D0I:10.13374/1.issm100103.2008.08.024 第30卷第8期 北京科技大学学报 Vol.30 No.8 2008年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2008 类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 翁贻方1,2) 郑德玲)鞠 磊3) 1)北京工商大学信息工程学院，北京1000372)北京科技大学信息工程学院，北京100083 3)北京电子科技学院通信系，北京100070 摘要针对混沌同步保密通信中由于同步实现导致参数敏感性下降，无法保证安全性的普遍问题，提出一类新的具有时变 参数的混沌同步保密通信的理论方法，并证明了其同步稳定性·时变参数使混沌系统运动轨迹总体服从奇异吸引子，局部小 范围作随机波动，混沌运动的复杂性显著提高，难以用参数估计方法破译.参数敏感度级数从1级提高到10级，使之有效抵 御穷举法、基于相空间重构等方法的攻击·若采用主动被动同步方式，同步误差为零.本方法适用于一类连续混沌系统 关键词保密通信：混沌同步：时变参数：安全性 分类号TN918.1 A kind of chaotic synchronized secure communication methodology with time- varying parameters WENG Yifang2.ZHENG Deling?,JU Lei 1)School of Information Engineering.Beijing Technology and Business University.Beijing 100037.China 2)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 3)Department of Communication.Beijing Electronic Science and Technology Institute,Beijing 100070.China ABSTRACT A kind of chaotic synchronized secure communication scheme with timevarying parameters was proposed to solve the problem of parameter sensitivity reduction caused by chaotic synchronization.which further degrades the security.The stability of synchronization was then proved.It is unique that the chaotic activities obey the strange attractor globally.while in local they move randomly.As a result,the chaotic obits are more complex,the parameter sensitivity degree rises from I to 10.It makes the system hard to be broken by exhaustive attack and phase space restructuring.When the active"passive decomposition method is used,the se- cure communication scheme has no synchronized error.Simulation results indicate the effectiveness of the method.It is applicable to a kind of continuous chaotic system KEY WORDS secure communication:chaotic synchronization:time varying parameter:security 混沌是确定性非线性系统所特有的运动形态， 模糊遗传算法门等均被采用，取得较好的同步控制 出现在某些耗散系统、不可积Hamilton保守系统和 效果.上述工作以理论研究为主，时钟间隔脉冲驱 非线性离散映射系统中，混沌运动主要独有的特征 动同步8)方法的提出和数字实现则是朝着实际应 是有界性、遍历性、内随机性等，近20年来，混沌同 用迈进的一个亮点， 步保密通信的研究一直是个热点，这方面的工作近 混沌同步保密通信具有自同步功能，不必外 年与控制学科有较为紧密的结合，取得了一定的成 加同步信号，就可进行实时通信，混沌的初值敏感 果.除了PI一状态观测器山、未知输入的多重状态 性所表现出的运动轨道不可预测性，是抵御穷举法、 观测器]、连续有限时间状态观测器]被用于实现 相空间重构等分析方法的安全保障。但是混沌同步 混沌同步，最优控制[闺、PID控制、进化算法6]和 实现后，混沌系统变得对参数、初值的变化极不敏 收稿日期：2007-08-08修回日期：2008-03-05 基金项目：北京市优秀人才专项经费资助项目(N。,20041D0500309) 作者简介：翁贻方(1954-)，女，教授，博士，E-mail:yifangweng@126.com
