第二十一章曲线积分与曲面积分 §1第一型线面积分 例1求(xy+yz+x)d,其中L是球面x2+y2+=2=a2与平面x+y+二=0的交线 解法1(xy+y2+x)ds=2(xy+y+2x)ds [(x+y+ 解法2求曲线L的参数方程。由x2+y2+z2=a2,x+y+z=0消去y,得 +(x+=) 即 222a2 令z==asnt,则 )=±=co 于是得到两组参数方程 x=-= cost coS t sin t √2 、a √2√6 V=-A COS/-4 sin t y=-cost sin t =-asin t =-asin t 我们可任选一组,例如第一组。显然,被积函数和L都具有轮换对称性,则 (xy+yz+ax)ds=3 eds
1 第二十一章 曲线积分与曲面积分 §1 第一型线面积分 例 1 求 + + L (xy yz zx)ds ，其中 L 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 与平面 x + y + z = 0 的交线。 解法 1 + + L (xy yz zx)ds = + + L 2(xy yz zx)ds 2 1 = + + − + + L [(x y z) (x y z )]ds 2 1 2 2 2 2 + + − = L (x y z )ds 2 1 2 2 2 = − − = L ds a a 3 2 2 解法 2 求曲线 L 的参数方程。由 2 2 2 2 x + y + z = a ， x + y + z = 0 消去 y ，得 2 2 2 2 x + (x + z) + z = a 即 ) 2 3 (1 2 ) 2 ( 2 2 2 2 z a z a x + = − 令 z asin t 3 2 = ，则 ) 2 3 (1 2 2 2 2 2 z a z a x = − − t a t a sin 6 cos 2 = − t a t a y x z sin 6 cos 2 = −( + ) = − 于是得到两组参数方程 t a t a x sin 6 cos 2 = − t a t a x sin 6 cos 2 = − − t a t a y sin 6 cos 2 = − − t a t a y sin 6 cos 2 = − z asin t 3 2 = z asin t 3 2 = 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和 L 都具有轮换对称性，则 + + L (xy yz zx)ds = L 3 zxds
√a2snt(cost--sn1)√x2()+y"2()+2()dt =V3a sin t(cost-sin n)dt=-asin2tdt=-za 解法3作坐标旋转。就坐标是(x,y),新坐标是(X,Y),旋转角为,则旋转变换的一般公 式为 x= X cos sn0, y=Xsin 0+Y cos0 因为平面x+y+z=0的单位法矢为n=÷={111},则它与z轴的夹角余弦为 丌 =÷。下面分两步进行旋转,先将Oxy平面旋转x,得新坐标系Onv2:再将Oz’平 面旋转φ,得新坐标系Onv。即 Ouve →Oa 由旋转公式得 x==(-) 二=wcosφ-usnp l+1 =wsnp+cosφ 于是得x==(uCos-+sny) 2 y=-=cosφ+"+wsmp) 二=wcosφ-lsnp 在这组变换下,曲线L:x2+y2+z2=a2,x+y+z=0变为un2+y2+v2=a2,w=0, 故∫(x+y+)=」xb=3cos-sg+b ∫Gos-)=5j2-3)d
2 = 2 0 2 3a sin t t sin t) x (t) y (t) z (t)dt 3 1 (cos 2 2 2 − + + = 2 0 3 3a sin t t sin t)dt 3 1 (cos − 3 2 0 3 2 a sin tdt a = − = − 解法 3 作坐标旋转。就坐标是 (x, y) ，新坐标是 (X,Y) ，旋转角为 ，则旋转变换的一般公 式为 x = X cos −Y sin ， y = X sin + Y cos 因为平面 x + y + z = 0 的单位法矢为 {1,1,1} 3 1 n = ，则它与 z 轴的夹角余弦为 3 1 cos = 。下面分两步进行旋转，先将 Oxy 平面旋转 4 ，得新坐标系 Ou vz ；再将 Ozu 平 面旋转 ，得新坐标系 Ouvw 。即 Oxyz Ou vz Ouvw 由旋转公式得 ( ) 2 1 x = u − v z = wcos − u sin ( ) 2 1 y = u + v u = wsin + u cos 于是得 ( cos sin ) 2 1 x = u − v + w ( cos sin ) 2 1 y = u + v + w z = wcos − u sin 在这组变换下，曲线 L ： 2 2 2 2 x + y + z = a ，x + y + z = 0 变为 2 2 2 2 u + v + w = a ，w = 0， 故 + + L (xy yz zx)ds = L 3 xyds = − + L (u cos v)(u cos v)ds 2 3 = − L (u cos v )ds 2 3 2 2 2 u v ds L ( 3 ) 2 1 2 2 = −
