第一次随机事件与古典概型 填空 1.写出下面随机事件的样本空间:(1)袋中有5只球,其中3只白球2只黑球,从袋中任 意取一球,观察其颜色」 (2)从(1)的袋中不放回任意取两次球(每次取 出一个)观察其颜色 (3)从(1)的袋中不放回任意取3只球,记录取到 的黑球个数 (4)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数 2.设S为样本空间,ABC是任意的三个随机事件,根据概率的性质,则(1)PA)_ ;(2)P(B-A)=P(BA)= ()P(AUBUC 3.设ABC是三个随机事件,试以A,B,C的运算来表示下列事件:(1)仅有A发生 ;(2)A,B,C中至少有一个发生 (3)A,B,C中恰有 个发生 (4)A,B,C中最多有一个发生_ (5)A,B C都不发生 (6)A不发生,B,C中至少有一个发生 4.ABC是三个随机事件,且p(A)=p(B=p(C)=1/4,P(AC)=l8,P(AB)=PBC=0,则A,B C中至少有一个发生的概率为 A,B,C中都发生的概率为 A,B,C都不发生的概率为 5.袋中有n只球记有号码1,2,3, n(n>5)则事件(1)任意取出两球号码为1,2的概 率为 (2)任意取出三球没有号码为1的概率为 (3)任意 取出五球号码1,2,3中至少出现一个的概率为: 6.从一批由此及彼5件正品,5件次品组成的产品中任意取出三件产品,则其中恰有一件次 品的概率为 将3个球随机放在4个杯子中,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率? 某油漆公司发出17桶油漆,其中白色的10桶,黑色的4桶,红色3桶,在搬运过程中 所有标签脱落,交货人随意把这些油漆发给顾客,问:一个订货4桶白漆,3桶黑漆和风细雨 桶红漆的顾客能按如数取得定货的概率? 四.半径为R的圆内画平行弦如果这些弦与垂直于这些弦的直径的交点在该直径上的位置 是等可能的,即交点在直径上的一个区间内的可能性与这个区间的长度成正比,求任意画的 弦的长度大于R的概率? 五.某码头只能容纳一只船,现预知将独立来到两只船,且在24小时内各时刻来到的可能 性都相同,如果他们需要的停靠时间分别为3小时与4小时,试求有一只船要在江中等待的 概率? 六.已知A,B两个事件满足条件P(AB=P(AB),且P(A)=p;求P(B)
- 1 - 第一次 随机事件与古典概型 一．填空 1. 写出下面随机事件的样本空间：（1）袋中有 5 只球，其中 3 只白球 2 只黑球，从袋中 任 意取一球，观察其颜色＿＿＿＿＿＿＿；（2）从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取 出一个）观察其颜色＿＿＿＿＿＿＿；（3）从（1）的袋中不放回任意取 3 只球，记录取到 的黑球个数＿＿＿＿＿＿＿；（4）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数 ＿＿＿＿＿＿＿； 2. 设 S 为样本空间，A,B,C 是任意的三个随机事件，根据概率的性质，则（1）P( )=＿ ＿＿＿＿＿＿；(2)P(B-A)=P(B )=＿＿＿＿＿＿＿；(3)P(AUBUC)= ＿＿＿＿＿； 3. 设 A,B,C 是三个随机事件，试以 A，B，C 的运算来表示下列事件：（1）仅有 A 发生 ＿＿＿＿＿＿＿；（2）A，B，C 中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（3）A，B，C 中恰有 一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（4）A，B，C 中最多有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（5）A，B， C 都不发生＿＿＿＿＿＿＿；（6）A 不发生，B，C 中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿； 4. A,B,C 是三个随机事件，且 p(A)=p(B)=p(C)=1/4, P(AC)=1/8;P(AB)=P(BC)=0,则 A，B， C 中至少有一个发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A，B，C 中都发生的概率为: ＿＿＿＿＿ ＿＿；A，B，C 都不发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿； 5. 