一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 翁贻方12） 郑德玲2） 鞠 磊3） 1） 北京工商大学信息工程学院北京100037 2） 北京科技大学信息工程学院北京100083 3） 北京电子科技学院通信系北京100070 摘 要 针对混沌同步保密通信中由于同步实现导致参数敏感性下降无法保证安全性的普遍问题提出一类新的具有时变 参数的混沌同步保密通信的理论方法并证明了其同步稳定性．时变参数使混沌系统运动轨迹总体服从奇异吸引子局部小 范围作随机波动混沌运动的复杂性显著提高难以用参数估计方法破译．参数敏感度级数从1级提高到10级使之有效抵 御穷举法、基于相空间重构等方法的攻击．若采用主动－被动同步方式同步误差为零．本方法适用于一类连续混沌系统． 关键词 保密通信；混沌同步；时变参数；安全性 分类号 T N918∙1 A kind of chaotic synchronized secure communication methodology with timevarying parameters W ENG Y if ang 12）ZHENG Deling 2）JU Lei 3） 1） School of Information EngineeringBeijing Technology and Business UniversityBeijing100037China 2） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 3） Department of CommunicationBeijing Electronic Science and Technology InstituteBeijing100070China ABSTRACT A kind of chaotic synchronized secure communication scheme with time-varying parameters was proposed to solve the problem of parameter sensitivity reduction caused by chaotic synchronizationwhich further degrades the security．T he stability of synchronization was then proved．It is unique that the chaotic activities obey the strange attractor globallywhile in local they move randomly．As a resultthe chaotic obits are more complexthe parameter sensitivity degree rises from 1to10．It makes the system hard to be broken by exhaustive attack and phase space restructuring．When the active-passive decomposition method is usedthe secure communication scheme has no synchronized error．Simulation results indicate the effectiveness of the method．It is applicable to a kind of continuous chaotic system． KEY WORDS secure communication；chaotic synchronization；time-varying parameter；security 收稿日期：2007-08-08 修回日期：2008-03-05 基金项目：北京市优秀人才专项经费资助项目（No．20041D0500309） 作者简介：翁贻方（1954－）女教授博士E-mail：yifangweng＠126．com 混沌是确定性非线性系统所特有的运动形态 出现在某些耗散系统、不可积 Hamilton 保守系统和 非线性离散映射系统中．混沌运动主要独有的特征 是有界性、遍历性、内随机性等．近20年来混沌同 步保密通信的研究一直是个热点．这方面的工作近 年与控制学科有较为紧密的结合取得了一定的成 果．除了 PI－状态观测器［1］、未知输入的多重状态 观测器［2］、连续有限时间状态观测器［3］被用于实现 混沌同步最优控制［4］、PID 控制［5］、进化算法［6］和 模糊遗传算法［7］等均被采用取得较好的同步控制 效果．上述工作以理论研究为主时钟－间隔脉冲驱 动同步［8］方法的提出和数字实现则是朝着实际应 用迈进的一个亮点． 混沌同步保密通信具有自同步功能［9］不必外 加同步信号就可进行实时通信．混沌的初值敏感 性所表现出的运动轨道不可预测性是抵御穷举法、 相空间重构等分析方法的安全保障．但是混沌同步 实现后混沌系统变得对参数、初值的变化极不敏 第30卷 第8期 2008年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．8 Aug．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．08．024
