工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热棋型 李庆文郑明阳乔兰隋智力 Transient heat transfer model of a three-dimensional spiral heat source in an energy pile LI Qing-wen,ZHENG Ming-yang.QIAO Lan,SUI Zhi-li 引用本文： 李庆文，郑明阳，乔兰，隋智力.能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热模型.工程科学学报，2021,43(11少：1569-1576.doi: 10.13374j.issn2095-9389.2020.05.03.003 LI Qing-wen,ZHENG Ming-yang,QIAO Lan,SUI Zhi-li.Transient heat transfer model of a three-dimensional spiral heat source in an energy pile[J].Chinese Journal of Engineering.2021,43(11):1569-1576.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2020.05.03.003 在线阅读View online::htps:/ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2020.05.03.003 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 单晶锗微切削温度场建模及实验分析 Modeling and experimental analysis of micro-cutting temperature on single crystal germanium 工程科学学报.2020.42(11)：1499htps:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.11.21.003 开口管桩贯入特性的大尺度模型试验 Large-scale model test on installation characteristics of open-ended pipe pile 工程科学学报.2019,41(2：269htps:/1doi.org10.13374j.issn2095-9389.2019.02.015 热冷循环下外墙外保温系统耐候性能数值模拟 Numerical simulation of the weathering performance of an exterior wall external insulation system under heating-cooling cycles 工程科学学报.2018,40(6：754 https::/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.06.014 电弧炉内长电弧等离子体的数值模拟 Numerical simulation of a long arc plasma in an electric arc fumace 工程科学学报.2020,42S:60 https:1doi.org10.13374.issn2095-9389.2020.04.08.s04 基于多场耦合碳/碳复合材料传热及烧蚀响应 Heat transfer and ablation of carbon/carbon composites based on multi-field coupling 工程科学学报.2020,42(8：1040 https:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.06.30.002 电弧焊接数值模拟中热源模型的研究与发展 Research and development of a heat-source model in numerical simulations for the arc welding process 工程科学学报.2018,40(4：389 https:oi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.04.001
能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热模型 李庆文 郑明阳 乔兰 隋智力 Transient heat transfer model of a three-dimensional spiral heat source in an energy pile LI Qing-wen, ZHENG Ming-yang, QIAO Lan, SUI Zhi-li 引用本文: 李庆文, 郑明阳, 乔兰, 隋智力. 能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热模型[J]. 工程科学学报, 2021, 43(11): 1569-1576. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.05.03.003 LI Qing-wen, ZHENG Ming-yang, QIAO Lan, SUI Zhi-li. Transient heat transfer model of a three-dimensional spiral heat source in an energy pile[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(11): 1569-1576. