中山大学：《数学分析》关于连续函数性质的处理的新设想

关于闭区间上连续函数性质的处理的新设想 在教材《数学分析简明教程》(邓东皋尹小玲编著,高等教育出版社)中,闭区间上连 续函数的三大性质:介值定理,最大值定理,一致连续性定理,都是在他们需要出现的时 候才出现,而且它们的证明都是用实数连续性定理证明的。整个体系可以用下图表示出来。 实数连续性定理 单调有界原理 介值定理 最值定理 致连续性定理 反函数连 罗尔中值 连续函数 (1+-) 续性定理 定理 可积定理 在教学中,我们也可尝试在单调有界原理之后,引入区间套,再用区间套定理来证明闭 区间上连续函数的三大性质。或直接用实数连续性定理证明区间套定理,再用区间套定理证 明单调有界原理和闭区间上连续函数的三大性质。即采用如下的体系: 实数连续性定理 单调有界原理 区间套定理 介值定理 最值 致连续性定理 反函数连 罗尔中值 连续函数 续性定理 定理 理 实数连续性定理 区间套定理 单调有界原理 介值定理最值定理 致连续性定理 im(1+-)=e 反函数连罗尔中值 连续函数 续性定理定理 可积定理

1 关于闭区间上连续函数性质的处理的新设想 在教材《数学分析简明教程》（邓东皋 尹小玲编著，高等教育出版社）中，闭区间上连 续函数的三大性质：介值定理，最大值定理，一致连续性定理，都是在他们需要出现的时 候才出现，而且它们的证明都是用实数连续性定理证明的。整个体系可以用下图表示出来。 在教学中，我们也可尝试在单调有界原理之后，引入区间套，再用区间套定理来证明闭 区间上连续函数的三大性质。或直接用实数连续性定理证明区间套定理，再用区间套定理证 明单调有界原理和闭区间上连续函数的三大性质。即采用如下的体系： 实数连续性定理 单调有界原理 e n n n + = → ) 1 lim (1 罗尔中值 定理 最值定理 反函数连 续性定理 介值定理 一致连续性定理 连续函数 可积定理 实数连续性定理 e 单调有界原理 n n n + = → ) 1 lim (1 罗尔中值 定理 最值定理 反函数连 续性定理 介值定理 一致连续性定理 连续函数 可积定理 区间套定理 实数连续性定理 单调有界原理 e n n n + = → ) 1 lim (1 罗尔中值 定理 最值定理 反函数连 续性定理 介值定理 一致连续性定理 连续函数 可积定理 区间套定理

为方便使用我们的教材,下面分别给出用区间套定理推出单调有界原理和闭区间上连续 函数的三大性质的证明 单调有界原理若数列{xn}单调上升有上界,则{xn}必有极限。 证明用区间套定理。设{xn}是单调上升有上界的数列。若x是{xn}的上界,则{xrn}是常 值数列,必有极限。不妨设x不是{xn}的上界,记a1=x1,设b1是{xn}的一个上界。二等 分{a1,b1],分点为c1,若c1是{xn}的上界,令a2=a1,b2=c1,否则,令a2=c1,b2=b1 二等分[a2,b2],分点为c2,…。如此继续下去,得一区间套{an,bn},满足ⅵ,an不是{xn} 的上界,b是{xn}的上界。由区间套定理,存在唯一的实数r∈∩an,bn1。这时有 lim a =lim b 故,VE>0,彐N,使得 r-E<aN <bN<r+E 由a不是{xn}的上界知,彐m,使得aN<xm,由{xn}单调上升及bn是{xn}的上界得,当 n>m时,有 即 lim x=r 介值定理若f(x)在[a,b连续,f(a)>0,f(b)<0,则存在彐c∈[ab],使得f(c)=0 证明用区间套定理。记[a1,b1]=[ab,二等分{a1,b1],分点为c1,若f(c1)=0,则定理证 完,否则,若f(c1)>0,则取[a2,b2]=c1,b1],若f(c1)<0,则取[a2,b2]={a1c1];二等分 a2,b2],分点为c2,…如此继续下去,得一区间套{an,bn},满足Ⅶn,f(an)>0,f(bn)<0。 根据区间套定理,知存在唯一的实数r∈∩anbn],这时有 lim a=limb=r。由f(x)在 r连续,知 f(r)=limf(an)≥0,f(r)=lmf(bn)≤0 n→ 故f(r)=0,定理证完 最大值定理若∫(x)在{ab上连续,则f(x)在[ab]上达到其最大值与最小值 证明用区间套定理.二等分{a,b,分点为c。则a,d],[c,b]两区间中至少有一区间 满足性质:另一区间中的每一个点x,在这个区间中存在一个点y0,使得f(x0)≤f(yo) 事实上,不妨设[c,b满足上述性质,则wx∈[al,y∈[c,b,使得f(x)≤f(y)。因为若不 然,彐x∈[ad],使得vy∈[c,b,有f(x0)>f(y),即[a,c]满足上述性质 记[a1,b1]={a,b],二等分{a1,b],分点为c1,则[a1,c1],[c1,b1]两区间中至少有一区间 满足上述性质,将这个区间记为[a2,b21;二等分[a2,b21,分点为c2,则[a2,c2],[e2,b21两 区间中至少有一区间满足上述性质,将这个区间记为[a3b3];…,如此继续下去,得一区 间套{anbn]},由区间套定理,存在唯一的实数r∈∩an,bn]。 下证/()=mx(x)。Wx∈b,x≠r,3n,使xean-,b-1,但xean,hn]。由 区间套的构造,x1∈an,bn],使得f(x)≤f(x)。对x1,彐n2>n,使x∈lan-1,bn2-1