第8期 翁贻方等：一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 .953. 感，使保密通信不再安全；因为混沌同步机制的本质 x1=一1x1十41x2 是通过某种方式克服混沌动力系统的初值敏感性， x2=一x1x3十x1-x2 从而使两个或多个同构的混沌系统同步，因此需要 (7) X3=x1x2一3x3 研究既能实现混沌同步，又保证保密通信安全性的 4=「10288/3101101P 混沌同步理论方法， 令中有微小偏差△=10-14，并取L=5.经过一个 1 混沌同步与初值敏感性 瞬态过程，有‖e‖≥5，此处e表示系统参数向量 改变前后状态的误差，根据定义2，可确定Lorenz 设n维系统： 系统在非同步方式下的参数敏感度级数1为14级， (t)=f(x,t),x∈R",x(to)=x°(1) 在主动一被动同步[1机制下驱动系统和响应系 其中，n维向量函数f(x)的各元素f:(x),i=1, 统的Lorenz方程分别为： 2,,n是x的有界、连续可微单值函数.设参数向 x1=一1x1十s(t) 量a∈Rm使系统(I)处于混沌态，a和初值x°组成 龙2=一x1x3十2x1一x2 向量=[ax]T,∈Rm+n. (8) 元3=x1x2-3x3 系统(1)的同构系统为： s(t)=ax2十m(t) y(t)=f(y,t),y∈R",y(to)=y° (2) 1=-By1+s(t) 同理有参数向量B∈Rm与初值y°的组合向量，= y2=-1y3十By1-y2 (9) [By]T,9∈Rm+. y3=y1y2-月y3 定义1设系统(1)和(2)在初始状态x°，y°下 其中，s(t)为信道上传输的信号，m(t)是信源信号. 的解x(t)=P(tto,x)y(t)=P(t;t0,y),满足 中同式(7).令L=5,当与中的偏差满足 Lipschitz条件.若系统(1)与(2)的同步误差为： 10-14<8<10-2,驱动系统(8)与响应系统(9)的轨 e=(x-y),e∈R" (3) 道未发生分离，仅当6=10-时，‖e‖≥5.因此 满足 Lorenz系统在主动一被动同步方式下，对参数的敏 lim‖e(t)‖=lx(t)-y(t)‖=0，t>to(4) 感度仅为1级，在这一参数敏感度级数下容易被穷 称系统(1)与(2)同步.式(4)中，‖x(t)一y(t)‖= 举法攻破，这是混沌同步保密通信中普遍存在的 户(，一)月是欧几里德范数。当初值满足 问题 定理1两个同构混沌系统在有效的同步方式 x°，y∈D(to),称D(to)为同步区域 工下，参数敏感度级数减小， 定义2令系统(1)和(2)的中，中.存在微小 证明：用反证法，令系统(1)和(2)的，中存 偏差 在微小偏差时的参数敏感度级数为，即有： =空14-1+户1号-=101() 8= 会14-月+宁19-91=10 其中，l为大于零的整数.当同步误差e达到稳态 leI≥L 后的范数满足 系统(1)和(2)的同步误差状态方程为： ‖e‖=‖x-yl>L (6) e=f(x,t,a)一f(y,t,中)= 其中，L是轨道分离的下确界，可令其等于混沌状 f(x,t,Ya)-f(x-e,t,a+), 态x,y值域I的25%~50%.若混沌系统(1)与 根据李雅普诺夫第二法，上式在e=0处有一个稳定 (2)的轨道完成分离，称系统(1)和(2)的参数或初值 的不动点，系统(1)和(2)在中，中有微小偏差ò 敏感度级数为1级 时，存在一个稳定的同步态，有 定义2给出了混沌系统对参数或初值改变的轨 lim‖e(t)‖= 道不可预测性，用敏感度级数！衡量，结果与用李亚 im‖x(t)-y(t)‖=0<L,t>to, 普诺夫指数的一致，！越大，敏感度越高，混沌同步 故在，中存在微小偏差δ时，系统(1)和(2)同步 保密通信的安全性越有保障， 稳定，参数敏感度级数小于. 考虑非同步情况下处于混沌态的Lorenz系统 证毕
感使保密通信不再安全；因为混沌同步机制的本质 是通过某种方式克服混沌动力系统的初值敏感性 从而使两个或多个同构的混沌系统同步．因此需要 研究既能实现混沌同步又保证保密通信安全性的 混沌同步理论方法． 1 混沌同步与初值敏感性 设 n 维系统： x · （ t）＝ f（ xt）x∈R nx（ t0）＝x 0 （1） 其中n 维向量函数 f （ x）的各元素 fi （ x）i＝1 2…n 是x 的有界、连续可微单值函数．设参数向 量 α∈R m 使系统（1）处于混沌态α和初值 x 0 组成 向量 ψd＝［α x 0］ Tψd∈R m＋ n． 系统（1）的同构系统为： y · （ t）＝ f（yt）y∈R ny（ t0）＝y 0 （2） 同理有参数向量β∈R m 与初值y 0 的组合向量 ψr＝ ［β y 0］ Tψr∈R m＋ n． 定义1 设系统（1）和（2）在初始状态 x 0y 0 下 的解 x（ t）＝φ（ t；t0x 0）、y（ t）＝φ（ t；t0y 0）满足 Lipschitz 条件．若系统（1）与（2）的同步误差为： e＝（ x－y）e∈R n （3） 满足 limt→∞ ‖e（ t）‖＝‖x（ t）－y（ t）‖≡0t＞t0 （4） 称系统（1）与（2）同步．式（4）中‖x（ t）－y（ t）‖＝ ∑ n i＝1 （ xi－ yi） 2 1 2是欧几里德范数．当初值满足 x 0y 0∈ D（ t0）称 D（ t0）为同步区域． 定义2 令系统（1）和（2）的 ψdψr 存在微小 偏差 δ＝ ∑ m i＝1 ｜αi－βi｜＋ ∑ n j＝1 ｜x 0 j－y 0 j｜＝10－ l （5） 其中l 为大于零的整数．