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.05.03.003 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.05.03.003 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 单晶锗微切削温度场建模及实验分析 Modeling and experimental analysis of micro-cutting temperature on single crystal germanium 工程科学学报. 2020, 42(11): 1499 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.11.21.003 开口管桩贯入特性的大尺度模型试验 Large-scale model test on installation characteristics of open-ended pipe pile 工程科学学报. 2019, 41(2): 269 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.02.015 热冷循环下外墙外保温系统耐候性能数值模拟 Numerical simulation of the weathering performance of an exterior wall external insulation system under heating-cooling cycles 工程科学学报. 2018, 40(6): 754 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.06.014 电弧炉内长电弧等离子体的数值模拟 Numerical simulation of a long arc plasma in an electric arc furnace 工程科学学报. 2020, 42(S): 60 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.08.s04 基于多场耦合碳/碳复合材料传热及烧蚀响应 Heat transfer and ablation of carbon/carbon composites based on multi-field coupling 工程科学学报. 2020, 42(8): 1040 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.06.30.002 电弧焊接数值模拟中热源模型的研究与发展 Research and development of a heat-source model in numerical simulations for the arc welding process 工程科学学报. 2018, 40(4): 389 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.04.001
工程科学学报.第43卷，第11期：1569-1576.2021年11月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.11:1569-1576,November 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.05.03.003;http://cje.ustb.edu.cn 能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热模型 李庆文12，郑明阳》，乔兰12，隋智力4☒ 1)北京科技大学土木与资源工程学院，北京1000832)北京科技大学城市地下空间工程北京市重点实验室，北京1000833)中铁第四勘 察设计院集团有限公司，武汉4300614)北京城市学院城市建设学部.北京100083 ☒通信作者，E-mail:szl803@126.com 摘要将螺旋埋管等效为三维螺旋线热源，考虑螺旋埋管能源桩的传热过程，运用格林函数和第一型曲线进行积分，推导 给出了考虑时间、空间位置、埋管参数和岩土体热物理性质4参数的螺旋埋管能源桩的温度场解析解，建立高精度三维螺旋 埋管能源桩的传热模型.并通过在数值模拟软件中建立螺旋埋管能源桩三维模型，依据边界条件，求解得出三维螺旋埋管能 源桩温度场数值解.对比结果表明：所建立的能源桩三维螺旋线热源模型具有很高的解析精度.最后，基于解析模型讨论了 螺旋埋管能源桩换热温度场的空间分布和时间效应， 关键词能源桩：螺旋埋管：传热模型：温度场：解析解 分类号TU470 Transient heat transfer model of a three-dimensional spiral heat source in an energy pile LI Qing-wen2),ZHENG Ming-yang.QIAO Lan2).SUI Zhi- 1)School of Civil and Resource Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Beijing Key Laboratory of Urban Underground Space Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)China Railway Siyuan Survey and Design Group Co.,LTD.,Wuhan 430061,China 4)Urban Construction School,Beijing City University,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:sz1803@126.com ABSTRACT An energy pile is a new type of ground source heat pump system.A heat exchanger is casted into the concrete pile foundation of a