数学分析方法论选讲 第一讲整体与部分2 姚正安 §12左、右极限 本节我们讨论单变量实函数的左右极限,左右连续和左右导数等问题,也就是把整体问 题分成两个部分问题来讨论 问题12.1lmf(x)存在的充要条件是lmnf(x)=f(x0+0)与 lmf(x)=f(x0-0)存在并且相等 分析:整体正确则部分必正确.反之,部分正确,则可”拼”出整体正确.关键是要 弄清楚左、右极限的概念 证明:必要性显然,仅须证良分性,设mf(x)=A=lmf(x),从而对任给的 E>0,存在1>0和2>0, 当0<x-x0<6时,/(x)-4<E 当-2<x-x0<0时,|f(x)-4<E 取δ=m{,62}>0时,当0<x-x<6时,则0<x-x0<d和 <x-x0<0二者必居其一,从而满足①或②,所以 问题122函数f(x)在x0点连续的充要条件是∫(x)左连续且右连续 证明:f(x)在x。点连续即为lmf(x)=f(x),注意左连续即为 ∫(x0-0)=f(x),右连续即为∫(x0+0)=f(x0),用问题121即可证 同理我们可证单变量实函数∫(x)在x0可导的充要条件是f(x)在x0点的左、右导数存 在且相等
数学分析方法论选讲 第一讲 整体与部分 2 姚正安 §1.2 左、右极限 本节我们讨论单变量实函数的左右极限，左右连续和左右导数等问题，也就是把整体问 题分成两个部分问题来讨论。 问题 1.2.1 f (x) x x0 lim → 存 在 的 充 要 条 件 是 lim ( ) ( 0) 0 0 0 = + → + f x f x x x 与 lim ( ) ( 0) 0 0 0 = − → − f x f x x x 存在并且相等． 分析：整体正确则部分必正确．反之，部分正确，则可＂拼＂出整体正确．关键是要 弄清楚左、右极限的概念． 证明：必要性显然，仅须证良分性．设 f (x) A x x = → +0 0 lim f (x) x x 0 0 → lim− = ，从而对任给的 0 ，存在 1 0 和 2 0， 当 0 − 0 1 x x 时， f (x)− A ① 当－ 2 x − x0 0 时， f (x)− A ② 取 = min 1 , 2 0 时，当 0 x − x0 时，则 0 x − x0 和 − x − x0 0 二者必居其一，从而满足①或②，所以 f (x)− A ． 问题 1.2.2 函数 f (x) 在 0 x 点连续的充要条件是 f (x) 左连续且右连续． 证明： f (x) 在 0 x 点 连 续 即 为 ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x = → ． 注 意 左 连 续 即 为 ( ) ( ) 0 0 0 f x − = f x ，右连续即为 ( ) ( ) 0 0 0 f x + = f x ，用问题 1.2.1 即可证． 同理我们可证单变量实函数 f (x) 在 0 x 可导的充要条件是 f (x) 在 0 x 点的左、右导数存 在且相等．
数学分析方法论选讲 问题123对任给的x,y∈(-∞,+∞),f(x+y)=f(x)+f(y)+a(a为常数) 且f(x)在某点x右连续,则f(x)在(∞,+)中连续 分析:我们仅须证明在某点连续,然后利用已知条件,证明在所有点上连续 证明:设mnf(x+8)=f(x),而f(x+b)=f(x0)+f(6) f(x0+6)-f(x0)-a=f() 由此可得Imnf()=-a.另一方面,f(0+0)=f(0)+f(0)+a,得 f0)=-a,所以,f(x)在x=0右连续,下证f(x)在x=0左连续 由f()=f(-)=f()+f(-δ)+a, -f(+-)=f(O)+a-f(0)=f(6)+2a, 令6↓0,得m/(。)=,从而mf(6)=/(0 下证∫(x)在任意点皆连续,由 f(x+6)=f(x)+f(6)+a,对δ取极限,注意lmn∫()=-a,即得 imf(x+δ)=f(x) 其实我们后面还将证明如此的f(x)为线性函数.此外,在讨论函数的极限时往往必须 把连续变量离散化,下面我们来讨论这方面的问题 问题124海涅(Heme)定理:lmf(x)存在的充分必要条件是对任给的序列 xn},若满足mxn=x0(xn≠x0),则有mf(xn)存在 分析:这实际上也是整体与部分的关系.只不过我们这里的部分是离散形式.必要性的 证明是显然.充分性的证明我们用反证法,抽取子序列 证明:设mf(x)=A,则对任给的E>0,存在δ>0,当0<x-x|<o时, f(x)-4 <E 设mxn=x0(xn≠x),则存在N,当n>N时,0<{xn-x<6,从而满足① 即f(xn)-4<E,亦即lm∫(xn)=A 下证充分性(1)先证若mxn=x0(xn≠x0),myn=x0,(yn≠x),则