袋中有 n 只球,记有号码 1,2,3,…………n. (n>5) 则事件(1)任意取出两球,号码为 1,2 的概 率为＿＿＿＿＿＿＿；(2)任意取出三球,没有号码为 1 的概率为＿＿＿＿＿＿＿；(3) 任意 取出五球,号码 1,2,3 中至少出现一个的概率为＿＿＿＿＿＿＿； 6. 从一批由此及彼 5 件正品,5 件次品组成的产品中,任意取出三件产品,则其中恰有一件次 品的概率为＿＿＿＿＿＿＿； 二．将 3 个球随机放在 4 个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率？ 三．某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白色的 10 桶，黑色的 4 桶，红色 3 桶，在搬运过程中 所有标签脱落，交货人随意把这些油漆发给顾客，问:一个订货 4 桶白漆,3 桶黑漆和风细雨 桶红漆的顾客能按如数取得定货的概率? 四．半径为 R 的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于这些弦的直径的交点,在该直径上的位置 是等可能的,即交点在直径上的一个区间内的可能性与这个区间的长度成正比,求:任意画的 弦的长度大于 R 的概率? 五．某码头只能容纳一只船，现预知将独立来到两只船，且在 24 小时内各时刻来到的可能 性都相同，如果他们需要的停靠时间分别为 3 小时与 4 小时，试求有一只船要在江中等待的 概率？ 六．已知 A，B 两个事件满足条件 P(AB)=P( ),且 P(A)=p; 求 P(B)
第二次条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式 填空 条件概率的计算公式P(BA= 乘法公式P(ABC)= 2.A,A2…,A为样本空间S的一个事件组,若A,A2,…,An两两互斥,且 AUAU…UA=S,则对S中的事件B有全概率公式 3.设B为样本空间S的一个事件,A1,A2,A3为样本空间S的一个事件组且满足: (1)A,A2,A3互不相容,且P(A)>0(1=1,2,3);(2)S=A∪A2∪A则贝叶斯 公式为 两事件A,B相互独立的充要条件为 三事件相互独立的充要条件 5.已知在10只晶体管中,有2只次品,在其中取两次,每次随机地取一只,做不 放回抽样,则(1)两只都是正品的概率为 1)一只正品, 只为次品的概率为 (3)两只都为次品的概率为 (4)第二次取出的是次品的概率 6.从厂外打电话给这个工厂的一个车间,要由总机转入。若总机打通的概率为0.6 车间分机占线的概率为0.3,假定两者是独立的,从厂外向车间打电话能打通的 概为 某工厂有甲,乙,丙3个车间,生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的 25%,35%,40%,3个车间中产品的废品率分别为5%,4%,2%,求全厂产品的废品 两批相同的产品,各有12件和10件,在每批产品中有1件废品,今任意从第 批中抽取1件放入第2批中,然后再从第2批中抽取1件,求从第2批中抽取的是废品 的概率。 四.已知男人中有5%的是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者,今从男女人数相等 的人群中随机挑选一人,恰好是色盲患者。问此人是男人的概率。 五.一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B:加工A时,停车的概率 为0.3,加工B时停车的概率为04,求这个机床停车的概率? 已知事件A的概率P(A=0.5B的概率P(B=06,以及条件概率P(BA=0.8求A,B 和事件的概率 在空战中甲机先向已机开火,击落已机的概率为0.2:若已机未被击落就还击,击 落甲机的概率为0、3:若甲机未被击落,则再进攻已机,击落已机的概率为0.4,求在这 回合中甲机被击落的概率已脊背击落的概率