[( 2a'sin2tdt 注1三种解法各具特点 解法1技巧性强,直接利用了几何意义,而不必化为定积分。 解法2常规的方法,即 写出参数方程→套公式一计算定积分 这里主要难在第一步,写参数方程。通过解法2,给出了一种求参数方程的方法。 解法3先通过坐标旋转,将问题转化为另一个与之等价的问题,再按常规的方法计算。 Oxyz坐标系下的线积分→On坐标系下的线积分 写出参数方程→→套公式→→计算定积分 在新的坐标下,曲线有简单的参数方程。这个解法表明,可以适当地转化问题,例如作 坐标旋转,从而获得简单的参数方程。 §2第二型线面积分 例1计算曲线积分 Day+(x (1)L是球面三角形x2+y2+2=1,x>0,y>0,二>0的边界线,从球的外侧看去 L的方向为逆时针方向 (2)L是球面x2+y2+2=a2和柱面x2+y2=ax(a>0)的交线位于Oxy平面上方的部 分,从x轴上(b,0,0)(b>a)点看去,L是顺时针方向。 解(1)显然,L具有轮换对称性,且被积表达式也具有轮换对称性,将L分为三段 y L2:y2+2=1,x=0(y>0,z>0) 1,y=0(x>0 0) Day+(x-y =yh一xb=](0-x)一到0-y=4 G )dy+(
3 u v v ds L [( ) 4 ] 2 1 2 2 2 = + − 3 2 0 3 3 2 a 2a sin tdt a = − = − 注 1 三种解法各具特点： 解法 1 技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。 解法 2 常规的方法，即 写出参数方程 套公式 计算定积分 这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法 2，给出了一种求参数方程的方法。 解法 3 先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。 Oxyz 坐标系下的线积分 Ouvw 坐标系下的线积分 写出参数方程 套公式 计算定积分 在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作 坐标旋转，从而获得简单的参数方程。 §2 第二型线面积分 例 1 计算曲线积分 = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ， （1） L 是球面三角形 1 2 2 2 x + y + z = ， x 0， y 0 ， z 0 的边界线，从球的外侧看去， L 的方向为逆时针方向； （2） L 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 和柱面 ( 0) 2 2 x + y = ax a 的交线位于 Oxy 平面上方的部 分，从 x 轴上 (b,0,0)(b a) 点看去， L 是顺时针方向。 解 （1）显然， L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将 L 分为三段 L1： 1 2 2 x + y = ， z = 0 （ x 0， y 0 ） L2 ： 1 2 2 y + z = ， x = 0 （ y 0， z 0 ） L3： 1 2 2 x + z = ， y = 0 （ x 0， z 0 ） 则 = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 = − + − + − 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 L y z dx z x dy x y dz = − 1 2 2 3 L y dx x dy 3 (1 ) 3 (1 ) 4 1 0 2 0 1 2 = − − − = − x dx y dy 或 = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2