数学分析方法论选讲 问题 1.2.3 对任给的 x, y(−,+)，f (x + y) = f (x)+ f (y)+ （ 为常数）， 且 f (x) 在某点 0 x 右连续，则 f (x) 在 (− ,+) 中连续． 分析：我们仅须证明在某点连续，然后利用已知条件，证明在所有点上连续． 证明：设 ( ) ( ) 0 0 0 lim f x f x x + = ， 而 f (x0 + ) = f (x0 )+ f ( )+ ， 得 f (x + )− f (x )− = f ( ) 0 0 , 由此可得 ( ) = − f x 0 lim ．另一方面， f (0 + 0) = f (0)+ f (0)+ ，得 f (0) = − ，所以， f (x) 在 x = 0 右连续．下证 f (x) 在 x = 0 左连续． 由 f (0) = f ( − ) = f ( )+ f (− )+ , − f (− ) = f ( )+ − f (0) = f ( )+ 2 , 令 0 ,得 ( ) − = − f 0 lim ,从而 lim ( ) (0) 0 f = f ． 下证 f (x) 在任意点皆连续．由 f (x + ) = f (x)+ f ( )+ ，对 取极限，注意 ( ) = − → f 0 lim ，即得 f (x + ) = f (x) → 0 lim ． 其实我们后面还将证明如此的 f (x) 为线性函数．此外，在讨论函数的极限时往往必须 把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题． 问题 1.2.4 海涅（ Heine ）定理： f (x) x x0 lim → 存在的充分必要条件是对任给的序列 xn ，若满足 0 lim x x n n = → （ 0 x x n ），则有 ( ) n n f x → lim 存在． 分析：这实际上也是整体与部分的关系．只不过我们这里的部分是离散形式．必要性的 证明是显然．充分性的证明我们用反证法，抽取子序列． 证明：设 f (x) A x x = → 0 lim ，则对任给的 0 ，存在 0 ，当 0 x − x0 时， f (x)− A ① 设 0 lim x x n n = → （ 0 x x n ），则存在 N ，当 n N 时， 0 xn − x0 ，从而满足①， 即 f (x )− A n ，亦即 f (xn ) A n = → lim ． 下证充分性 （１） 先证若 0 lim x x n n = → （ 0 x x n ）， ( ) 0 0 lim y x , y x n n n = → ，则
数学分析方法论选讲 limf(x,)=lim f() 取 n=2k+1,则m=n=x0、(n≠x),从而 n=2k imf(n)存在且 m(n)=mn/(=x)=mf(x,)=mf(=2)=lmn/f(,) 于是对任给的序列{xn},若lxn=x0(xn≠x),则lmf(xn)存在且极限 值与{xn}的选取无关,记为A. (2)证明lmf(x)=A(反证法),若mf(x)≠A,则有E0>0,对任给的 x→x0 x→x0 d>0,总有x满足0<x2-x0<δ且使得(x)-4≥5 取δ=1,则有x满足0<x-x<6,使得 E 则有x2满足0<x2-x <min |1 xo},使得 取6=,则有x满足0<-x<mnn1-x},使得 f(xn)-4≥60 由此可以找到{xn}满足lmxn=x0(xn≠x),且 (xn)-4≥E0>0 即时 imf(xn)≠A,这与(1)之证矛盾 间题125设O(x0,)=supJ(x)-f(y),则lmf(x)存在的充分必要条件 是mno(x,0)=0
数学分析方法论选讲 ( ) = → n n lim f x ( ) n n f y → lim ． 取 = = + = 2 , 2 1, y n k x n k z k k n 则 ( ) 0 0 lim z x , z x n n n = → ，从而 ( ) n n f z → lim 存在且 ( ) = → n n lim f z ( − ) = → 2 1 lim n n f z ( ) = → n n lim f x ( ) = → n n f z2 lim ( ) n n f y → lim ． 于是对任给的序列 xn ，若 0 lim x x n n = → （ 0 x x n ），则 ( ) n n f x → lim 存在且极限 值与 xn 的选取无关，记为 A ． (2) 证明 f (x) A x x = → 0 lim （反证法），若 f (x) A x x → 0 lim ，则有 0 0 ，对任给的 0 ，总有 x 满足 0 x − x0 且使得 ( ) 0 f x − A ． 