观察图象,完成下表 抛物线与x轴公共点相应的一元二次 公共点个数横坐标方程的根 y=x2-x+1 0个 x2-x+1=0无解 y=y2-6x+91个 x2-6x+9=0,x1=x2=3 y=x2+x-22个 2,1x2+x-2=0,x1=2x2 x2-x+ y元x2-6x+9 y=x2+x-2
1 y = x 2－6x＋9 y = x 2－x＋1 y = x 2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴 公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x 2－x＋1 y = x 2－6x＋9 y = x 2＋x－2 0个 1个 2个 x 2 -x+1=0无解 0 x 2 -6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x 2+x-2=0，x1=-2,x2=1
知识要点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的 元二次方程 b2-4ac 图象气轴交点ax2+bx+c=0的根 有两个交点 有两个不相等b2-ac> 的实数根 有两个重合有两个相等的实b2-4ac= 的交点 数根 没有交点没有实数根 b2-4ac<
知识要点 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b 2 -4ac 有两个交点 有两个不相等 的实数根 b 2 -4ac > 0 有两个重合 的交点 有两个相等的实 数根 b 2 -4ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2 -4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系
例1:已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(mO0) (1)求证:此抛物线与轴总有两个交点; (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都 是整数,求正整数m的值. (1)证明:∵m40, △=(m+2)2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2 (m-2)20, 此抛物线与x轴总有两个交点;
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2 . ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点；
例1:已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m0) (1)求证:此抛物线与轴总有两个交点; (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都 是整数,求正整数m的值 (2)解:令y=0,则(x-1)mx-2)=0, 所以x-1=0或mx-2=0, 解得x1=1,x 当m为正整数1或2时,x2为整数,即抛物线与x轴总 有两个交点,且它们的横坐标都是整数 所以正整数m的值为1或2
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． m 2
变式:已知:抛物线y=x2+ax+a-2 (1)求证:不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2 与x轴都有两个不同的交点; (2)设这个二次函数的图象与轴相交于4(x1,0), B(x2,0),且x、x2的平方和为3,求a的值 (1)证明:∵△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0, 不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2与x轴都 有两个不同的交点; (2)解:∵x1+x2=-a,x1x2=a-2, x1(2)+x2(2)=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2a+4=3, a=1
变式：已知：抛物线y＝x 2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x 2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a 2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x 2＋ax＋a－2与x轴都 有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2 ) 2－2x1·x2＝a 2－2a＋4＝3， ∴a＝1