3( =3jydk+3-=2bk=3∫(1-x2)x-3」(-x)k=-4 注1这里利用轮换对称性使计算化简,都是写为某积分的3倍。它们的区别在于 第一种方法:积分表达式不变,积分化为L上的积分的3倍。 第二种方法:积分曲线L不变,积分化为表达式中第一项积分的3倍 问题1是否可化为既是L1上的积分的3倍,又是表达式中第一项积分的3倍,即 =∫(2-=2)+(x2-x2)+(x2-y)=9∫(y2-2) (2)曲线关于Ox平面对称,且方向相反 ∫2-2)=jo2-=2)+j(y2-=2)dx=0 L,y≥0 同理(x2-y2)=J(x2-y)k=∫(x2-y)=0 故=[(y2-=2) d+(x2-y2)z=( 下面求曲线L的参数方程 方法1利用球面的参数方程 x=acos0sin y=asin Osin g, == acos o 代入柱面方程x2+y2=ax得snφ=cos,于是得L的参数方程 x=acos 6, y=asin 8 cos =asnO,从到-z 方法2利用柱面的参数方程x cosb,y=sn6,代入球面方程 x2+y2+z2=a2,得L的参数方程 6 sn|,从2丌到0 不妨取方法1中的参数方程进行计算, I=Je2-x2)dy=a(sin20-cos'"](cos20-sin20)de a'[[-cos20-cos01(2cos20-1)de )d0
4 = − L 3 (y z )dx 2 2 = + + − 1 2 3 3( )( ) 2 2 L L L y z dx = + − 1 3 2 2 3 3 L L y dx z dx 3 (1 ) 3 (1 ) 4 1 0 2 0 1 2 = − − − = − x dx x dx 注 1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的 3 倍。它们的区别在于 第一种方法：积分表达式不变，积分化为 L1 上的积分的 3 倍。 第二种方法：积分曲线 L 不变，积分化为表达式中第一项积分的 3 倍。 问题 1 是否可化为既是 L1 上的积分的 3 倍，又是表达式中第一项积分的 3 倍，即 = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 = − 1 9 ( ) 2 2 L y z dx （2）曲线关于 Ozx 平面对称，且方向相反 − L (y z )dx 2 2 = − , 0 2 2 ( ) L y y z dx + − = , 0 2 2 ( ) 0 L y y z dx 同理 − L (x y )dz 2 2 = − , 0 2 2 ( ) L y x y dz ( ) 0 , 0 2 2 = − = L y x y dz 故 = − + − + − L I (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 = − L (z x )dy 2 2 下面求曲线 L 的参数方程。 方法 1 利用球面的参数方程 x = a cos sin ， y = asin sin ， z = a cos ， 代入柱面方程 x + y = ax 2 2 得 sin = cos ，于是得 L 的参数方程 2 x = a cos ， y = asin cos ， z = a |sin | ， 从 2 到 2 − 方法 2 利用柱面的参数方程 cos 2 2 a a x = + ， sin 2 a y = ，代入球面方程 2 2 2 2 x + y + z = a ，得 L 的参数方程 cos 2 2 a a x = + ， sin 2 a y = ， | 2 |sin z = a ， 从 2 到 0 不妨取方法 1 中的参数方程进行计算， = − L I (z x )dy 2 2 − = − − / 2 / 2 2 2 4 2 2 [sin cos ] (cos sin ) a a d = − − − 0 / 2 3 2 4 2 2 [1 cos cos ](2cos 1) a d = − − + − − / 2 0 3 2 4 6 2 ( 1 3cos cos 2cos ) a d
4 4.2·2 注2这里利用对称性(不是轮换对称性),立即可知前两项的积分为0。值得注意的是第二型的 曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的。例如第一项积分,曲线关于Ox平面对 称,且方向相反,而被积函数关于y是偶函数(不是奇函数),则 0y2-2)=jo2-=2)+∫(2-=)=0 上面等式中,两项恰好相差一个符号,负号的出现是由于方向相反产生的
5 3 3 2 ] 6 4 2 2 5 3 2 4 2 2 3 4 3 2 1 2a [ a = − = − − + − 注 2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为 0。值得注意的是第二型的 曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的。例如第一项积分，曲线关于 Ozx 平面对 称，且方向相反，而被积函数关于 y 是偶函数（不是奇函数），则 − L (y z )dx 2 2 = − , 0 2 2 ( ) L y y z dx + − = , 0 2 2 ( ) 0 L y y z dx 上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的