building structure for the purpose of heating or cooling the building through heat exchange between the pile foundation and surrounding soil.An energy pile can be developed rapidly because of its high heat transfer efficiency and stable structure and because it requires no additional drilling requirements.In the long-term operation,energy piles have to bear both the overlying and thermal loads caused by changes in the temperature field.Thus,accurately evaluating the temperature field of an energy pile and its surrounding soil is one of the key problems in the design and application of energy piles.To improve the heat transfer efficiency of energy piles,U-type,W-type,spiral type,and similar types of coils have been developed to be casted into the energy pile.Results of thermal efficiency analysis show that the spiral type coil has the best heating and cooling performance and was nearly 150%more thermally efficient than the double U-type coil.Thus,a spiral coil is selected as the main coils'form in the current practical application. However,due to the complex heat exchange structure of the spiral pipe,the present analytical model had to be simplified to accurately characterize the temperature field characteristics of a spiral pipe casted in an energy pile.In this paper,the spiral pipe was regarded as a three-dimensional spiral heat source.Considering the existing heat transfer model,an analytical solution of the temperature field was obtained by integrating green's function and the first curve function;then,the high-precision,three-dimensional (3-D)heat transfer model of the spiral pipe was established considering the time,space,buried pipe parameters,and thermal property of host soil.In 收稿日期：202005-03 基金项目：北京市教育委员会科技计划一般资助项目(KM202011418001):中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(FRF-BD-19-004A)
能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热模型 李庆文1,2)，郑明阳3)，乔 兰1,2)，隋智力4) 苣 1) 北京科技大学土木与资源工程学院，北京 100083 2) 北京科技大学城市地下空间工程北京市重点实验室，北京 100083 3) 中铁第四勘 察设计院集团有限公司，武汉 430061 4) 北京城市学院城市建设学部，北京 100083 苣通信作者， E-mail: szl803@126.com 摘 要 将螺旋埋管等效为三维螺旋线热源，考虑螺旋埋管能源桩的传热过程，运用格林函数和第一型曲线进行积分，推导 给出了考虑时间、空间位置、埋管参数和岩土体热物理性质 4 参数的螺旋埋管能源桩的温度场解析解，建立高精度三维螺旋 埋管能源桩的传热模型. 并通过在数值模拟软件中建立螺旋埋管能源桩三维模型，依据边界条件，求解得出三维螺旋埋管能 源桩温度场数值解. 对比结果表明：所建立的能源桩三维螺旋线热源模型具有很高的解析精度. 最后，基于解析模型讨论了 螺旋埋管能源桩换热温度场的空间分布和时间效应. 