取 =1 ，则有 1 x 满足 0 x1 − x0 ，使得 ( ) 1 0 f x − A 取 2 1 = ，则有 2 x 满足 2 − 0 1 − 0 , 2 1 0 x x min x x ，使得 ( ) 2 0 f x − A ， … … 取 n 1 = ，则有 n x 满足 − 0 −1 − 0 , 1 0 min x x n x x n n ，使得 ( ) 0 f x − A n ， … … 由此可以找到 xn 满足 0 lim x x n n = → （ 0 x x n ），且 f (xn )− A 0 0， 即时 f (xn ) A n → lim ，这与（１）之证矛盾． 问题 1.2.5 设 (x ) f (x) f (y) y x x x f = − − − 0 0 0 0 0 , sup ，则 f (x) x x0 lim → 存在的充分必要条件 是 lim ( 0 , ) 0 0 = → x f ．
数学分析方法论选讲 注意m/(x0,6)=spf(x)-f() 时也有 o (xo, 8)=sup f(x) inf, f(x) 证明:设lmf(x)存在,则由柯西( Cauchy)收敛准则,对任给的E>0,存在δ>0, 当0<x-x<δ,且0<|y-y<6时,|(x)-f(0)<E,由此O,(x,6)≤E,注意 当0<6<O2时,O,(x,6)≤o/(xD2),所以必有mO(x)=0·反之,设 mO/(x0)=0,则对任给的E>0,存在6>0,o(x,0)<E,由此0<kx-xb<o 0<y-y<6时,|(x)-/()≤/(x0,)<E 间题126lmf(x)存在的充要条件是mf(x)(下极限)与mf(x)此同时(上 工→工0 极限)存在且相等 分析:注意m()=如/(,m/()m甲/() 证明:设lmf(x)=A,则对任给的E>0,存在>0,有A-E<f(x)<A+E, 当0<x-x0<6时,注意到上、下极限的定义,则有 A-E≤lmf(x)≤mnf(x)≤A+E 由E的任意性即得imf(x)=mf(x)=A 反之,设mf(x)=mf(x)=A,则有回mO(n,)=0,从而由问题12得证 问题127单变量实函数∫(x)在点x0连续的充要条件是f(x)在点x0上连续且下 连续 证明:注意上连续即为lmf(x)=/(x0),下连续即为lmf(x)=f(x),再由问题 1.2.6即可得证 仿问题124的证明方法,我们可证 问题128f(x0+0)存在的充要条件是对任给的满足条件xn>x,lmxn=x0的
数学分析方法论选讲 分析：注意 (x ) f (x) f (y) y x x x f = − − − 0 0 0 0 0 , sup ，同时也有 (x ) f (x) f (x) x x x x f − − = − 0 0 0 0 0 , sup inf ． 证明：设 f (x) x x0 lim → 存在，则由柯西（ Cauchy ）收敛准则，对任给的 0 ，存在 0 ， 当 0 x − x0 ，且 0 y − y0 时， f (x)− f (y) ，由此 ( , ) 0 x f ，注意 当 0 1 2 时， ( ) 0 1 f x , ( ) 0 2 f x , ，所以必有 lim ( 0 , ) 0 0 = → x f ．反之，设 lim ( 0 , ) 0 0 = → x f ，则对任给的 0 ，存在 0 ， ( , ) 0 x f ，由此 0 x − x0 ， 0 y − y0 时， f (x)− f (y) ( , ) 0 x f ． 问题 1.2.6 f (x) x x0 lim → 存在的充要条件是 f (x) x x0 ___ lim → （下极限）与 f (x) x x ____ 0 lim → 此同时（上 极限）存在且相等． 分析：注意 f (x) x x0 ___ lim → f (x) → x−x = 0 0 0 lim inf ， f (x) x x ____ 0 lim → f (x) x x → − = 0 0 0 lim sup ． 证明：设 f (x) A x x = → 0 lim ，则对任给的 0 ，存在 0 ，有 A− f (x) A+ ， 当 0 x − x0 时，注意到上、下极限的定义，则有 − ( ) ( ) + → → A f x f x A x x x x 0 0 ____ ____ lim lim ． 由 的任意性即得 ( ) = → f x x x0 ___ lim f (x) A x x = → ____ 0 lim ． 反之，设 f (x) f (x) A x x x x = = → → _____ _____ 0 0 lim lim ，则有 lim ( 0 , ) 0 0 = → x f ，从而由由问题 1.2.5 得证． 问题 1.2.7 单变量实函数 f (x) 在点 0 x 连续的充要条件是 f (x) 在点 0 x 上连续且下 连续． 证明：注意上连续即为 f (x) x x _____ 0 lim → = ( ) 0 f x ，下连续即为 f (x) x x0 _____ lim → = ( ) 0 f x ，再由问题 1.2.6 即可得证． 仿问题 1.2.4 的证明方法，我们可证 问题 1.2.8 ( 0) f x0 + 存在的充要条件是对任给的满足条件 n x > 0 x ， 0 lim x x n n = → 的