2 为方便使用我们的教材，下面分别给出用区间套定理推出单调有界原理和闭区间上连续 函数的三大性质的证明。 单调有界原理 若数列 { }n x 单调上升有上界，则 { }n x 必有极限。 证明 用区间套定理。设 { }n x 是单调上升有上界的数列。若 1 x 是 { }n x 的上界，则 { }n x 是常 值数列，必有极限。不妨设 1 x 不是 { }n x 的上界，记 1 1 a = x ，设 1 b 是 { }n x 的一个上界。二等 分 [ , ] a1 b1 ，分点为 1 c ，若 1 c 是 { }n x 的上界，令 a2 = a1， 2 1 b = c ，否则，令 2 1 a = c ，b2 = b1。 二等分 [ , ] a2 b2 ，分点为 2 c ，…。如此继续下去，得一区间套 {[ , ]} an bn ，满足 n ，an 不是 { }n x 的上界， bn 是 { }n x 的上界。由区间套定理，存在唯一的实数   =  1 [ , ] n an bn r 。这时有 lim lim n n n n a b r → → = = 故，   0， N ，使得 r −  a  b  r + N N 由 aN 不是 { }n x 的上界知， m ，使得 aN  xm ，由 { }n x 单调上升及 bn 是 { }n x 的上界得，当 n  m 时，有 r −  a  x  x  b  r + N m n N 即 x r n n = → lim 。 介值定理 若 f (x) 在 [a,b] 连续， f (a)  0， f (b)  0 ，则存在 c[a,b] ，使得 f (c) = 0 ． 证明 用区间套定理。记 [ , ] [ , ] a1 b1 = a b ，二等分 [ , ] a1 b1 ，分点为 1 c ，若 f (c1 ) = 0 ，则定理证 完，否则，若 f (c1 )  0 ，则取 [ , ] [ , ] 2 2 1 b1 a b = c ，若 f (c1 )  0 ，则取 [ , ] [ , ] 2 2 1 1 a b = a c ；二等分 [ , ] a2 b2 ，分点为 2 c ，…。如此继续下去，得一区间套 {[ , ]} an bn ，满足 n ，f (an )  0 ，f (bn )  0 。 根据区间套定理，知存在唯一的实数   =  1 [ , ] n an bn r ，这时有 lim lim n n n n a b r → → = = 。由 f (x) 在 r 连续，知 ( ) = lim ( )  0 → n n f r f a ， ( ) = lim ( )  0 → n n f r f b 故 f (r) = 0 ，定理证完。 最大值定理 若 f (x) 在 [a,b] 上连续，则 f (x) 在 [a,b] 上达到其最大值与最小值。 证明 用区间套定理．二等分 [a,b] ，分点为 c 。则 [a, c]，[c, b] 两区间中至少有一区间 满足性质：另一区间中的每一个点 0 x ，在这个区间中存在一个点 0 y ，使得 ( ) ( ) 0 0 f x  f y 。 事实上，不妨设 [c, b] 满足上述性质，则 x[a, c]，y[c,b] ，使得 f (x)  f (y) 。因为若不 然， [ , ] 0 x  a c ，使得 y [c,b] ，有 ( ) ( ) 0 f x  f y ，即 [a, c] 满足上述性质。 记 [ , ] [ , ] a1 b1 = a b ，二等分 [ , ] a1 b1 ，分点为 1 c ，则 [ , ] 1 1 a c ，[ , ] 1 b1 c 两区间中至少有一区间 满足上述性质，将这个区间记为 [ , ] a2 b2 ；二等分 [ , ] a2 b2 ，分点为 2 c ，则 [ , ] 2 2 a c ，[ , ] 2 b2 c 两 区间中至少有一区间满足上述性质，将这个区间记为 [ , ] a3 b3 ；…，如此继续下去，得一区 间套 {[ , ]} an bn ，由区间套定理，存在唯一的实数   =  1 [ , ] n an bn r 。 下证 ( ) max ( ) [ , ] f r f x x a b = 。x[a,b]，x  r ，n1 ，使 [ , ]  an1−1 bn1−1 x ，但 [ , ] n1 n1 x a b 。由 区间套的构造， [ , ] 1 n1 n1 x  a b ，使得 ( ) ( ) 1 f x  f x 。对 1 x ， n2  n1 ，使 [ , ] 1  an2 −1 bn2 −1 x