关键词 能源桩；螺旋埋管；传热模型；温度场；解析解 分类号 TU470 Transient heat transfer model of a three-dimensional spiral heat source in an energy pile LI Qing-wen1,2) ，ZHENG Ming-yang3) ，QIAO Lan1,2) ，SUI Zhi-li4) 苣 1) School of Civil and Resource Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) Beijing Key Laboratory of Urban Underground Space Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 3) China Railway Siyuan Survey and Design Group Co., LTD., Wuhan 430061, China 4) Urban Construction School, Beijing City University, Beijing 100083, China 苣 Corresponding author, E-mail: szl803@126.com ABSTRACT An energy pile is a new type of ground source heat pump system. A heat exchanger is casted into the concrete pile foundation of a building structure for the purpose of heating or cooling the building through heat exchange between the pile foundation and surrounding soil. An energy pile can be developed rapidly because of its high heat transfer efficiency and stable structure and because it requires no additional drilling requirements. In the long-term operation, energy piles have to bear both the overlying and thermal loads caused by changes in the temperature field. Thus, accurately evaluating the temperature field of an energy pile and its surrounding soil is one of the key problems in the design and application of energy piles. To improve the heat transfer efficiency of energy piles, U-type, W-type, spiral type, and similar types of coils have been developed to be casted into the energy pile. Results of thermal efficiency analysis show that the spiral type coil has the best heating and cooling performance and was nearly 150% more thermally efficient than the double U-type coil. Thus, a spiral coil is selected as the main coils’ form in the current practical application. However, due to the complex heat exchange structure of the spiral pipe, the present analytical model had to be simplified to accurately characterize the temperature field characteristics of a spiral pipe casted in an energy pile. In this paper, the spiral pipe was regarded as a three-dimensional spiral heat source. Considering the existing heat transfer model, an analytical solution of the temperature field was obtained by integrating green ’s function and the first curve function; then, the high-precision, three-dimensional (3-D) heat transfer model of the spiral pipe was established considering the time, space, buried pipe parameters, and thermal property of host soil. In 收稿日期: 2020−05−03 基金项目: 北京市教育委员会科技计划一般资助项目（KM202011418001）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（FRF-BD-19-004A） 工程科学学报，第 43 卷，第 11 期：1569−1576，2021 年 11 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 11: 1569−1576, November 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.05.03.003; http://cje.ustb.edu.cn