- 2 - 第二次 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 一．填空 1． 条件概率的计算公式 P(B|A)= ＿＿＿＿＿＿＿；乘法公式 P(ABC)= ＿＿＿＿＿； 2． 1 2 , , , A A A n 为样本空间 S 的一个事件组，若 1 2 , , , A A A n 两两互斥，且 A A A 1 2 n =S,则对 S 中的事件 B 有全概率公式＿＿＿＿＿＿＿； 3． 设 B 为样本空间 S 的一个事件, 1 2 3 A A A , , 为样本空间 S 的一个事件组,且满足： （1） 1 2 3 A A A , , 互不相容，且 P( Ai )>0 (I=1,2,3) ; (2) S= A A A 1 2 3 则贝叶斯 公式为＿＿＿＿＿＿＿； 4． 两事件 A,B 相互独立的充要条件为＿＿＿＿＿＿＿；三事件相互独立的充要条件 为＿＿＿＿＿＿＿； 5． 已知在 10 只晶体管中，有 2 只次品，在其中取两次，每次随机地取一只，做不 放回抽样，则（1）两只都是正品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（1）一只正品，一 只为次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（3）两只都为次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿； （4）第二次取出的是次品的概率＿＿＿＿＿＿＿； 6． 从厂外打电话给这个工厂的一个车间，要由总机转入。若总机打通的概率为 0.6 车间分机占线的概率为 0.3，假定两者是独立的，从厂外向车间打电话能打通的 概为＿＿＿＿＿＿＿； 二． 某工厂有甲，乙，丙 3 个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的 25%，35%，40%，3 个车间中产品的废品率分别为 5%，4%，2%，求全厂产品的废品 率。 三． 两批相同的产品，各有 12 件和 10 件，在每批产品中有 1 件废品，今任意从第 1 批中抽取 1 件放入第 2 批中，然后再从第 2 批中抽取 1 件，求从第 2 批中抽取的是废品 的概率。 四． 已知男人中有 5%的是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者，今从男女人数相等 的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者。问此人是男人的概率。 五． 一个机床有 1/3 的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B；加工 A 时，停车的概率 为 0.3，加工 B 时停车的概率为 0.4，求这个机床停车的概率？ 六． 已知事件 A 的概率 P(A)=0.5,B 的概率 P(B)=0.6,以及条件概率 P(B|A)=0.8,求 A,B 和事件的概率。 七． 在空战中甲机先向已机开火，击落已机的概率为 0.2；若已机未被击落就还击，击 落甲机的概率为 0.3；若甲机未被击落，则再进攻已机，击落已机的概率为 0.4，求在这 个回合中甲机被击落的概率已脊背击落的概率
第三次一维随机变量及其分布一维离散型随机变量 填空 设X为一个随机变量,x为任意的实数,则Ⅹ的分布函数定义为F(x)= 根据分布函数的性质P(x1<X≤x2)= 2.设离散型随机变量X可能取的值为x,x2…xn…,且X取这些值的概率为 P(X=x2)=P2(k=1.2…k),则∑P 根据分布函数的性质 P(x1<X≤x2)= 3.如果随机变量X服从参数为,n,p的二项分布B(np,那么它的分布律为P(X=k)= 4.设X服从参数为λ的泊松分布,则其分布律为一 5.设X服从二项分布B(np),根据泊松定理,当n,很大,p很小,np=8时有近似 计算公式一 二.一批产品共有n件,其中有m(3≤m≤n)件次品,从中任意抽取3件产品,求取出的 次品数X的分布律。 三.将三个球随机放入4个杯子中,求杯子中球的最大个数X的分布律 四.一批零件中有9个合格品,3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次 取出的废品不再放回,求在取出合格品之前,已取出的废品数的分布律 五.某学校有730名学生,任意选出1名学生他的生日在任何一天都是等可能的,求3名学 生的生日为国庆节的概率 六.设离散型随机变量ⅹ的分布律为P{X=k}= ,(k=1,2,…,N),试确定常数 k(k+1) 七.已知甲乙两箱中装有同种产品,其中甲箱装有3件合格品和3件次品,乙箱中装有3 件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求 (1)箱中次品件数X的分布率 (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率