但x1{an2b2。于是,x2∈回n,b2],使得f(x)≤f(x2)。…,如此继续下去,得一数 满足 ∈{an,bn],且f(x)≤f(xk)。由于lmxk=r以及f(x)的连续 性,f(x)≤lmf(xk)=f(r),即f()=mx,f(x)。 致连续性定理(康托( cantor,1845-1918)定理)若∫(x)在闭区间[a,b上连续,则在[a,b 上一致连续 证明用区间套定理.用反证法。若不然,f(x)在{a,b上不一致连续,则彐E0>0,Vδ>0, 式x,x∈b,有x-xkb,但(x)-f(x”)2则在区间a1c2],tan,b]两区间中至少 记{a1,b1]={a,b,三等分a1,b1],分点为c1,c2 有一区间具有性质(P):对上述0>0,δ>0,在该区间中存在x,x",满足|x-x"kd, lf(x)-f(x")≥E 因为若不然,在区间[a1,c2],[c1,b1]两区间都不具有上述性质(P),则对上述co 61>0(1<(b-a),Wx,x"∈[a1,c2],只要|x'-x"k<1,就有 f(x-f(x")k Eo 362>0(a2<(b-a),Wx',x"∈c1,b1],只要|x'-xk62,就有 If(x-f(x)k Eo 令δ=mmn(1,62),则wx,x"∈[a,b],只要|x'-x"kd,就有x,x”同时在[a1,c2]或c1,b1]中 从而有|f(x)-f(x)k。这与最初的假设矛盾。 将{a1,c2],[e1,b1两区间中具有上述性质(P)的区间记为{a2,b2],三等分a1,b1], 如此继续下去,得一区间套{an,bn},满足Ⅶ,[an,bn]具有上述性质(P),由区间套定理, 存在唯一的实数r∈∩an,bn 由f(x)在点r连续,则彐n>0,当x-rkn时,有 lf(x)-f()k0/2 由man=lmbn=r,则N,当n>N时,有{an,bn]c(r-n,r+n),于是vx,x"∈[an,bn]有 n→) If(x)-f(xkEo 这与{anbn]具有上述性质(P)矛盾。故f(x)在{ab上一致连续 最后给出用实数连续性定理证明区间套定理的证明。 区间套定理设{ an,bnI}是一区间套,则存在唯一的实数r∈∩an,bn 证明用实数连续性定理。令A={x|mn,x≤an},B=R\A,则A|B是R的一个分划。事实 上a1∈A,b1+1∈B,即A,B非空;由B的定义,A,B不漏;a∈A,vb∈B,则丑n,a≤an, Ⅵnb>an,故a<b,即A,B不乱。故A|B确是R的一个分划。由实数连续性定理,存在唯 一的实数r,使得Va∈A,vb∈B,有a≤r≤b

