由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化 上述问题的一般情况是 r=y(y 平面区域由|cd1上连续的曲线 x=o(y),x=y(y) o(ysyly) C 及直线y=cy=d所围成 =() 则其面积为A=(y)-g(p)小y
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化 上述问题的一般情况是 平面区域由 [c,d] 上连续的曲线 x = ( y), x = ( y) (( y) ( y)) 及直线y = c ,y = d 所围成 则其面积为 = − d c A [( y) ( y)]dy c d y + dy y x = ( y) x = ( y)
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线 由参数方程的形式给出时,只须对面积计算 公式作变量代换即可 (astsB y=() A=yd= iw(p'(0)dt I 计算时应注意积分限在换元中应保持与原积 分限相对应
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线 由参数方程的形式给出时，只须对面积计算 公式作变量代换即可。 ( t ) = = b a A ydx t t dt | ( ) ( ) | 计算时应注意积分限在换元中应保持与原积 分限相对应。 = = ( ) ( ) y t x t
x=acos e 例3求椭圆 y=bsin 8 (0≤≤2)的面积 解由对称性面积A等于椭圆在第一象限内的 部分的面积的4倍 0 -4 2 0d0= rab 2
例3 求椭圆 = = sin cos y b x a (0 2 ) 的面积 解 由对称性 面积A等于椭圆在第一象限内的 部分的面积的4倍 即 = a A ydx 0 4 = − = 0 2 2 4 sin ab d ab
例4设f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内有 f(x)>0证明存在唯一的5∈(a,b) 使曲线∫(x)与两直线X=ay=f(5) 所围图形的面积S,是y=f(x)与两直线 x=by=f(5)所围图形面积S2的3倍 证 S1=f(5)-f(x)f() S2=If(x) -f(s)]dx
设 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上连续，在 ( a, b ) 内有 f (x) 0 证明 存在唯一的 (a,b) 使曲线 f（x ）与两直线 x = a y = f ( ) 所围图形的面积 S1 是 y = f ( x ) 与两直线 x = b y = f ( ) 所围图形面积 S2 的3倍 f ( ) S1 证 S2 = − a S [ f ( ) f (x)]dx 1 = − b S f x f dx [ ( ) ( )] 2 例4
令F()=0/()-f(x)k-30(x)-f(o 则F()=(0()J(xk-J(x)+3/b-0) F(a)=-3f(x)-f(a)dx<0 F(b)=If(b)-f(x)ldx>0 故由零点定理知3∈(,6)上()=0又 F()=f(t)(t-a+3b-3t)=f(t)(b-a+2(b-1)>0 故ξ唯一
= − − − t a b t F(t) [ f (t) f (x)]dx 3 [ f (x) f (t)]dx = − − − + − t a b t 则F(t) f (t)(t a) f (x)dx 3 f (x)dx 3 f (t)(b t) = − − b a F(a) 3 [ f (x) f (a)]dx 0 = − b a F(b) [ f (b) f (x)]dx 0 故由零点定理知 (a,b) 使F( ) = 0 又 F(t) = f (t)(t − a + 3b − 3t) = f (t)(b − a + 2(b − t)) 0 故 唯一 令