- 3 - 第三次 一维随机变量及其分布 一维离散型随机变量 一. 填空 1． 设 X 为一个随机变量，x 为任意的实数，则 X 的分布函数定义为 F(x)= ＿＿＿ ＿＿＿＿；根据分布函数的性质 P( 1 2 x X x =) ＿＿＿＿＿＿＿； 2． 设离散型随机变量 X 可能取的值为 1 2 , n x x x ，且 X 取这些值的概率为： P(X= k x )= k p (k=1,2….k), 则 k k p = ＿＿＿＿＿＿＿；根据分布函数的性质 P( 1 2 x X x =) ＿＿＿＿＿＿＿； 3． 如果随机变量X服从参数为，n, p的二项分布B(n,p),那么它的分布律为P(X=k)= ＿＿＿＿＿＿＿； 4． 设 X 服从参数为λ的泊松分布，则其分布律为＿＿＿＿＿＿＿； 5． 设 X 服从二项分布 B(n,p)，根据泊松定理，当 n,很大，p 很小，np=8 时有近似 计算公式＿＿＿＿＿＿＿； 二．一批产品共有 n 件，其中有 m（3≤m≤n）件次品，从中任意抽取 3 件产品，求取出的 次品数 X 的分布律。 三．将三个球随机放入 4 个杯子中，求杯子中球的最大个数 X 的分布律。 四．一批零件中有 9 个合格品，3 个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次 取出的废品不再放回，求在取出合格品之前，已取出的废品数的分布律。 五．某学校有 730 名学生，任意选出 1 名学生他的生日在任何一天都是等可能的，求 3 名学 生的生日为国庆节的概率。 六．设离散型随机变量 X 的分布律为 { } ,( 1,2, , ) ( 1) a P X k k N k k = = = + ，试确定常数 a。 七．已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： （1）箱中次品件数 X 的分布率； （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率
第四次一维连续型随机变量 填空 1.设f(x)为X的分布密度函数,F(x)为分布函数,那么F(x)= f(x)dx P(a<X≤b)=F(b}F(a)= 2X服从ab]上的均匀分布,那么Ⅹ分布密度函数为 3.X服从参数为,O的正态分布,那么X分布密度函数为 4X~N(0,1),那么Ⅹ分布密度函数为 5如果X-N(A,a2),Φ(x)是标准正态分布的分布函数,那么P(a<X<b)=Fb)f(a= 6.X~N(3,2),则(1)P(2<X≤5)= ;P(-4<X≤100= P(x>2) P(X>3)= (2)若P(X>c)=P(X≤c),则 连续型随机变量X的概率密度为f(x)=Ae,(-∞<x<+∞),求:(1)常数A,(2) X落在区间(-1,2)内的概率;(3)X的分部函数 三.有某机器生产的零件的长度(cm)是参数为p=10.05,0=006的正态分布。现在规 定零件长度在1005±0.12内为合格品,求一个零件为不合格产品的概率。 四.设k在(0,5)上服从均匀分布,求方程4x2+4kx+k+2=0有实根的概率。 五.设随机变量X服从正态分布N(,a2)(G>0),且二次方程y2+4y+X=0无实根的 概率为,求
- 4 - 第四次 一维连续型随机变量 一．填空 1．设 f x( ) 为 X 的分布密度函数，F(x)为分布函数，那么 F(x)＝＿＿＿＿＿＿＿； f x dx ( ) + − = ＿＿＿＿＿＿＿；P(a<X≤b)=F(b)-F(a)= ＿＿＿＿＿＿＿； 2.X 服从[a,b]上的均匀分布，那么 X 分布密度函数为 ＿＿＿＿＿＿＿。 3. X 服从参数为 , 的正态分布，那么 X 分布密度函数为 ＿＿＿＿＿＿＿。 4.X~N(0,1),那么 X 分布密度函数为 ＿＿＿＿＿＿＿。 5.如果 2 X N( , ) ，( ) x 是标准正态分布的分布函数，那么 P(a<X<b)=F(b)-F(a)= ＿＿＿＿＿＿＿. 6. 2 X N(3,2 ) ,则（1）P(2<X≤5)＝ ；P(－4<X≤100)= ； P X( 2) = ＿＿＿＿＿＿＿；P(X>3)= ＿＿＿＿＿＿＿.(2)若 P X c P X c ( ) ( ) = ，则 C= ＿＿＿＿＿＿＿ 二．连续型随机变量 X 的概率密度为 ( ) ,( ) x f x Ae x − = − + ，求：（1）常数 A，（2） X 落在区间（－1，2）内的概率；（3）X 的分部函数。 三．有某机器生产的零件的长度（cm）是参数为 = = 10.05, 0.06 的正态分布。现在规 定零件长度在 10.05 0.12 内为合格品，求一个零件为不合格产品的概率。 四．设 k 在（0，5）上服从均匀分布，求方程 2 4 4 2 0 x kx k + + + = 有实根的概率。 五．设随机变量 X 服从正态分布 2 N( , ) ( 0) ，且二次方程 2 y y X + + = 4 0 无实根的 概率为 1 2 ，求