当同步误差 e 达到稳态 后的范数满足 ‖e‖＝‖x－y‖＞ L （6） 其中L 是轨道分离的下确界可令其等于混沌状 态 xy 值域 I 的25％～50％．若混沌系统（1）与 （2）的轨道完成分离称系统（1）和（2）的参数或初值 敏感度级数为 l 级． 定义2给出了混沌系统对参数或初值改变的轨 道不可预测性用敏感度级数 l 衡量结果与用李亚 普诺夫指数的一致．l 越大敏感度越高混沌同步 保密通信的安全性越有保障． 考虑非同步情况下处于混沌态的 Lorenz 系统 x · 1＝－α1x1＋α1x2 x · 2＝－ x1x3＋α2x1－ x2 x · 3＝ x1x2－α3x3 ψd＝［10 28 8／3 10 1 10］ T （7） 令 ψd 有微小偏差 Δ＝10－14并取 L＝5．经过一个 瞬态过程有‖ e‖≥5此处 e 表示系统参数向量 改变前后状态的误差．根据定义2可确定 Lorenz 系统在非同步方式下的参数敏感度级数 l 为14级． 在主动－被动同步［10］机制下驱动系统和响应系 统的 Lorenz 方程分别为： x · 1＝－α1x1＋s（ t） x · 2＝－ x1x3＋α2x1－ x2 x · 3＝ x1x2－α3x3 s（ t）＝α1x2＋ m（ t） （8） y · 1＝－β1y1＋s（ t） y · 2＝－y1y3＋β2y1－y2 y · 3＝y1y2－β3y3 （9） 其中s（ t）为信道上传输的信号m（ t）是信源信号． ψd 同式（7）．令 L＝5当 ψd 与 ψr 的偏差满足 10－14＜δ＜10－2驱动系统（8）与响应系统（9）的轨 道未发生分离．仅当 δ＝10－1时‖ e‖≥5．因此 Lorenz 系统在主动－被动同步方式下对参数的敏 感度仅为1级．在这一参数敏感度级数下容易被穷 举法攻破．这是混沌同步保密通信中普遍存在的 问题． 定理1 两个同构混沌系统在有效的同步方式 Γ下参数敏感度级数 l 减小． 证明：用反证法．令系统（1）和（2）的 ψdψr 存 在微小偏差时的参数敏感度级数为ν即有： δ＝ ∑ m i＝1 |αi －βi|＋∑ n j＝1 | x 0 j － y 0 j|＝10－ν ‖e‖ ≥ L ． 系统（1）和（2）的同步误差状态方程为： e ·＝ f （ xtψd）－ f （ytψr）＝ f （ xtψd）－ f （ x－etψd＋δ） 根据李雅普诺夫第二法上式在 e＝0处有一个稳定 的不动点系统（1）和（2）在 ψdψr 有微小偏差 δ 时存在一个稳定的同步态有 limt→∞ ‖e（ t）‖≡ limt→∞ ‖x（ t）－y（ t）‖＝0＜ Lt＞t0． 故在 ψdψr 存在微小偏差 δ时系统（1）和（2）同步 稳定参数敏感度级数小于ν． 证毕． 第8期 翁贻方等： 一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 ·953·
.954 北京科技大学学报 第30卷 图1为Lorenz系统参数微小偏差与同步误差 2一类具有时变参数的混沌同步保密通信 的关系，图中曲线说明Lorenz系统的同步误差与参 新方法 数的改变量成正比，这表明主动一被动同步对于参 2.1时变参数提出的理论依据 数改变的同步效果好；同时也说明同步实现后，保密 密码学中用密钥长度表示安全程度，在混沌同 通信系统的参数敏感级数为1级，不能满足安全性 步保密通信中，混沌系统的参数和初值相当于密钥 要求 根据Shannon的信息理论，“一次一密”是最安全的 如果混沌系统的参数或初值是某种程度上的随机变 量，将可能取得近似“一次一密”的效果 a)xew 定义3对于n维系统(1)，当参数向量a取 -10 值a时系统为混沌的，如果对于任意给定的实数 e0,使得当参数向量满足a一a≤e时，系统 154-12-10-86 (1)仍为混沌的，则称e为系统(1)的混沌参数范围. 1g a-a' 定理2n维系统(1)的混沌参数范围>0. 证明：对三维Lorenz系统(6)显然有c>0,i= 图1Lor心m系统参数微小偏差与同步误差的关系 1,2,3.当a=10,g=8/3,2改变时的相轨迹特 Fig.1 Relations between Lorenz equations'parameter difference 征如表1.2在[0，∞]区间共有三个混沌区， and synchronization error 表1 Lorenz系统a2改变时的相轨迹特征 Table 1 Characteristics of Lorenz equations'phase locus with different a2 ?变化范围 相轨迹特征 2变化范围 相轨迹特征 <1 趋向于无对流的定态 24.74~148.4混沌区，在148.4附近出现倍周期分岔 113.926 趋向于3个平衡点之一，在13.926处出现同宿轨道148.4~166.07周期区 13.926~24.06存在无穷多个周期和混沌轨道 166.07一233.5混沌区，在233.5附近出现与148.4附近类似的分岔 24.06~24.74奇异吸引子与一对稳定平衡点共存 233.5→∞周期区 若集合A.CR3是系统(6)的混沌吸引子，则称 密码学中，好的密钥是由自动处理设备产生的随机 Ap为Lorenz奇异吸引子，奇异吸引子A。在24.06 位串.如果密钥长度是64位，每一个可能的64位 ≤a2≤30.1范围内存在.当2>30.1，A。