第四章 随机变量的数字特征 §5矩 §5矩 1、定义 若EXk存在，称之为X的k阶原点矩。 若E(X-E)存在，称之为X的k阶中心矩。 若E(X-EX)(Y-EY)存在，称之为X和Y的k+I 阶混合中心矩。 所以EX是一阶原点矩，DX是二阶中心矩， 协方差Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。 合返回主目录
§5 矩 1、定义 若 k EX 存在，称之为 X的 k 阶原点矩。 所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩， 协方差 Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。 若 k E(X − EX) 存在，称之为 X的 k 阶中心矩。 若 k l E(X − EX) (Y − EY) 存在，称之为 X和 Y 的 k+l 阶混合中心矩。 §5 矩 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 例1 §5矩 设随机变量X~NO,σ2)，试求E(X"). 解： 令：y= -EX DX 则Y~N(0,). 所以， r）=as0yjp6h- [ye 2 dy (1).当n为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以 E(x")=0. [合】返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 例1 设随机变量X ~ N(0， 2 )，试求 E(X n )． 解： DX X EX Y − 令： = X = 则 Y ~ N(0，1)． 所以， ( ) ( ) n n n E X = E Y ( ) + − = y f y dy Y n n + − − = y e dy y n n 2 2 2 ( ) ． ⑴．当 为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以 = 0 n E X n 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 (2).当n为偶数时，由于被积函数是偶函数，所以 +00 2o” y”e2y √2π 0 令： 2=6则y=2, 1 11 2dt=2 2t 2dt 2 EXn 20 ”-1-l 2 t 2 e-'dt 0 n +o0n+1 22 edt=22 n+1 Vπ [合】返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 (2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以 + − = 0 2 2 2 2 EX y e dy y n n n dy t dt t dt t y t y 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , 2 , 2 − − − = = 令： = 则 = ) 2 1 2 2 ( 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 + = = = + − − + + − − − n t e d t EX t e d t n n t n n n t n n n n 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5矩 00 其中r)=「xe 利用T-函数的性质：「(+)=T(r),得 g》 2。-元=om-0加 Vπ 2 [合】返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 利用−函数的性质：(r +1)= r(r)，得 + = 2 2 1 2 n n n ( ) − − = 2 1 2 2 1 2 n n E X n n n − − − = 2 3 2 3 2 2 1 2 n n n n n − − = 2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 n n n n ( ) 2 2 2 2 1 !! n n n n − = = (n −1)!! n ( ) . 0 1 t x e dx t −x − 其中 = 返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 因而， §5矩 ！n为偶数 n为奇数 其中， nll= 1.3.5.nn为奇数 2.46.nn为偶数 特别，若X~NO,),则 ,咖豪r- 合返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 因而， ( ) ( ) − = 为奇数 为偶数 n n n E X n n 0 1 !! 其中， = 为偶数 为奇数 n n n n n 2 4 6 1 3 5 !! 特别，若 X ~ N(0，1), 则 ( ) ( ) , 4 3. 0 1 !! 4 = = − = n EX n n n E X n 时， 为奇数 为偶数 返回主目录