第五次二维高散型随机变量 填空 1.如果(X,)是二维随机离散型变量,则(X,)的联合分布率定义为p= 分布率的性质∑∑P 2若已知P(X=x,=y)=P,(j=12,…)则随机变量(Xx,)关于X的边缘分布 为 :X,相互独立的充要条件是 将一枚硬币掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示在三次中出现正面 的次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出X和Y的联合分布率 三.设(X,Y)的分布率由下表给出,问a,B为何值时X与Y相互独立? (X,Y) (1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 概率 l/18 B 四.设X与y相互独立,且分布率分比分别为下表,求二维随机变量(X,Y)的联合分布率 x1-120「y0256 Pi l/3 P 1/4142/51/10 五,设随机变量X与Y相互独立,下表列出二维随机变量(x,Y)的联合分布率及关于X和 关于Y的边缘分布率中部分数值,试将其余数值填入表中空白处。 y V2 P(X=x)=p X X2 PX 六.设某班车起点站上客人数X服从参数为A的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 P(0<p<1),且中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车人数,求:(1)发车时 有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布
- 5 - 第五次 二维离散型随机变量 一．填空 1. 如果 （X,Y) 是二维随机离散型变量，则 （X,Y) 的联合分布率定义为 ij p = ； 分布率的性质 = i j pij 。 2.若已知 P(X = x ,Y = y ) = p ,(i, j =1,2, ) i j ij 则随机变量 （X,Y) 关于 X 的边缘分布 为 ； X ,Y 相互独立的充要条件是 。 二．将一枚硬币掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示在三次中出现正面 的次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出 X 和 Y 的联合分布率。 三．设 （X,Y) 的分布率由下表给出，问 , 为何值时 X 与 Y 相互独立？ （X,Y) （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） 概率 1/6 1/9 1/18 1/3 四．设 X 与 Y 相互独立，且分布率分比分别为下表，求二维随机变量 （X,Y) 的联合分布率。 五．设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量 （X,Y) 的联合分布率及关于 X 和 关于 Y 的边缘分布率中部分数值，试将其余数值填入表中空白处。 Y X 1 y 2 y 3 y i pi P{X = x ) = X1 1/8 X2 1/8 { ) P X x p = = j j 1/6 1 六．设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 P(0 p 1) ，且中途下车与否相互独立。以 Y 表示在中途下车人数，求：（1）发车时 有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（2）二维随机变量 （X,Y) 的概率分布。 X -1 -1/2 0 i p 1/2 1/3 1/6 Y 0 2 5 6 j p 1/4 1/4 2/5 1/10