不再是 密钥必须具有相等可能性，这些密钥可从可靠的随 奇异吸引子，这就证明了Lorenz系统的混沌参数范 机源中产生，或从安全的伪随机位发生器中产生 围e0. 在混沌同步保密通信系统中，受混沌参数范围的限 证毕 制，不可能采用随机密钥，而且从密码学角度，动力 2.2混沌时变参数方法 系统的混沌参数相当于弱密钥，即这些密钥的安全 在现实世界中，密钥管理是密码学领域最困难 性差.从安全角度，对密钥还有如下考虑： 的部分，密码分析者经常通过密钥管理来破译保密 ()密钥使用时间越长，泄露的机会就越大，就 系统，算法的安全性依赖于密钥，如果用一个弱的 可能被耗时的穷举攻击法破译； 密钥产生方法，则整个保密系统都是弱的，对于混 (2)对用同一密钥加密的多个文件进行密码分 沌同步保密通信系统，混沌系统的参数和初值是保 析一般比较容易，因此加密不同文件应避免用同一 密通信的密钥.且因为发送端与接收端混沌系统的 密钥. 参数和初值应相等，属于对称密钥体制 定义5设混沌系统参数向量a(t),a∈Rm 定义4设n维系统(1)的混沌参数范围是以 为： E为半径的球域，D(to)是系统的同步区域，则保密 a(t)=ah十(x),μ∈Rm (11) 通信的密钥空间为： 当满足‖(x)‖<e,e是系统的混沌参数范围，称 K=D(to)∩B(E) (10) a(t)为混沌时变参数向量 其中，B(e)为以ah为圆心的m维球体 定义5中的混沌时变参数向量a,(t)充分利用 安全的保密通信系统希望有大的密钥空间，在 混沌系统自身的内随机特性，通过函数()产生伪
图1为 Lorenz 系统参数微小偏差与同步误差 的关系图中曲线说明 Lorenz 系统的同步误差与参 数的改变量成正比．这表明主动－被动同步对于参 数改变的同步效果好；同时也说明同步实现后保密 通信系统的参数敏感级数为1级不能满足安全性 要求． 图1 Lorenz 系统参数微小偏差与同步误差的关系 Fig．1 Relations between Lorenz equations’parameter difference and synchronization error 2 一类具有时变参数的混沌同步保密通信 新方法 2∙1 时变参数提出的理论依据 密码学中用密钥长度表示安全程度．在混沌同 步保密通信中混沌系统的参数和初值相当于密钥． 根据 Shannon 的信息理论“一次一密”是最安全的． 如果混沌系统的参数或初值是某种程度上的随机变 量将可能取得近似“一次一密”的效果． 定义3 对于 n 维系统（1）当参数向量 α取 值αch时系统为混沌的．如果对于任意给定的实数 ε＞0使得当参数向量满足｜α－αch｜≤ε时系统 （1）仍为混沌的则称ε为系统（1）的混沌参数范围． 定理2 n 维系统（1）的混沌参数范围ε＞0． 证明：对三维 Lorenz 系统（6）显然有 αi＞0i＝ 123．当 α1＝10α3＝8／3α2 改变时的相轨迹特 征如表1．α2 在［0∞］区间共有三个混沌区． 表1 Lorenz 系统 α2 改变时的相轨迹特征 Table1 Characteristics of Lorenz equations’phase locus with different α2 α2 变化范围 相轨迹特征 ＜1 趋向于无对流的定态 1～13∙926 趋向于3个平衡点之一在13∙926处出现同宿轨道 13∙926～24∙06 存在无穷多个周期和混沌轨道 24∙06～24∙74 奇异吸引子与一对稳定平衡点共存 α2 变化范围 相轨迹特征 24∙74～148∙4 混沌区在148∙4附近出现倍周期分岔 148∙4～166∙07 周期区 166∙07～233∙5 混沌区在233∙5附近出现与148∙4附近类似的分岔 233∙5→∞ 周期区 若集合 Ap⊂R 3 是系统（6）的混沌吸引子则称 Ap 为 Lorenz 奇异吸引子．奇异吸引子 Ap 在24∙06 ≤α2≤30∙1范围内存在．当 α2＞30∙1Ap 不再是 奇异吸引子．这就证明了 Lorenz 系统的混沌参数范 围ε＞0． 证毕． 2∙2 混沌时变参数方法 在现实世界中密钥管理是密码学领域最困难 的部分．密码分析者经常通过密钥管理来破译保密 系统．算法的安全性依赖于密钥．如果用一个弱的 密钥产生方法则整个保密系统都是弱的．对于混 沌同步保密通信系统混沌系统的参数和初值是保 密通信的密钥．且因为发送端与接收端混沌系统的 参数和初值应相等属于对称密钥体制． 定义4 设 n 维系统（1）的混沌参数范围是以 ε为半径的球域D（ t0）是系统的同步区域则保密 通信的密钥空间为： K＝ D（ t0）∩B（ε） （10） 其中B（ε）为以 αch为圆心的 m 维球体． 安全的保密通信系统希望有大的密钥空间．在 密码学中好的密钥是由自动处理设备产生的随机 位串．如果密钥长度是64位每一个可能的64位 密钥必须具有相等可能性．这些密钥可从可靠的随 机源中产生或从安全的伪随机位发生器中产生． 在混沌同步保密通信系统中受混沌参数范围的限 制不可能采用随机密钥．而且从密码学角度动力 系统的混沌参数相当于弱密钥即这些密钥的安全 性差．从安全角度对密钥还有如下考虑： （1） 密钥使用时间越长泄露的机会就越大就 可能被耗时的穷举攻击法破译； （2） 对用同一密钥加密的多个文件进行密码分 析一般比较容易因此加密不同文件应避免用同一 密钥． 定义5 设混沌系统参数向量 αs（ t）αs∈R m 为： αs（ t）＝αch＋μ（ x）μ∈R m （11） 当满足‖μ（ x）‖＜εε是系统的混沌参数范围称 αs（ t）为混沌时变参数向量． 