·1570 工程科学学报，第43卷，第11期 addition,a 3-D model of a spiral pipe casted in an energy pile was created in the numerical simulation software COMSOL;after simulation,the numerical solution of the temperature field was obtained.The contrastive results showed that the built 3-D spiral heat source model has high analytical accuracy.Finally,based on the analytical model,the spatial distribution and time effect of a spiral pipe casted in an energy pile were discussed. KEY WORDS energy pile;spiral pipe;heat transfer model;temperature field;analytical solution 能源桩是一种新型的地源热泵系统，它是将 埋管换热器的二维模型和三维模型：石磊等9 换热器埋于建筑结构的混凝土桩基中，通过桩基 和武丹0]提出实心圆柱热源模型，并分析了圆柱面 础与周围土体进行换热进而实现对建筑供暖或制 热源模型各自的适用性：李新等P针对螺旋埋管能 冷的目的四在20世纪80年代，奥地利的学者创 源桩，提出线圈热源模型；Man等四将单位桩长能 造性的将换热系统埋于建筑结构桩基中，利用桩 源桩视为恒定热源，提出螺旋埋管能源桩的温度场 基混凝土的高导热性能和较大的换热截面以强化 解析解.这些传热模型在其特定的能源桩结构和工 换热效率，这是有关能源桩的最早报道四，而后逐 况下具有很好的适用性，但在普遍适用性上有待进 渐推广到瑞土和德国倒.1994年，日本学者Morino 一步发展与提高.本文针对螺旋埋管能源桩，对热 正式提出了“能源桩”的概念能源桩因为其节 源做更精确的简化假设，以傅里叶变换矢量法瞬时 能环保，且较传统的地源热泵系统换热效率更高、 温度场解为基础，运用格林函数和第一型曲线积分 施工成本更低、服役时间更长等优，点而被广泛应 知识对三维螺旋埋管能源桩温度场进行求解，以期 用问当前，在美国、澳大利亚和日本等发达国家， 求得精确的螺旋埋管能源桩温度场解析解 能源桩已被广泛采用，并且在其埋管形式、换热机 制、热力响应和实际应用等方面都取得了丰硕成 1傅里叶变换矢量法中的瞬时点热源温度场 果6川在我国，能源桩研究起步较晚，但在国家重 在三维直角坐标系中，任一坐标为x,y,z的点 视地热资源开发的大背景下，政府通过资金激励 的瞬态导热的拉普拉斯方程如式(1)所示21 和相关法规来鼓励和扶持可再生能源开发与利 80「20.a20.820 用，我国的浅层地温开发与利用得到了长足的发 ar=a a++a证 (1) 展，一系列行业规范和标准相继出台，如《地源热 其中，a为导热介质热扩散率，0为温度场，τ为热源 泵系统工程技术规范》(GB50366一2005)、《地热 发热时间 能开发利用白皮书》和《桩基地热能利用规范》 对于点热源，其温度响应表现为各向同性，点 (JGJT438一2018)等.大量使用能源桩的典型工 热源产生的温度场势必是角度对称的，因此在球 程也相继建设，如浙江温州双井小区、上海世博会 坐标系中，温度场仅与距离点热源的距离r与时 城市最佳实践区汉堡馆、南京朗诗国际街区等 间τ有关，与计算点的角度B无关.记温度场0为 目前普遍采用的能源桩埋管形式主要有U型、 (,t).温度场的傅里叶变换F(K,t),在公式中简化 W型、螺旋埋管以及多种形式并联等.其中，U型 为F,仅取决于K的模 埋管形式是从地源热泵换热体系过渡而来，但因 对公式(1)做傅里叶变换，得到公式(2)如下： 桩基础结构普遍不长，U型管路在桩体内的换热 路径不足导致换热效率偏低].W型埋管在桩内 aF =-a(a2+B2+y2)F (2) Or 出现局部最高点，顶端容易集气形成气阻影响使 其中：a、B、y为求解点方位角 用.螺旋管换热器可调节螺距，使桩基础内可利用 分离变量得式(3)： 埋管长度增加，使用安全、高效.因此螺旋埋管 a 已逐步成为能源桩埋管的主要形式 F=-ald2+B+y)dr (3) 传热模型的研究一直是国内外有关能源桩的 解式(3)得式(4)，其中常数系数为A 研究的重点.Eskilsion和Claessonls基于线热源模 (4) 型提出Eskilsion模型.Kavanaugh!6将竖直埋管换 F(K.T)=Aexp(-alKP2r) 热器看作圆柱体热源而建立圆柱热源模型，提高了 对式(4)做傅里叶逆变换得式(5)： 模型计算的精确性.国内对能源桩的研究起步较晚 0(r,t)= 2 但成果丰富，刁乃仁等)和曾义和等图提出竖直 (4nar)exar (5)
addition, a 3-D model of a spiral pipe casted in an energy pile was created in the numerical simulation software COMSOL; after simulation, the numerical solution of the temperature field was obtained. The contrastive results showed that the built 3-D spiral heat source model has high analytical accuracy. Finally, based on the analytical model, the spatial distribution and time effect of a spiral pipe casted in an energy pile were discussed. KEY WORDS energy pile；spiral pipe；heat transfer model；temperature field；analytical solution 能源桩是一种新型的地源热泵系统，它是将 换热器埋于建筑结构的混凝土桩基中，通过桩基 础与周围土体进行换热进而实现对建筑供暖或制 冷的目的[1] . 