数学分析方法论选讲 序列mf(xn)存在;f(x0-0)存在的充要条件是对任给的满足条件xn<x0,lmxn=x 的序列有lmnf(xn)存在 问题129设f(x)对一切x∈(a+)满足等式)=f(x) ≠P>0),且 f(x)在x=0右连续,在x=1连续,则f(x)在(∞+∞)上恒为常数 证明:由f(x)=f(x|”),从而f(x)为偶函数,仅须证∫(x)在[0,+∞)上连续 在[0+2x)上f(x)=(x),取x=y,则f(y)=f(y2),所以我们不妨设P>1,则 对任给的x>0,有 f(x)=f(x)=f(x)=…=f(x”), 由m=0,得x”→1,从而用问题1.24的结论和f(x)在x=1点的连续性可知 f(x)=lim f(xP)=fO 又八(x)在x=0右连续,于是/()=(x)=lmf(x)=f(o),所以在[O+∞)上f(x) 连续,从而在(∞+∞)上边疆且恒为常数f() 以下介绍连续变量离散化方法,即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质.事实 ,前面的海涅(Heme)定理即探讨这方面的问题 问题1210函数f(x)在[ab]上连续,则函数f(x)在[ab上达到最大值 分析:设M=supf(x),则问题所要证的是存在xo∈[b],有f(x)=M ea, bl 证明:设M=s甲J(x),则对任给的k∈N,有x∈[a,使得/(x,)>M-1 由{x}有界,按致密性定理(问题11),从而可选取{x}的子序列{n} lmxn=x0,x∈[b,一方面M≥f(x1)>M-,得 n imf(xn)=M,另一方面由连续性mf(xm)=f(x0),由此f(x)=M 同理,我们可证,[a上的连续函数f(x)在[b上可达到最小值.此外,这里
数学分析方法论选讲 序列 ( ) n n f x → lim 存在； ( 0) f x0 − 存在的充要条件是对任给的满足条件 n x < 0 x ， 0 lim x x n n = → 的序列有 ( ) n n f x → lim 存在． 问题 1.2.9 设 f (x) 对一切 x(− ,+) 满足等式 ( ) = p f x f (x),(1 p 0) ，且 f (x) 在 x = 0 右连续，在 x =1 连续，则 f (x) 在 (− ,+) 上恒为常数． 证明：由 ( ) (| | ) 1 p f x = f x ，从而 f (x) 为偶函数，仅须证 f (x) 在［ 0,+) 上连续． 在［ 0,+) 上 f (x)＝ ( ) p f x ，取 p x y 1 = ，则 f (y) = ( ) 1 p f y ，所以我们不妨设 p 1 ，则 对任给的 x 0 ，有 ( ) ( ) ( ) 1 2 p p f x = f x = f x =… ( ) 1 n p = f x ， 由 0 1 lim = → n n p ，得 1 1 → n p x ，从而用问题 1.2.4 的结论和 f (x) 在 x =1 点的连续性可知 ( ) lim ( ) (1) 1 f x f x f n p n = = → . 又 f (x) 在 x = 0 右连续，于是 (1) ( ) lim ( ) (0) 0 f f x f x f x = = = ，所以在［ 0,+) 上 f (x) 连续，从而在 (− ,+) 上边疆且恒为常数 f (1)． 以下介绍连续变量离散化方法，即用抽取子序列来证明闭区间上连续函数的性质．事实 上，前面的海涅 (Heine) 定理即探讨这方面的问题． 问题 1.2.10 函数 f (x) 在 a,b 上连续，则函数 f (x) 在 a,b 上达到最大值． 分析：设 M f (x) x a,b sup = ，则问题所要证的是存在 x a,b 0 ，有 f (x0 ) = M ． 证明：设 M = f (x) x a,b sup ，则对任给的 k N ，有 xk a,b ，使得 ( ) k f xk M 1 − ． 由 xk 有界，按致密性定理（问题 1.1.11 ），从而可选取 xk 的子序列 nk x ， 0 lim x x nk k = → ， x a,b 0 ，一方面 k n n M f x k M 1 ( ) − ，得 f xnk M k = → lim ( ) ，另一方面由连续性 lim ( ) nk k f x → ( ) 0 = f x ，由此 f (x0 ) = M ． 同理，我们可证， a,b 上的连续函数 f (x) 在 a,b 上可达到最小值．此外，这里