定义5中的混沌时变参数向量 αs（ t）充分利用 混沌系统自身的内随机特性通过函数 μ（·）产生伪 ·954· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第8期 翁贻方等：一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 .955 随机数，叠加到一组混沌系统参数上，形成一种具有 的混沌信号作为载体来隐藏有用信号的一种保密通 伪随机特性的动态密钥， 信技术，基带信号调制要求混沌掩盖信号的频谱具 设两个同构的混沌系统(1)、(2)在某种同步机 有带通形式，且中心频率远离零频，从保密通信的 制「下，构成混沌同步保密通信系统Σ： 安全性考虑，则要求混沌掩盖信号功率谱应覆盖信 (t)=f(x,t,),x∈R",x(to)=x° 源信号，且其功率高于基带信号20B左右.以语音 ((t)=f(y,t,),y∈R",y(to)=y° 信号作为信源信号，研究Lorenz系统混沌掩盖信号 (12) 的功率谱 定义6在与Σ相同的同步机制T下，具有混 Lore系统变量x1和语音信号的功率谱如 沌时变参数的混沌同步保密通信系统三为： 图2，x1的能量主要集中在低频部分，在对人耳敏 r()=f(x,t,4,),a∈Rm,x∈R",x(o)=x° 感的频率段(300~3600z),其功率迅速衰减，不宜 作为语音保密通信的混沌掩盖信号， (5()=fy,t,B,)B∈Rm,y∈R,y(0)=y° 50 (13) 其中，a(t)满足式(11)，B(t)=B十(y),μ∈ 语音 R". 定理3如果在某种有效的同步机制「下，混 100 混沌 沌同步保密通信系统Σ同步，当混沌同步保密通信 -150 系统Σ的混沌时变参数向量满足： -200L B(t)=a(t),tto (14) -5000-3000-1000100030005000 f/Hz 则保密通信系统Σ4是稳定同步的· 证明：因为保密通信系统Σ同步，故存在一个 图2混沌变量和语音信号的功率谱 R“的子集D(to),使得状态向量的初始值x°，yC Fig.2 Relation between power spectra of the chaotic variable and voice signal D(to),则有 im‖e(t)‖=lx(t)-y(t)l=0,t>to Lorenz系统另两个变量x2、x3的功率谱，以及 (15) ROsslor系统、超混沌系统、细胞神经网络(CNN)混 不失一般性，令混沌时变参数向量的确定部分 沌系统的功率谱，有相同结论，在此情况下，攻击者 =B,且伪随机部分满足定义5，即‖(x)‖< 只需将截获的信号进行语音频段的带通滤波，即可 ,‖(y)‖<e.由Σ同步，可得混沌时变参数向 能实现破译.本文在DSP平台上进行了基于Lorenz 量的伪随机数部分： 系统的语音混沌掩盖保密通信的低通滤波破译实 li‖(x)-(y)‖0， 验，验证了以上结论，为此提出高频混沌分量提取、 因此，有lim‖B.(t)一a,(t)‖=0，t>to:进一步 放大法.设原始混沌信号为xo(xo∈R),其傅里叶 变换为XoGω)，采用频率特性如下式所示的高通 证明保密通信系统Σk是稳定同步的，对于式(13)， 滤波器对x0进行滤波和放大， 令e(t)=x(t)一y(t),建立同步误差状态方程： G(Gw)=k(1十jTω) (17) e=f(x,t,a.)-f(y,t,B.)= 式中，T为滤波时间常数，该装置允许w≥1/T, f(x,t,a)-f(x-e,t,B.) (16) rads频率范围的高频分量通过. 根据李亚普诺夫第二法，式(16)状态误差系统在 适当选取T可滤去x0中的低频分量，获得在 e=0处有一个稳定的不动点，于是式(13)中的驱动 较大频率范围内功率谱均匀分布的混沌掩盖信号， 系统和响应系统存在一个稳定的同步态，即 Xmk(Gω)=k(1十jTo)Xo(Gω) (18) li‖e(t)‖≡li‖x(t)-y(t)‖=0，t>to: 放大倍数k的选取是为使混沌掩盖信号的功率比 因此，具有混沌时变参数的混沌同步保密通信系统 信源信号高30dB左右，以保证信息隐藏的安全性， ∑k是稳定同步的· 定理4如果在某种有效的同步机制Γ下，式 证毕， (12)混沌同步保密通信系统Σ同步，则经预处理得 2.3混沌信号功率谱分析与预处理方法 到的混沌掩盖信号xmk,ymk是稳定同步的， 混沌掩盖是利用具有逼近高斯白噪声统计特性 证明：已知保密通信系统Σ同步，有
随机数叠加到一组混沌系统参数上形成一种具有 伪随机特性的动态密钥． 设两个同构的混沌系统（1）、（2）在某种同步机 制 Γ下构成混沌同步保密通信系统 Σ： Σ x · （ t）＝ f（ xtΓ） x∈R nx（ t0）＝x 0 y · （ t）＝ f（ytΓ） y∈R ny（ t0）＝y 0 （12） 定义6 在与 Σ相同的同步机制Γ下具有混 沌时变参数的混沌同步保密通信系统 Σsk为： Σsk x · （ t）＝ f（ xtαsΓ） αs∈R mx∈R nx（ t0）＝x 0 y · （ t）＝ f（ytβsΓ） βs∈R my∈R ny（ t0）＝y 0 （13） 其中αs（ t）满足式（11）βs（ t）＝βch＋μ（ y）μ∈ R m． 定理3 如果在某种有效的同步机制 Γ下混 沌同步保密通信系统 Σ同步当混沌同步保密通信 系统 Σsk的混沌时变参数向量满足： βs（ t）＝αs（ t）t＞t0 （14） 则保密通信系统 Σsk是稳定同步的． 