3 但 [ , ] 1 n2 n2 x  a b 。于是， [ , ] 2 n2 n2 x  a b ，使得 ( ) ( ) 1 2 f x  f x 。…，如此继续下去，得一数 列 { }k x ，满足 nk+1  nk ， [ , ] nk nk xk  a b ，且 ( ) ( ) k f x  f x 。由于 x r k n = → lim 以及 f (x) 的连续 性， f (x) lim f (x ) f (r) k n  = → ，即 ( ) max ( ) [ , ] f r f x x a b = 。 一致连续性定理（康托（cantor，1845-1918）定理）若 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则在 [a,b] 上一致连续。 证明 用区间套定理．用反证法。若不然， f (x) 在 [a,b] 上不一致连续，则  0  0，  0 ， x  , x [a,b] ，有 | x  − x  |  ，但 0 | f (x ) − f (x )|  。 记 [ , ] [ , ] a1 b1 = a b ，三等分 [ , ] a1 b1 ，分点为 1 c ， 2 c 。则在区间 [ , ] 1 2 a c ，[ , ] 1 b1 c 两区间中至少 有一区间具有性质（P）：对上述  0  0，  0 ，在该区间中存在 x  , x  ，满足 | x  − x  |  ， 但 0 | f (x ) − f (x )|  。 因为若不然，在区间 [ , ] 1 2 a c ， [ , ] 1 b1 c 两区间都不具有上述性质（P），则对上述 0  ， ( )) 3 1 0(  1   1  b − a ， , [ , ] 1 2 x  x  a c ，只要 1 | x  − x  |  ，就有 0 | f (x ) − f (x )|  。 ( )) 3 1 0(  2   2  b − a ， , [ , ] 1 b1 x  x  c ，只要 2 | x − x  |  ，就有 0 | f (x ) − f (x )|  。 令 min( , )  =  1  2 ，则 x  , x [a,b] ，只要 | x − x  | ，就有 x  , x  同时在 [ , ] 1 2 a c 或 [ , ] 1 b1 c 中， 从而有 0 | f (x ) − f (x )|  。这与最初的假设矛盾。 将 [ , ] 1 2 a c ，[ , ] 1 b1 c 两区间中具有上述性质（P）的区间记为 [ , ] a2 b2 ，三等分 [ , ] a1 b1 ，…， 如此继续下去，得一区间套 {[ , ]} an bn ，满足 n ，[ , ] an bn 具有上述性质（P），由区间套定理， 存在唯一的实数   =  1 [ , ] n an bn r 。 由 f (x) 在点 r 连续，则   0 ，当 | x − r | 时，有 | f (x) − f (r)|  0 / 2 由 a b r n n n n = = → → lim lim ，则 N ，当 n  N 时，有 [a ,b ]  (r −,r +) n n ，于是 , [ , ] an bn x  x  有 0 | f (x ) − f (x )|  这与 [ , ] an bn 具有上述性质（P）矛盾。故 f (x) 在 [a,b] 上一致连续。 最后给出用实数连续性定理证明区间套定理的证明。 区间套定理 设 {[ , ]} an bn 是一区间套，则存在唯一的实数   =  1 [ , ] n an bn r 。 证明 用实数连续性定理。令 { | , } an A = x n x  ， B = R \ A ，则 A | B 是 R 的一个分划。事实 上 a1  A，b1 +1 B ，即 A, B 非空；由 B 的定义， A, B 不漏； a  A，b  B ，则 n a  an , ， n b  an , ，故 a  b ，即 A, B 不乱。故 A | B 确是 R 的一个分划。由实数连续性定理，存在唯 一的实数 r ，使得 a  A，b  B ，有 a  r  b

下证r∈∩an,bn]。因为n,由A的定义,an∈A,故an≤r。又nm,有am<bn, 则bn∈B,从而r≤bn。即r∈∩an,bn] 最后证明唯一性。若有r,r满足r∈∩Ian,bn,r∈∩an,b,则 r-r'kbn-an→0(n→∞) 故r=r。即这样的r是唯一的

4 下证   =  1 [ , ] n an bn r 。因为 n ，由 A 的定义， an  A ，故 a r n  。又 n, m ，有 am  bn ， 则 bn B ，从而 bn r  。即   =  1 [ , ] n an bn r 。 最后证明唯一性。若有 r,r  满足   =  1 [ , ] n an bn r ，   =  1 [ , ] n an bn r ，则 |r − r  | b − a → 0(n → ) n n 故 r = r  。即这样的 r 是唯一的