 ∂L ∂q − d dt ∂L ∂q˙ = 0. 在给定的有势力场中，写出Lagrange量L的具体形式，就会发现，它和Newton力学的动力学方 程完全一样． 现在讨论泛函 J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y 0 ) dx 的两种常见的特殊情形． F 泛函中的F = F(x, y0 )不显含y 这时的Euler–Lagrange方程就是 d dx ∂F ∂y0 = 0, 所以，立即就可以得到它的首次积分 ∂F ∂y0 = 常量 C. F 泛函中的F = F(y, y0 )不显含x 容易证明， d dx h y 0 ∂F ∂y0 − F i =y 00 ∂F ∂y0 + y 0 d dx ∂F ∂y0 − ∂F ∂y y 0 − ∂F ∂y0 y 00 = − y 0 h ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 i , 所以，这时的Euler–Lagrange方程也可以有首次积分 y 0 ∂F ∂y0 − F = 常量 C. 把这个结果应用到例21.3中，如果Lagrange量L不显含t，则有 q˙ ∂L ∂q˙ − L = 常量 C
§21.2泛函的极值 这就是能量守恒 下面研究二元函数的情形.设有二元函数u(x,y),(x,y)∈S,在此基础上可以定义泛函 a, y, u, uz, 仍然约定,u(x,y)在S的边界T上的数值给定,即 ur固定 首先,当然要计算 Ju+Su-Ja F(, y, u+Su,(u+ Su)z,(u+Su)y)dr dy F(, y, u, ur, uy)dr dy 0 +(5u)}x,+(5n)y 01F 于是,泛函J回取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0, F +(S)z aur aF a/aF 0/0F δ u dr d a/aF ar Su).z dy 利用公式 dx (mx+) Q= OF 就能将上面的结果化为 aF a af a aF δJd]= sudrd du ar dur dy auy dr+
§21.2 泛 函 的 极 值 第 7 页 这就是能量守恒． 下面研究二元函数的情形．设有二元函数u(x, y), (x, y) ∈ S，在此基础上可以定义泛函 J[u] = ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy. 仍然约定，u(x, y)在S的边界Γ上的数值给定，即 u ¯ ¯ Γ 固定. 首先，当然要计算 J[u + δu] − J[u] = ZZ S F (x, y, u + δu, (u + δu)x, (u + δu)y) dx dy − ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy = ZZ S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i F dx dy + 1 2! ZZ S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i2 F dx dy + · · · , 于是，泛函J[u]取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0， δJ[u] = ZZ S h δu ∂F ∂u + (δu)x ∂F ∂ux + (δu)y ∂F ∂uy i dx dy = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ³ ∂F ∂ux ´ − ∂ ∂y ³ ∂F ∂uy ´i δu dx dy + ZZ S h ∂ ∂x ³ ∂F ∂ux δu ´ + ∂ ∂y ³ ∂F ∂uy δu ´i dx dy = 0. 利用公式 ZZ S ³ ∂Q ∂x − ∂P ∂y ´ dx dy = Z Γ ³ Pdx + Qdy ´ , 取 Q = ∂F ∂ux δu, P = − ∂F ∂uy δu, 就能将上面的结果化为 δJ[u] = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy + Z Γ h − ∂F ∂ux dx + ∂F ∂uy dy i δu