证明：因为保密通信系统 Σ同步故存在一个 R n 的子集 D（ t0）使得状态向量的初始值 x 0y 0⊂ D（ t0）则有 limt→∞ ‖e（ t）‖＝‖x（ t）－y（ t）‖≡0t＞t0 （15） 不失一般性令混沌时变参数向量的确定部分 αch＝βch且伪随机部分满足定义5即‖μ（ x）‖＜ ε‖μ（ y）‖＜ε．由 Σ同步可得混沌时变参数向 量的伪随机数部分： limt→∞ ‖μ（ x）－μ（y）‖≡0 因此有limt→∞ ‖βs（ t）－αs（ t）‖≡0t＞ t0．进一步 证明保密通信系统 Σsk是稳定同步的．对于式（13） 令 e（ t）＝x（ t）－y（ t）建立同步误差状态方程： e · ＝ f （ xtαs）－ f （ytβs）＝ f （ xtαs）－ f （ x－etβs） （16） 根据李亚普诺夫第二法式（16）状态误差系统在 e＝0处有一个稳定的不动点于是式（13）中的驱动 系统和响应系统存在一个稳定的同步态即 limt→∞ ‖e（ t）‖≡limt→∞ ‖x（ t）－y（ t）‖＝0t＞t0． 因此具有混沌时变参数的混沌同步保密通信系统 Σsk是稳定同步的． 证毕． 2∙3 混沌信号功率谱分析与预处理方法 混沌掩盖是利用具有逼近高斯白噪声统计特性 的混沌信号作为载体来隐藏有用信号的一种保密通 信技术．基带信号调制要求混沌掩盖信号的频谱具 有带通形式且中心频率远离零频．从保密通信的 安全性考虑则要求混沌掩盖信号功率谱应覆盖信 源信号且其功率高于基带信号20dB 左右．以语音 信号作为信源信号研究 Lorenz 系统混沌掩盖信号 的功率谱． Lorenz 系统变量 x1 和语音信号的功率谱如 图2．x1 的能量主要集中在低频部分．在对人耳敏 感的频率段（300～3600Hz）其功率迅速衰减不宜 作为语音保密通信的混沌掩盖信号． 图2 混沌变量和语音信号的功率谱 Fig．2 Relation between power spectra of the chaotic variable and voice signal Lorenz 系统另两个变量 x2、x3 的功率谱以及 Rösslor 系统、超混沌系统、细胞神经网络（CNN）混 沌系统的功率谱有相同结论．在此情况下攻击者 只需将截获的信号进行语音频段的带通滤波即可 能实现破译．本文在 DSP 平台上进行了基于 Lorenz 系统的语音混沌掩盖保密通信的低通滤波破译实 验验证了以上结论．为此提出高频混沌分量提取、 放大法．设原始混沌信号为 x0（ x0∈R 1）其傅里叶 变换为 X0（jω）．采用频率特性如下式所示的高通 滤波器对 x0 进行滤波和放大 G（jω）＝k（1＋j Tω） （17） 式中T 为滤波时间常数该装置允许 ω≥1／T rad·s －1频率范围的高频分量通过． 适当选取 T 可滤去 x0 中的低频分量获得在 较大频率范围内功率谱均匀分布的混沌掩盖信号 Xmk（jω）＝k（1＋j Tω） X0（jω） （18） 放大倍数 k 的选取是为使混沌掩盖信号的功率比 信源信号高30dB 左右以保证信息隐藏的安全性． 定理4 如果在某种有效的同步机制 Γ下式 （12）混沌同步保密通信系统 Σ同步则经预处理得 到的混沌掩盖信号 xmkymk是稳定同步的． 证明：已知保密通信系统 Σ同步有 第8期 翁贻方等： 一类具有时变参数的混沌同步保密通信方法 ·955·
.956 北京科技大学学报 第30卷 im‖e(t)‖≡lim‖x(t)-y(t)‖=0，t>o -20 30 因为Xmk(jω)=k(1十jTω)X:(Gω)，Yk(Gw)= 预处理后的混沌 k(1+jTω)YGω)，XGω)，YGω)是x(t),y:(t) 的傅里叶变换，是n维混沌系统(1)、(2)的任意的 对应变量.由于混沌掩盖信号xmk,yk与混沌系统 原始变量x(t),y:(t)是线性变换关系，可得： -5000 -3000 -1000 1000 3000 5000 li‖xmk一yamk‖=0，t>to (19) f/Hz 即xmk,ymk是稳定同步的. 图3混沌掩盖信号和语音信号的功率谱 证毕. Fig-3 Relation of power spectra of the chaotic masking signal and 用高频混沌分量提取放大法对Lorenz系统变 voice signal 量x1处理后，获得一个具有宽带、连续均衡功率谱 2,4具有时变参数的混沌同步保密通信模型 的混沌掩盖信号xmk,其功率谱见图3.xmk功率谱 一类具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模 值平均高于语音信号30B左右，在人耳敏感的音 型如图4所示，图4中驱动系统和响应系统见 频范围内，可有效地掩盖语音信号 式(13)，其中Γ表示某种同步方式， 动态密朝 动态密明 a(r) B.(r) m m(r) 范系统三，混池量信号，同神 ,混掩盖信号 信号产生 系统 信号产生调制 同步方式「 道 发送端 接收腾 图4具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模型 Fig.4 Chaotic synchronized secure communication model with time varying parameters 信源信号m(t)经过某种调制后得到信道上传 号，m(t)为信源信号 输的信号： 响应系统的混沌时变参数向量为： s(t)=g(m(t),x,xmk) (20) Ba(t) Bchl+1.5ymk 设信道为理想信道，即不存在信道噪声，且信号 B.