在 20 世纪 80 年代，奥地利的学者创 造性的将换热系统埋于建筑结构桩基中，利用桩 基混凝土的高导热性能和较大的换热截面以强化 换热效率，这是有关能源桩的最早报道[2] ，而后逐 渐推广到瑞士和德国[3] . 1994 年，日本学者 Morino 正式提出了“能源桩”的概念[4] . 能源桩因为其节 能环保，且较传统的地源热泵系统换热效率更高、 施工成本更低、服役时间更长等优点而被广泛应 用[5] . 当前，在美国、澳大利亚和日本等发达国家， 能源桩已被广泛采用，并且在其埋管形式、换热机 制、热力响应和实际应用等方面都取得了丰硕成 果[6−11] . 在我国，能源桩研究起步较晚，但在国家重 视地热资源开发的大背景下，政府通过资金激励 和相关法规来鼓励和扶持可再生能源开发与利 用，我国的浅层地温开发与利用得到了长足的发 展，一系列行业规范和标准相继出台，如《地源热 泵系统工程技术规范》（GB 50366—2005）、《地热 能开发利用白皮书》和《桩基地热能利用规范》 （JGJ/T 438—2018）等. 大量使用能源桩的典型工 程也相继建设，如浙江温州双井小区、上海世博会 城市最佳实践区汉堡馆、南京朗诗国际街区等[12] . 目前普遍采用的能源桩埋管形式主要有 U 型、 W 型、螺旋埋管以及多种形式并联等. 其中，U 型 埋管形式是从地源热泵换热体系过渡而来，但因 桩基础结构普遍不长，U 型管路在桩体内的换热 路径不足导致换热效率偏低[13] . W 型埋管在桩内 出现局部最高点，顶端容易集气形成气阻影响使 用. 螺旋管换热器可调节螺距，使桩基础内可利用 埋管长度增加，使用安全、高效[14] . 因此螺旋埋管 已逐步成为能源桩埋管的主要形式. 传热模型的研究一直是国内外有关能源桩的 研究的重点. Eskilsion 和 Claesson[15] 基于线热源模 型提出 Eskilsion 模型. Kavanaugh[16] 将竖直埋管换 热器看作圆柱体热源而建立圆柱热源模型，提高了 模型计算的精确性. 国内对能源桩的研究起步较晚 但成果丰富，刁乃仁等[17] 和曾义和等[18] 提出竖直 埋管换热器的二维模型和三维模型 ；石磊等[19] 和武丹[20] 提出实心圆柱热源模型，并分析了圆柱面 热源模型各自的适用性；李新等[21] 针对螺旋埋管能 源桩，提出线圈热源模型；Man 等[22] 将单位桩长能 源桩视为恒定热源，提出螺旋埋管能源桩的温度场 解析解. 这些传热模型在其特定的能源桩结构和工 况下具有很好的适用性，但在普遍适用性上有待进 一步发展与提高. 本文针对螺旋埋管能源桩，对热 源做更精确的简化假设，以傅里叶变换矢量法瞬时 温度场解为基础，运用格林函数和第一型曲线积分 知识对三维螺旋埋管能源桩温度场进行求解，以期 求得精确的螺旋埋管能源桩温度场解析解. 1 傅里叶变换矢量法中的瞬时点热源温度场 在三维直角坐标系中，任一坐标为x, y,z 的点 的瞬态导热的拉普拉斯方程如式（1）所示[23] ∂θ ∂τ = a [ ∂ 2 θ ∂x 2 + ∂ 2 θ ∂y 2 + ∂ 2 θ ∂z 2 ] （1） 其中，a为导热介质热扩散率， θ 为温度场，τ为热源 发热时间. θ τ β θ θ(r,τ) F(K,τ) |K| 对于点热源，其温度响应表现为各向同性，点 热源产生的温度场势必是角度对称的，因此在球 坐标系中，温度场 仅与距离点热源的距离 r 与时 间 有关，与计算点的角度 无关. 记温度场 为 . 温度场的傅里叶变换 ，在公式中简化 为 F，仅取决于 K 的模 . 对公式（1）做傅里叶变换，得到公式（2）如下： ∂F ∂τ = −a ( α 2 +β 2 +γ 2 ) F （2） 其中：α、β、γ 为求解点方位角. 分离变量得式（3）： ∂F F = −a ( α 2 +β 2 +γ 2 ) dτ （3） 解式（3）得式（4），其中常数系数为 A. F (K,τ) = Aexp( −a|K| 2 τ ) （4） 对式（4）做傅里叶逆变换得式（5）： θ (r,τ) = A (4πaτ) 3/2 exp( −r 2 4aτ ) （5） · 1570 · 工程科学学报，第 43 卷，第 11 期
李庆文等：能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热模型 1571· 在一点热源q为球心的球形范围内，温度波动 内部结构、能源桩的工作环境和工作时间等因素， 而储存的热能与点热源释放的热能相等，即式(6)： 提出传热解析模型的假设条件如下：(1)能源桩周 ir (6) 围岩土体或回填材料为半无限大均匀传热介质， 初始温度场为均布温度场，令其值为o,能源桩钻 式中，c为导热介质比热容，P为导热介质密度 孔周围介质的热物性为常物性，不受时间、温度等 联立(5)和(6)两式可以解出常数A,并代入得 参数的影响.(2)能源桩处于自然地面以下一定深 出瞬时点热源网在无限大导热体中的温度场函 度处，因此视能源桩上土体温度不变，恒等于初始 数，如式(7)所示： 温度.(3)将螺旋埋管简化为一个均匀发热的螺 0= 9 旋线热源与一个均匀发热的直线热源.加热时间 cp(4nar)32 exp (7) 从x=0开始.(4)不考虑地下水渗流的影响.(5)能 其直角坐标形式如式(8)所示： 源桩传热涉及交换液、混凝土和岩土体等多种介 -(2+y2+z2 质，为简化计算，取统一的热物性参数进行计算 cp(Anar)3p exp 8) 2.2几何模型及数学推导 考虑能源桩工作环境，结合3.1节中所述假设 2螺旋埋管能源桩传热模型 条件，将能源桩简化为如图1(a)所示的工作系统. 并以桩顶截面中心为原点，能源桩轴线为：轴，埋 2.1模型假设条件 深方向为正方向建立柱坐标系，其中A1和A2为线 综合考虑能源桩桩基的空间位置、能源桩的 热源上的任意点，如图I(b)所示 Ground Virtual heat sink 77777777 Spiral coils ds A2 →Br,a,) (a) (b) 图1计算的儿何模型示意图 Fig.I Schematic of a geometric used in calculation 由于螺旋型埋管管径较小，在计算时，将其 d0= 9eds 简化为与其形状相同的均匀螺旋型线热源，热 cp(4nar)32 exp (9 流密度为q.