4.不稳定性 如果对于某个实数>0和任意一个实 数δ>0,不管这两个实数有多公小,在平衡 状态X,周围的球域内总存在着个初始状 态X0,使得从这一状态出轨迹最终会 超出球域S(E)之外,这时称平衡状态,是 不稳定的
不稳定的。 超出球域 之外，这时称平衡状态 是 态 ，使得从这一状态出发的轨迹最终会 状 态 周围的球域内总存在着一个初始状 数 不管这两个实数有多么小 在平衡 如果对于某个实数 和任意一个实 不稳定性 e e S X X X ( ) 0, , 0 4. . 0 Xe 4.不稳定性
标量函数的下定性定义: 设在零平衡状态=0的邻域Ω内 对所有的状态Y有以下几种特征: (1)正定 如果(x)>0,x≠0, V(x)=0,x=0. 则标量函数(x)为正定。 (2)负定 若有一(x)正定,则称V(x)负定
若 有 正 定 则 称 负 定 负 定 则标量函数 为正定。 如 果 正 定 对所有的状态 有以下几种特征 设在零平衡状态 的邻域 内 二 标量函数的正定性定义 ( ) , ( ) (2) ( ) ( ) 0, 0, ( ) 0, 0, (1) . : 0 . : V x V x V x V x x V x x X Xe − = = = 二、标量函数的下定性定义：
(3)正半定 若有V(x)≥0,x≠0, (x)=0,x=0, 则称V(x)为正半定。 (4)负半定 若有-V(x)为正半定则称V(x)为负半定 (5)不定 在X=0的邻域2内不论9有多小对所 有的状态Y,V(x)既可为正也可为负则 称(x)符号不定
称 符号不定。 有的状态 既可为正 也可为负则 在 的邻域 内 不 论 有多小 对 所 不 定 若 有 为正半定 则 称 为负半定 负半定 则 称 为正半定。 若 有 正半定 ( ) , ( ) , , 0 , , (5) ( ) , ( ) . (4) ( ) ( ) 0, 0, ( ) 0, 0, (3) V x X V x X V x V x V x V x x V x x e = − = =
例:确定下列标量函数(x)正定性 已知ⅹ=[x1x2x3 (1)(x)=x1+2x2+x 解:(x)为正定x≠0,V(x)>0;x=0,V(x)=0 (2)(x)=x2+x3 解:x=0,V(x)=0 X1=0,x2≠0;x3=0,V(x)=0 其余(x)>0 .(x)≥0,x≠0 V(x)=0,x=0 V(x)正半定
2 3 2 1 2 3 2 2 4 1 1 2 3 (2) ( ) (1) ( ) 2 X x x : ( ) . V x x x V x x x x x V x T = + = + + 已 知 = 例 确定下列标量函数 的正定性 ( ) ( ) 0, 0 ( ) 0, 0 V x 正半定 V x x V x x = = 解:V(x)为正定, x 0,V(x) 0; x = 0,V(x) = 0 ( ) 0 x 0, 0; 0, ( ) 0 : 0, ( ) 0 1 2 3 = = = = = V x x x V x x V x 其 余 解
3)(x)=(x1+x2)2+x2 解x=0,V(x)=0 ∴V(x)≥0,x≠0 又 x3=0,x1=-x2≠0,V(x)=0时 (x)=0,x=0 对于其余的,有V(x)>0 .(x)正半定
( ) 2 3 2 1 2 (3)V(x) = x + x + x 正半定 对于其余的 有 时 又 解 ( ) X, ( ) 0 ( ) 0, 0 x 0, 0, ( ) 0 ( ) 0, 0 0, ( ) 0 3 1 2 V x V x V x x x x V x V x x x V x = = = = − = = =