(t)= B() B2十1.5ymk (24) s(t)不发生失真，信号解调的过程为： B3(t) LBah3十1.5ymk m:(t)=h(s(t),x,xmk) (21) 响应系统方程为： 式中，h()为调制函数g()的反函数 1=-B(t)y1+s(t) 3计算机仿真与安全性分析 y2=-y1y3+B.2(t)y1-y2 (25) 根据上述具有混沌时变参数的混沌同步保密通 3=y1y2-月2(t)y3 信模型，构建基于Lorenz系统的主动一被动同步保 接收端的解密信号为： 密通信系统.令(x)=1.5xmk为标量函数，得： m,()=)-102 (26) a1(t) au1十1.5xmk ymk 推论1如果在主动一被动同步方式下，未加混 a(t)= c2(t) ah2十1.5xmk (22) 沌时变参数的Lorenz响应系统(9)和驱动系统(8) L Q3(t) Lach3+1.5xmk 同步，则混沌掩盖信号xmk,ymk同步，且时变参数向 驱动系统方程为： 量满足B(t)=a(t),具有时变参数的Lorenz保密 x1=-a1(t)x1十s(t) 通信系统稳定同步 x2=一x1x3十a2(t)x1一x2 (23) 证明：因为Lorenz响应系统(9)和驱动系统(8) x3=x1x2一a3(t)x3 同步，故存在一个R3的子集D(to),使得状态向量 其中，s(t)=10x2十m(t)xmk为信道上传输的信 的初始值x”,y°∈D(to),当too时，存在
limt→∞ ‖e（ t）‖≡limt→∞ ‖x（ t）－y（ t）‖＝0t＞t0． 因为 Xmk（jω）＝k（1＋j Tω） Xi（jω）Y mk （jω）＝ k（1＋j Tω） Y i（jω）Xi（jω）Y i（jω）是 xi（ t）yi（ t） 的傅里叶变换是 n 维混沌系统（1）、（2）的任意的 对应变量．由于混沌掩盖信号 xmkymk与混沌系统 原始变量 xi（ t）yi（ t）是线性变换关系可得： limt→∞ ‖ xmk－ymk‖＝0t＞t0 （19） 即 xmkymk是稳定同步的． 证毕． 用高频混沌分量提取放大法对 Lorenz 系统变 量 x1 处理后获得一个具有宽带、连续均衡功率谱 的混沌掩盖信号 xmk其功率谱见图3．xmk功率谱 值平均高于语音信号30dB 左右在人耳敏感的音 频范围内可有效地掩盖语音信号． 图3 混沌掩盖信号和语音信号的功率谱 Fig．3 Relation of power spectra of the chaotic masking signal and voice signal 2∙4 具有时变参数的混沌同步保密通信模型 一类具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模 型如图4所示．图4中驱动系统和响应系统见 式（13）其中 Γ表示某种同步方式． 图4 具有混沌时变参数的混沌同步保密通信模型 Fig．4 Chaotic synchronized secure communication model with time-varying parameters 信源信号 m（ t）经过某种调制后得到信道上传 输的信号： s（ t）＝g（ m（ t）xxmk） （20） 设信道为理想信道即不存在信道噪声且信号 s（ t）不发生失真．信号解调的过程为： mr（ t）＝h（ s（ t）xxmk） （21） 式中h（·）为调制函数 g（·）的反函数． 3 计算机仿真与安全性分析 根据上述具有混沌时变参数的混沌同步保密通 信模型构建基于 Lorenz 系统的主动－被动同步保 密通信系统．令 μ（ x）＝1∙5xmk为标量函数得： αs（ t）＝ αs1（ t） αs2（ t） αs3（ t） ＝ αch1＋1∙5xmk αch2＋1∙5xmk αch3＋1∙5xmk （22） 驱动系统方程为： x · 1＝－αs1（ t） x1＋s（ t） x · 2＝－ x1x3＋αs2（ t） x1－ x2 x · 3＝ x1x2－αs3（ t） x3 （23） 其中s（ t）＝10x2＋ m （ t） xmk为信道上传输的信 号m（ t）为信源信号． 响应系统的混沌时变参数向量为： βs（ t）＝ βs1（ t） βs2（ t） βs3（ t） ＝ βch1＋1∙5ymk βch2＋1∙5ymk βch3＋1∙5ymk （24） 响应系统方程为： y · 1＝－βs1（ t） y1＋s（ t） y · 2＝－y1y3＋βs2（ t） y1－y2 y · 3＝y1y2－βs2（ t） y3 （25） 接收端的解密信号为： mr（ t）＝ s（ t）－10y2 ymk （26） 推论1 如果在主动－被动同步方式下未加混 沌时变参数的 Lorenz 响应系统（9）和驱动系统（8） 同步则混沌掩盖信号 xmkymk同步且时变参数向 量满足 βs（ t）＝αs（ t）具有时变参数的 Lorenz 保密 通信系统稳定同步． 证明：因为 Lorenz 响应系统（9）和驱动系统（8） 同步故存在一个 R 3 的子集 D（ t0）使得状态向量 的初始值 x 0y 0∈ D（ t0）当 t→∞时存在 ·956· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