因计算域为半无限大均匀传热介质， 式中，lAB为点A与点B之间的距离 可采用虚拟热源法对该模型的温度场进行求解 根据格林函数理论，任意一点的温度响应等 虚拟热源法又称为镜像法，主要思想是将非无 于组成整个热源的无数热源微元对该点的温度响 限域传热问题拓展为无限域问题.热汇作用下 应在时间和空间上的叠加.同时考虑虚拟热汇的 原计算域边界上的温度值和热通量值与给定的边 影响可得温度响应如式(10)所示： 界条件一致，即可求出虚设热源集度.再由格林理 论即可求出给定边界上各点的温度或热通量和域 内任一给定点的温度值，根据式(8)，任意位置坐 10 标为(x,y,z)的一点，一段长度为ds的微热源qe·ds, 在任意一点B(,a,z)所引起的温度响应如式(9) P(4xar)drds 所示： 式中，lB为虚拟热汇和计算点之间的距离
在一点热源 qp 为球心的球形范围内，温度波动 而储存的热能与点热源释放的热能相等，即式（6）： qp cρ = w ∝ 0 4πr 2 θ (r,τ)dr （6） 式中，c为导热介质比热容， ρ 为导热介质密度. 联立（5）和（6）两式可以解出常数 A，并代入得 出瞬时点热源[24] 在无限大导热体中的温度场函 数，如式（7）所示： θ = qp cρ(4πaτ) 3/2 exp( −r 2 4aτ ) （7） 其直角坐标形式如式（8）所示： θ = qp cρ(4πaτ) 3/2 exp − ( x 2 +y 2 +z 2 ) 4aτ （8） 2 螺旋埋管能源桩传热模型 2.1 模型假设条件 综合考虑能源桩桩基的空间位置、能源桩的 θ0 θ0 τ = 0 内部结构、能源桩的工作环境和工作时间等因素， 提出传热解析模型的假设条件如下：（1）能源桩周 围岩土体或回填材料为半无限大均匀传热介质， 初始温度场为均布温度场，令其值为 ，能源桩钻 孔周围介质的热物性为常物性，不受时间、温度等 参数的影响. （2）能源桩处于自然地面以下一定深 度处，因此视能源桩上土体温度不变，恒等于初始 温度 . （3）将螺旋埋管简化为一个均匀发热的螺 旋线热源与一个均匀发热的直线热源. 加热时间 从 开始. （4）不考虑地下水渗流的影响. （5）能 源桩传热涉及交换液、混凝土和岩土体等多种介 质，为简化计算，取统一的热物性参数进行计算. 2.2 几何模型及数学推导 A1 A2 考虑能源桩工作环境，结合 3.1 节中所述假设 条件，将能源桩简化为如图 1（a）所示的工作系统. 并以桩顶截面中心为原点，能源桩轴线为 z 轴，埋 深方向为正方向建立柱坐标系，其中 和 为线 热源上的任意点，如图 1（b）所示. (a) (b) x y z Ground Spiral coils O Virtual heat sink ds ds A1 A2 B(r, a, z) 图 1 计算的几何模型示意图 Fig.1 Schematic of a geometric used in calculation qc (x, y,z) ds qc · ds B(r,a,z) 由于螺旋型埋管管径较小，在计算时，将其 简化为与其形状相同的均匀螺旋型线热源，热 流密度为 . 因计算域为半无限大均匀传热介质， 可采用虚拟热源法对该模型的温度场进行求解. 虚拟热源法[25] 又称为镜像法，主要思想是将非无 限域传热问题拓展为无限域问题. 热汇作用下 原计算域边界上的温度值和热通量值与给定的边 界条件一致，即可求出虚设热源集度. 再由格林理 论即可求出给定边界上各点的温度或热通量和域 内任一给定点的温度值，根据式（8），任意位置坐 标为 的一点，一段长度为 的微热源 ， 在任意一点 所引起的温度响应如式 （ 9） 所示： dθ = qcds cρ(4πaτ) 3/2 exp( −lAB 2 4aτ ) （9） 式中， lAB 为点 A 与点 B 之间的距离. 根据格林函数理论，任意一点的温度响应 θ 等 于组成整个热源的无数热源微元对该点的温度响 应在时间和空间上的叠加. 同时考虑虚拟热汇的 影响可得温度响应如式（10）所示： θ = w C1+C2 w τ 0 [ exp( −lAB 2 4aτ ) −exp( −lA′B 2 4aτ )]× qc cρ(4πaτ) 3/2 dτds （10） 式中， lA′B 为虚拟热汇和计算点之间的距离. 李庆文等： 能源桩三维螺旋线热源的瞬态传热模型 · 1571 ·
1572 工程科学学报，第43卷，第11期 简化的热源轨迹C为空间曲线，螺旋线C1和 直线C2参数方程如式(11)和式(12)所示： (12) x=rocosB 2n 其中，m为换热管公称直径，1为能源桩总长，n为换 y=rosinB (11) 热管转数，b为换热管节距 Bb邮 式(10)为第一型曲线积分，沿着曲线CC积分 2= 21-2 结果如式(13)所示： erfc erfc erfc erfo 0=- πkJ0 哈+ (13) IA B A2B 其中，k为导热介质的导热系数：a为导热介质热扩 能源桩螺旋线热源瞬态传热模型温度响应解析解 散率并根据距离公式可得AB和l'B分别为： 由温度场函数可知，能源桩温度场由时间，空间位 12 置、埋管参数和岩土体热物理性质决定.计算时， IA B= r2+-2rrocosB+ 2元n 确定四个因素，就能得到能源桩的瞬态温度场 2 2.3温度响应时间效应 IA B= r2+r-2rro cosB+ +Z 为了便于分析，下文中取α=0，在螺旋热源 2元n q的作用下，桩体和土体温度响应会随时间改变， LA2B= 该效应反映了时间效应，取L=30且=10，距离桩 2πn 轴线3倍半径，Z=2,5,10,15和20处温度如图2(a) g8=++2rrocosa+ 1B 2 所示.取L=30,Z=15,n=10,得到半径为R=2,3,4, -+2 2n 5处温度如图2(b)所示. 定义量纲为一的温度T、时间t、半径R、埋深 图2显示，能源桩时间效应表现为：随能源桩 Z及能源桩长径比L如式(14)所示： 工作时间增加，温度随之迅速上升.当工作时间增 T=4xko ,R=，L=L ,Z=3 (14) 长至特定值后，温度的增长速率变缓至趋于稳态 qc ro 0 这个时间称之为稳态初始时间tou,换言之，当 代入式(13)中，得量纲一温度响应的如式(15) t<1ou时，温度变化较快，能源桩温度场连续变化 所示： 当t>tu,温度响应变化速率极小，能源桩温度场近 LA'B 似视为稳态 erfo 2.4温度响应空间分布 LAIB LA'B 2nn. 2.4.1能源桩桩体温度场分布 当R∈[0,1]且Z∈0，L时，温度场T表征的是能 LA B 源桩桩体温度场，取L=30,=10,=1,10和300， erfc LA2B erf R=0,0.5,能源桩桩体温度如图3所示. LA2B 由图3可知，能源桩桩体温度随时间逐渐上 (15) 升；地面边界以及桩埋深以下部分对能源桩温度 2 场衍化也会产生影响，地面边界与空气流体直接 其中，LA1B=VR2+1-2 RcosB+ 2元m 接触，热通量大，埋深以下部分岩土体能为换热介 LB 质提供的散热空间大，热流更高，导致能源桩桩体 R2+1-2RcOsB+ 21 温度场分布为两端温度低，桩身中部位置温度高； LA2B=R2+1+2Rcosa+ -z) 在桩轴线位置上，温度函数在埋深方向分布较均 21 匀，在12半径处，即R=0.5位置处，温度绕桩轴线 LAB=R2+1+2Rcosa+( 2πn +Z 处温度值呈类三角函数波动，波峰数和螺旋热源 式(13)和式(15)即为本文所研究的螺旋埋管 转数相等.说明能源桩桩体温度场受埋管形式的
简化的热源轨迹 C 为空间曲线，螺旋线 C1 和 直线 C2 参数方程如式（11）和式（12）所示： x = r0 cosβ y = r0 sinβ z = lβ 2πn = bβ 2π （11） x = −r0 y = 0 z = lβ 2πn （12） r0 l n b 其中， 为换热管公称直径， 为能源桩总长， 为换 热管转数， 为换热管节距. 式（10）为第一型曲线积分，沿着曲线 C C 积分 结果如式（13）所示： θ = qc 4πk w 2nπ 0 √ r 2 0 + ( l 2πn )2 erfc( lA1B 2 √ aτ ) lA1B − erfc l A ′ 1 B 2 √ aτ l A ′ 1 B + l 2πn erfc( lA2B 2 √ aτ ) lA2B − erfc l A ′ 2 B 2 √ aτ l A ′ 2 B dβ （13） k a lAB lA′B 其中， 为导热介质的导热系数； 为导热介质热扩 散率并根据距离公式可得 和 分别为： lA1B = √ r 2 +r 2 0 −2rr0 cosβ+ ( lβ 2πn −z )2 , lA ′ 1 B = √ r 2 +r 2 0 −2rr0 cosβ+ ( lβ 2πn +z )2 , lA2B = √ r 2 +r 2 0 +2rr0 cosα+ ( lβ 2πn −z )2 , lA ′ 2 B = √ r 2 +r 2 0 +2rr0 cosα+ ( lβ 2πn +z )2 定义量纲为一的温度 T 、时间 t 、半径 R、埋深 Z 及能源桩长径比 L 如式（14）所示： T = 4πkθ qc , t = aτ r 2 0 , R = r r0 , L = l r0 , Z = z r0 （14） 代入式（13）中，得量纲一温度响应的如式（15） 所示： T = w 2nπ 0 erfc( LA1B 2 √ t ) LA1B − erfc LA ′ 1 B 2 √ t LA ′ 1 B √ 1+ ( L 2πn )2 + L 2πn erfc( LA2B 2 √ t ) LA2B − erfc LA ′ 2 B 2 √ t LA ′ 2 B （15） LA1B = √ R2 +1−2Rcosβ+ ( Lβ 2πn −Z )2 LA ′ 1 B = √ R2 +1−2Rcosβ+ ( Lβ 2πn +Z )2 LA2B = √ R2 +1+2Rcosα+ ( Lβ 2πn −Z )2 LA ′ 2 B = √ R2 +1+2Rcosα+ ( Lβ 2πn +Z )2 其 中 ， ， ， ， . 式（13）和式（15）即为本文所研究的螺旋埋管 能源桩螺旋线热源瞬态传热模型温度响应解析解. 由温度场函数可知，能源桩温度场由时间，空间位 置、埋管参数和岩土体热物理性质决定. 计算时， 确定四个因素，就能得到能源桩的瞬态温度场. 2.3 温度响应时间效应 α = 0 qc 为了便于分析，下文中取 ，在螺旋热源 的作用下，桩体和土体温度响应会随时间改变， 该效应反映了时间效应. 取 L=30 且 n=10，距离桩 轴线 3 倍半径，Z=2，5，10，15 和 20 处温度如图 2（a） 所示. 取 L=30，Z=15，n=10，得到半径为 R=2，3，4， 5 处温度如图 2（b）所示. tou t < tou t > tou 图 2 显示，能源桩时间效应表现为：随能源桩 工作时间增加，温度随之迅速上升. 当工作时间增 长至特定值后，温度的增长速率变缓至趋于稳态. 这个时间称之为稳态初始时间 ，换言之 ，当 时，温度变化较快，能源桩温度场连续变化. 当 ，温度响应变化速率极小，能源桩温度场近 似视为稳态. 2.4 温度响应空间分布 2.4.1 能源桩桩体温度场分布 当 R ∈ [0,1] 且 Z ∈ [0,L] 时，温度场 T 表征的是能 源桩桩体温度场 ， 取 L=30， n=10， t=1， 10 和 300， R=0，0.5，能源桩桩体温度如图 3 所示. 由图 3 可知，能源桩桩体温度随时间逐渐上 升；地面边界以及桩埋深以下部分对能源桩温度 场衍化也会产生影响，地面边界与空气流体直接 接触，热通量大. 埋深以下部分岩土体能为换热介 质提供的散热空间大，热流更高，导致能源桩桩体 温度场分布为两端温度低，桩身中部位置温度高； 在桩轴线位置上，温度函数在埋深方向分布较均 匀，在 1/2 半径处，即 R=0.5 位置处，温度绕桩轴线 处温度值呈类三角函数波动，波峰数和螺旋热源 转数相等. 说明能源桩桩体温度场受埋管形式的 · 1572 · 工程科学学报，第 43 卷，第 11 期